Die Form von Populationsprofilen für eine Klasse von Interagierenden Teilchensystemen

Abstract

In the simplest geographic setting, an interacting particle system is a $\{0,1\}^{\Z}$ or $\N_{0}^{\Z}$-valued continuous-time stochastic process $(X_{t})_{t\ge0}$, with the interpretation that $X_{t}(\xi)$ denotes the number of particles at the geographic location $\xi\in\Z$ at time $t\ge0$. The term 'particle' is a placeholder whose meaning varies depending on the context. An example is the $\{0,1\}^{\Z}$-valued contact process, which models the spread of an infection in a linearly arranged population: the positions of the 1s in the state $X_{t}$ indicate where the particles (=’infections’) are located, i.e. which individuals are infected at time t. In the course of time, the number and the locations of the infections change according to certain stochastic rules after random times. The goal of this thesis is to examine the overall shape of a given interacting particle system that has been started with a single particle at the origin, at a given finite time t. The starting point is a result of L. Gray (1991) and L. Gray and E. Andjel (2014): For the $\{0,1\}^{\Z}$-valued contact process with nearest neighbour infections, and for fixed t, the map $\Z \to [0,1]$, $\xi \mapsto E [ X_{t}(\xi) ]$ is 'bell-shaped': it is symmetric around the origin and is, when restricted to $\N_{0}$, monotonically decreasing. Gray calls this map a 'population profile'. This thesis proves similar shape results for a class of $\N_{0}^{\Z}$-valued systems that we call branching random walks with interactions. The base process is called branching random walks process, which is a simple spatial population model in which the particles can be interpreted as ‘individuals’: Particles perform independent continuous-time random walks on $\Z$, and additionally, after certain random times, a given particle either dies or branches. In the latter case, the particle is replaced by two identical copies that behave independently henceforth. From this base process, we derive multilevel branching random walks (in which particles are grouped into clans which themselves undergo certain dynamics), coupled branching random walks (in which additionally -- at certain spatial locations and certain times -- local catastrophes diminish the local population), and coalescing branching random walks (in which the death rate of a given particle is higher if many other particles are around, which can be interpreted in terms of a competition for scarce resources). Broadly speaking, we prove that suitable generalizations of Gray's population profile are 'bell-shaped' for our class of particle systems at any given finite time, given that the respective system is initialized with one particle at the origin, and every interaction kernel is itself 'bell-shaped' in a suitable sense. As a corollary, we obtain a criterion whose verification would allow to remove the nearest-neighbour assumption that Gray needed to impose on the contact process. Regarding the proof techniques, the focus on finite time horizons comes with the challenge to find novel combinatorial arguments. Further proof concepts are to distinguish particles via labels, which leads to the notion of tree-indexed random walks; to exploit that the 'bell-shape' is preserved by elementary operations such as convolutions, and by less elementary operations such as so-called tree-indexed convolutions; and to invoke a function-valued duality. We briefly indicate how to transfer our results to other geographical spaces rather than $\Z$, most notably to the hierarchical group $\Omega_{N}$ and to the hypercube $H_{N}$ (N=2,3,...). Finally, also a side-project concerning local survival of particle systems on Cayley graphs, initiated by J. Swart, is discussed.Ein interagierendes Teilchensystem ist -- im einfachsten räumlichen Setting -- ein $\{0,1\}^{\Z}$ oder $\N_{0}^{\Z}$-wertiger zeitstetiger stochastischer Prozess $(X_{t})_{t\ge0}$, wobei $X_{t}(\xi)$ als die Anzahl der Teilchen am Ort $\xi\in\Z$ zur Zeit $t\ge0$ interpretiert wird. Der Begriff Teilchen ist ein Platzhalter, dessen Bedeutung vom Kontext abhängt. Ein Beispiel ist der $\{0,1\}^{\Z}$-wertige 'contact process', der die Ausbreitung einer Infektion in einer linear angeordneten Population modelliert: die 1er im Zustand $X_{t}$ entsprechen den Orten der Teilchen (=Infektionen) zur Zeit t. Diese Orte und deren Anzahl ändern sich nach zufälligen Zeitschritten, basierend auf gewissen zugrundeliegenden stochastischen Regeln. Das Ziel dieser Arbeit ist, die generelle Form eines gegebenen interagierenden Teilchensystems zu einer endlichen Zeit t zu untersuchen, unter der Annahme, dass das System mit einem einzigen Teilchen am Ursprung gestartet wurde. Der Ausgangspunkt ist ein Resultat von L. Gray (1991) und L. Gray und E. Andjel (2014): Für den $\{0,1\}^{\Z}$-wertigen 'contact process' mit nächste-Nachbarn-Infektionen ist -- für fixiertes t -- die Abbildung $\Z \to [0,1]$, $\xi \mapsto E [ X_{t}(\xi) ]$ 'glockenförmig', d.h. symmetrisch um den Ursprung und, eingeschränkt auf $\N_{0}$, monoton fallend. Gray nennt diese Abbildung ein Populationsprofil. Diese Arbeit zeigt vergleichbare Ergebnisse für eine Klasse von $\N_{0}^{\Z}$ -wertigen Systemen, die wir 'branching random walks with interactions' nennen. Der zugrundeliegende Prozess 'branching random walks' ist ein einfaches räumliches Populationsmodell, in dem Teilchen als 'Individuen' interpretiert werden können: Zu gewissen zufälligen Zeiten kann ein gegebenes Teilchen entweder sterben oder verzweigen; im letzteren Fall wird das Teilchen durch zwei identische Kopien ersetzt, die von nun an unabhängig voneinander evolvieren. Zwischen solchen Verzweigungsereignissen werden unabhängige zeitstetige Irrfahrten auf $\Z$ ausgeführt. Ausgehend von diesem zugrundeliegenden Prozess werden weitere Prozesse abgeleitet: 'multilevel branching random walks' (worin Teilchen zu Völkern gruppiert sind, die ihrerseits gewissen Ereignissen ausgesetzt sind), 'coupled branching random walks' (worin zusätzlich -- zu gewissen Zeiten -- sogenannte Katastrophen die an einem gegebenen Ort vorhandene Bevölkerung dezimieren), und 'coalescing branching random walks' (worin die Todesrate eines gegeben Teilches höher ist, wenn viele andere Teilchen in der Nähe sind, was als Kampf um knappe Ressourcen interpretiert werden kann). Wir beweisen, dass gewisse Verallgemeinerungen von Grays Populationsprofil zu jeder beliebigen gegebenen Zeit 'glockenförmig' sind, vorausgesetzt, dass das jeweilige System mit einem Teilchen am Ursprung startet, und dass alle Interaktionskerne in einem geeigneten Sinne selbst 'glockenförmig' sind. Aus unseren Ergebnissen kann ein Kriterium abgeleitet werden, dessen Verifikation erlauben würde, die nächste-Nachbar-Annahme zu entfernen, welche Gray benötigte für seine Untersuchung des 'contact process'. Da der Fokus auf einem endlichen Zeithorizont liegt, stehen zum Beweis der Resultate die üblichen Grenzwertmethoden nicht zur Verfügung. Stattdessen müssen neue, zum Teil kombinatorische Beweismethoden entwickelt werden. Darüberhinaus basieren die Beweise auf einem Hilfsprozess, genannt 'tree-indexed random walks', worin die per se ununterscheidbaren Teilchen mit Hilfe von eindeutigen Labels unterschieden werden. Faltung spielt eine zentrale Rolle, da die 'Glockenform' unter Faltung erhalten bleibt; die Kombination dieser Ideen führt zu einer sogenannten 'tree-indexed convolution'. Um einen neuen Blickwinkel auf die Prozesse zu erhalten, wird schließlich eine Dualität ausgewertet, wobei der duale Prozess funktionswertig ist. Es wird kurz erklärt, wie unsere Resultate auf andere Räume als $\Z$ ausgeweitet werden können, insbesondere auf die hierarchische Gruppe $\Omega_{N}$ und auf den Hypercube $H_N$ (N=2,3,...). Schließlich wird ein von J. Swart angestoßenes Nebenprojekt besprochen, welches das lokale Überleben von Teilchensystemen auf Cayley-Graphen zum Thema hat