Semi-groupes integres d'operateurs, l'unicite des pre-generateurs et applications

Abstract

Ours main purpose is the uniqueness problem for the diffusion operators on $L^\infty$. This work begin by a study of the $C_0$-semigroups and of the integrated semigroups in a very general context. We study the $C_0$-semigroups on a locally convex space and we introduce a new topology on the dual space such that the adjoint of a $C_0$-semigroup becomes a $C_0$-semigroup with repect of this topology. The most important results are a caracterization theorem of a core of a generator and a complet caracterization theorem of an essential generator on a locally convex space. Finaly, we presents several examples of essential generators on $L^\infty$. In this theses is obtained for the first time the $L^\infty$-uniqueness of Schroedinger operators and generalized Schroedinger operators on a complet riemannian manifold, and the $L^1$-uniqueness for the weak solutions of the mass transport equation.Notre principal but est le probleme de l'unicite pour les operateurs de diffusion dans $L^\infty$. Ce travail commence par un etude des $C_0$-semi-groupes et des semi-groupes integres dans un contexte tres general. Nous etudions les $C_0$-semi-groupes sur un espace localement convexe et nous introduisons une nouvelle topologie sur l'espace dual tel que l'adjoint d'un $C_0$-semi-groupe est de classe $C_0$ par rapport a cette topologie. Les resultats les plus importants sont un theoreme de caracterisation d'un core du generateur et un theoreme de caracterisation complet d'un generateur essentiel sur un espace localement convexe. Finalement, nous presentons quelques exemples des generateurs essentiels dans $L^\infty$. Dans cette these ont ete obtenues pour la premiere fois la $L^\infty$-unicite des operateurs de Schroedinger et des operateurs de Schroedinger generalises sur une variete riemannienne complete, ainsi que $L^1$-unicite des solutions faibles pour l'equation de transport de masse