Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse

G. Koenigs

ANNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE TOULOUSEG. KOENIGSNote sur les courbes dont les tangentes font partie d’un complexe linéaireAnnales de la faculté des sciences de Toulouse 1re série, tome 1, no 2 (1887), p. E9-E12<http://www.numdam.org/item?id=AFST_1887_1_1_2_E9_0>© Université Paul Sabatier, 1887, tous droits réservés.L’accès aux archives de la revue « Annales de la faculté des sciences de Toulouse »(http://picard.ups-tlse.fr/~annales/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisa-tion (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression sys-tématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fi-chier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/NOTE SUR LES COURBESDONTLES TANGENTES FONT PARTIE D’UN COMPLEXE LINÉAIRE,PAR M. G. KOENIGS,Dans un Mémoire inséré au Tome XI de la deuxième série des Annalesde l’École Normale supérieure, j’ai défini des courbes ayant ce que j’aiappelé un axe anharmonique, c’est-à-dire telles qu’il existe une droite .jouissant de la propriété suivante : Les points où cette droite est rencontréepar les quatre plans osculateurs à la courbe considérée, en quatre pointsquelconques A, B, C, D, ont le même rapport anharmonique que les plansmenés par cette droite et ces quatre mêmes points A, B, C, D. ’.J’ai aussi introduit la notion des surfaces dont les lignes asymptotiquesd’une même série ont un même axe anharmonique. Un peu avant la publi-cation de mon travail, M. Sophus Lie avait publié une Note du plus hautintérêt sur les surfaces dont les lignes asymptotiques d’une série appar-tiennent, par leurs tangentes, à un complexe linéaire. Il me suffira dequelques lignes pour montrer comment les courbes à axe anharmonique etles surfaces dont elles sont les asymptotiques se rattachent aux résultats de ,NI. Sophus Lie. Tel est l’objet de cette courte Note.Je remarque d’abord ceci. Soient M un point d’une courbe 0393 ayant un. axe anharmonique E, P le point où le plan osculateur en M coupe cet axe,et appelons (X le plan qui contient l’axe E et le point M. Par hypothèse, lecouple (a, P), formé de ce plan et du point P, constitue un élément d’unecorrespondance homographique déterminée, que l’on suppose exister sur ladroite E, entre les points de cette droite et les plans qui la contiennent.Or une congruence linéaire singulière, c’est-à-dire dont les deux direc-trices coïncident avec une droite unique E, est caractérisée, définie, de lafaçon suivante : ..E.I0Pour qu’une droite G fasse partie d’une telle congruence, il faut :i" Qu’elle coupe la directrice double E ; .2° Que, si l’on appelle P le point de rencontre et a le plan commun àces deux droites, le système point et plan (P, a) constitue un élément d’unecorrespondance homographique déterminée existant entre les points de ladroite E et les plans menés par cette droite. ’On voit donc qu’une congruence singulière est définie :10 Par sa directrice E ; - .2° Par une correspondance homographique H existant entre les pointsde E et les plans menés par cette droite.Ceci posé, reprenons les notations précédentes.Sur l’axe anharmonique E, nous avons une homographie H de l’espèceci-dessus mentionnée, à savoir, celle qui lie tout plan « (mené par E et parun point NI de la courbe Il) au point P (trace sur E du plan osculateur aupoint 11~r). Une congruence linéaire singulière (E, H) est donc définie,comme il a été dit, par cet axe E et cette homographie H existant sur cetaxe. Il est clair que la droite MP appartient à cette congruence, et la sur-face réglée 1 engendrée par MP est contenue dès lors dans cette congruence.La courbe F est évidemment contenue par la surface 2; de plus, le plantangent en ~I à la surface 2 n’est autre que le plan mené par et la tan-gente à la courbe Il, c’est-à-dire le plan osculateur de la courbe r. Donc : :La courbe r cst unc lignc asymptotique sur la sur face 03A3.J’invoquerai maintenant la proposition suivante qui est bien connue : :Soient 0396 et 0396’ deux droites et 03A3 une surface réglée dont toutes les(lroites rencontrent