Geometric probability: generalizations of the problem of Buffon's needle and applications

Abstract

O presente trabalho tem por finalidades: demonstrar o problema da agulha de Buffon, fazer uma pequena generalizaÃÃo do resultado obtido e apresentar aplicaÃÃes baseadas nos fundamentos do referido problema. O problema da agulha de Buffon està inserido no estudo da Teoria das Probabilidades, particularmente na subÃrea de probabilidade geomÃtrica. Para chegarmos à soluÃÃo desta questÃo, alÃm dos conceitos e propriedades atinentes à Teoria das probabilidades à necessÃrio o conhecimento de noÃÃes bÃsicas do cÃlculo integral. Nos capÃtulos 2, 3 e 4 à apresentado um estudo preliminar sobre probabilidade, com os conceitos bÃsicos, propriedades e a formulaÃÃo de alguns modelos probabilÃsticos. Durante o desenvolvimento do trabalho, sempre que possÃvel, os conceitos e definiÃÃes sÃo inseridos com o auxÃlio de um problema motivador e para fixaÃÃo dos mesmos sÃo mostrados exemplos resolvidos. O Ãltimo capÃtulo evidencia a importÃncia do problema de Buffon como mÃtodo para realizar estimativas e como fundamento para o processo de captaÃÃo de imagens pelos aparelhos de tomografia computadorizada, um grande avanÃo para a Medicina no que diz respeito ao diagnÃstico por imagens.This paper has the objective of showing Buffon's needle problem, doing a minor generalization of the results obtained hereby, and also presenting some applications based upon the fundamentals of such problem. Buffon's needle problem has been inserted into the study of Theory of Probability, particularly in its sub-area of geometrical probability. In order to attain the solution to this question, in addition to the concepts and the properties concerning the theory of probabilities, it is necessary that one should have some basic knowledge about integral calculus. In chapters 2, 3, and 4 there is a preliminary study of probability, with the basic concepts, properties and formulation of some probabilistic models being presented. During the development of this paper, whenever it was possible, the concepts and definitions were inserted with the aid of a motivational problem and they were solved by means of fixing the same examples as shown. The final chapter presents the importance of Buffon's needle problem as a method of making estimates and as a foundation for the process of capturing images in CT (computerized tomography) scanning machines, such a great breakthrough in what concerns the diagnosis by means of imaging