J ct 0396’, c’est-à-dire dont toutes les droites font partiede la congruence linéaire qui admet E, E’ pour directrices, les ligncsasymptotiques non rectilignes de la surface 03A3 appartiennent, par leurs’laiigenles, chacune à un complexe linéaire dans lcqucl lcs droites ~ etE’ sont deux droites conjuguées, et qui, par conséquent, contient la con-gruence (0396, 0396’).Lorsque les droites 3 et E’ coïncident en une seule E, tous les complexeslinéaires, qui contiennent la congruence linéaire singulière (E, H) corres-pondante, contiennent la droite E, et le théorème précédent prend alorsl’énoncé que voici : :Lorsque lcs droites d’une surface réglée 2i font partie d’une con- Fg ruence linéaire singulière, les lignes asymptotiques non rectilignes de~ appartiennent, par leurs tangentes, chacune à l’un des complexes li- .néaires contenant la congruence, et la directrice double 0396 est une droitecommune à tous ces complexes linéaires. ’ "En nous reportant alors à la proposition établie plus haut relativement àla courbe r, nous voyons que, puisque r est une ligne asymptotique sur lasurface 1 et puisque la surface 2 appartient 1 une congruence singulièred’axe 3, les tangentes de la courbe r font partie d’un complexe linéaire quicontient aussi l’axe E.’Lors donc qu’une courbe T admettra un axe anharmonique ~, ses tan-g entes feront parüe d’un complexe linéaire, qui contiendra aussi l’axe ~~. .’Réciproquement, soit une courbe r dont-les tangentes font partie d’uncomplexe linéaire, et soit ~ une droite de ce complexe; je dis que ~ estun axe anharmonique de la courbe r. ’En effet, lorsque les tangentes d’une courbe r font partie d’un complexelinéaire, le plan focal d’un point M de la courbe est précisément le planosculateur en ce point. Cela étant, appelons P le point où le plan osculateuren M vient couper la droite E; la droite MP fait partie du complexe,puisqu’elle est dans le plan osculateur et qu’elle passe par le point M, foyerde ce plan. Maintenant, appelons a le plan mené par E et par la droite PM( ou par le point ~1’I ~ ; nous connaissons deux droites du complexe situéesdans ce plan, E et donc leur point commun P est le foyer du plan a;il en résulte que le point P et le plan a constituent un élément (P, a) del’homographie H, qui existe sur la droite E entre les points de cette droiteet les plans focaux de ces points, plans qui passent par la droite, puisqu’elleappartient au complexe. Cela démontre donc bien que E est un axe anhar-monique de la courbe r. _ .. Le problème des courbes à axe anharmonique est donc entièrement ré-solu 1 ’ ) et rendu identique à celui de la détermination_ des courbes qui fontpartie, par leurs tangentes, d’un complexe linéaire.On voit en même temps que la recherche des surfaces, dont les li nesasymptotiques d’une série appartiennent, par leurs tangentes, chacune à un( ~ ~ Dans mon travail précité, j’ai donné l’équation finie de ces courbes, mais sans chercherà en donner une interprétation géométrique. ~’E.I2complexe linéaire, problème traité par M. Lie, comprend celui de la recherchedes surfaces dont les lignes asymptotiques d’une série ont un même axe an-harmonique.Il suffit de supposer que y dans le problème traité par M. Lie, les com-plexes linéaires, dont font partie les tangentes aux lignes asymptotiques,aient une droite commune qui sera, dès lors, l’axe anharmonique communà toutes ces courbes. ’Comme une série de complexes linéaires peuvent avoir en commun une,deux, trois ou même quatre droites, on en conclut qu’il y a des surfacesdont les lignes asymptotiques d’une série ont en commun un, deux, trois ouquatre axes anharmoniques.Dans le cas, où il existe trois axes anharmoniques, il en existera une infi-nité d’autres formant un hyperboloïde. Dans le cas où il y en aura quatre,non situés sur une même surface du second degré, il y en aura une doubleinfinité d’autres formant une congruence linéaire. Mais, dans ce cas, la sur-face sera engendrée par des droites de cette congruence, et nous retrouvonsainsi là proposition qui a été énoncée à la page (E. 10).

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