Fukuyama University Repository / 福山大学学術情報リポジトリ

尾関, 孝史

Ozaki, Takashi

標本化定理と連立一次方程式 尾関 孝史* Sampling theorem and simultaneous linear equations Takashi OZEKI* ABSTRACT In this paper, to intuitively understand the sampling theorem, the reason why the inequality must hold is explained by attributing it to the condition that a simultaneous linear equation has a solution. The conclusion was that since there are 2M+1 Fourier coefficients for a signal bandlimited at frequency M, there must be at least 2M+1 sampling points per period to uniquely recover the signal.  キーワード：標本化定理，AD 変換，エリアシング，連立一次方程式 Keywords: Sampling Theorem, AD Conversion, Aliasing, Linear Simultaneous Equations  １．まえがき 一般的に使用されているコンピュータは、音声や画像のような連続信号をそのまま扱うことが困難である。このため、連続信号を離散信号に AD 変換する。連続信号を離散信号に変換する際、標本間隔を正しく設定しないと、変換前の連続信号と異なる離散信号に変換されるエリアジングが起きる。このエリアジングを起こさないための標本間隔の条件を示すのが標本化定理である。標本化定理は、連続な周期信号が周波数𝑀で帯域制限されている場合、1 周期の標本点数𝑁を𝑁 > 2𝑀とすれば、変換後の離散信号の標本値から元の連続信号に完全に復元できることを保証している。しかし、一般的な標本化定理の証明[1-3]では、なぜ、不等式𝑁 > 2𝑀が必要となるのかを直感的に理解することが難しい。そこで、本論文では、その不等式が成立する必要がある理由を、連立一次方程式が解を持つ条件に帰着する簡単な例を示すことで説明する。 ２．標本化（サンプリング） 信号の値を離散的な時間で抜き出す操作を標本化といい、抜き出された信号の値を標本値という。標本化の操作は図１に示すように一定の時間間隔𝑇𝑠で行なう。この時間間隔𝑇𝑠を標本化周期という[2]。   図1では、標本化周期は、𝑇𝑠 = 2𝜋/12 = 𝜋/6となる。標本化を行うときに、標本間隔𝑇𝑠を合理的に決める条件が標本化定理である。標本化定理では、連続な周期信号𝑓(𝑡)が周波数𝑀で帯域制限されているとき、標本点数を𝑁 > 2𝑀と取ると、𝑓(𝑡)は離散信号の𝑁個の標本値から元の連続信号が完全に復元できることを保証する。  図 1 𝑓(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛 𝑡の標本化の例 ３．エリアジング 標本化定理の条件を満たさないような標本化を行うと、AD 変換によって得られた離散信号から元の連続信号に復元できないことが発生する（図２参照）。   図２ 離散信号から連続信号への逆変換  例えば、反時計回りに一定速度で回転する針があり、1秒ごとに写真を撮ったとき、図３の結果が得られたとする。図３から、回転速度は 1秒間に𝜋/2だけ回転*情報工学科  69するから、周期４秒、周波数1/4 = 0.25 [Hz]、角周波数2𝜋/12 = 𝜋/2 [rad/s]の回転と推定できる。一方、1秒ごとに5𝜋/2回転しているとも推定できる。  図３ １秒間ごとの時計の観測結果  従って、図４に示すように、𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑡/2)と𝑠𝑖𝑛(5𝜋𝑡/2)は1秒ごとに観察していては区別ができない。  図４ 𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑡/2)と𝑠𝑖𝑛(5𝜋𝑡/2)のグラフ  ２つの信号𝑓(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛𝑚𝜔0𝑡と𝑔(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝜔0𝑡は   (1) が成立し、標本化周期は、基本周期𝑃を𝑁等分した𝑇𝑠 =𝑃𝑁で表される。このとき、もし𝑁個の標本点𝑡 =0,𝑃𝑁,2𝑃𝑁, ⋯ ,(𝑁−1)𝑃𝑁で、𝑓(𝑡) = 𝑔(𝑡)が成立すれば２つの信号は区別できなくなる。すなわち、 (2) が、𝑘 = 0,1,2,⋯ ,𝑁 − 1に対して成立する場合である。例えば、𝑘 = 0,1,2,⋯ , 𝑁 − 1に対して 𝑠𝑖𝑛 ((𝑚−𝑛)𝑘𝜋𝑁) = 0   (3) が成立するときである。言い換えると、ある整数𝑙があって、𝑚 = 𝑛 + 𝑙𝑁が成り立つときである。実際、先ほどの例では、基本周期𝑃 = 4 [秒]、分割数𝑁 = 4で、基本各周波数𝜔0 =2𝜋4=𝜋2だから、𝑚 = 1, 𝑛 = 5となり、1 = 5 − 1 ⋅ 4が成立しており、全ての標本点𝑘𝑃𝑁=0, 1, 2 , 3 で、𝑠𝑖𝑛 (𝜋2𝑡) = 𝑠𝑖𝑛 (5𝜋2𝑡)が成立している。従って、標本値だけでは、元の信号を推定することができないことになる。以上のように、不適切な標本化を行うと、必ずしも元の信号を表すとは限らないエリアジングが発生する。  ４．標本化定理と連立一次方程式  前節の例で示したように、連続な周期信号を標本化した離散信号は、必ずしも元の連続信号を表してはいない。従って、連続信号を標本化して、離散信号を作成するには注意が必要である。別の例でこの原因を説明する。周期信号 𝑓(𝑡) = 2𝑐𝑜𝑠 𝜔0 𝑡 + 2𝑐𝑜𝑠 2𝜔0𝑡 (4) は、周期𝑃、基本角周波数𝜔0 =2𝜋𝑃を持つ。オイラーの公式から、2 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝜔0𝑡 = 𝑒−𝑗𝑘𝜔0𝑡 + 𝑒𝑗𝑘𝜔0𝑡を用いて、変形すれば 𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑗2𝜔0𝑡 + 𝑒−𝑗𝜔0𝑡 + 𝑒𝑗𝜔0𝑡 + 𝑒𝑗2𝜔0𝑡  (5) を得る。ここで、話を簡単にするため、周期𝑃 = 2𝜋とする。すると基本角周波数𝜔0 = 1となり、 𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑗2𝑡 + 𝑒−𝑗𝑡 + 𝑒𝑗𝑡 + 𝑒𝑗2𝑡 (6) となる。この連続な周期信号の周期2𝜋を標本点数𝑁 =4で標本化する（図５参照）。  図５ 標本点数𝑁 = 4の場合の標本点 70すると、𝑓(0), 𝑓 (𝜋2) , 𝑓(𝜋), 𝑓 (3𝜋2)  の値を得る。 この４つの標本値から、元の連続周期信号𝑓(𝑡) =𝑒−𝑗2𝑡 + 𝑒−𝑗𝑡 + 𝑒𝑗𝑡 + 𝑒𝑗2𝑡の復元を考える。𝑓(𝑡)は周期信号だから、複素フーリエ級数展開ができて、 𝑓(𝑡) = ∑ 𝐶𝑘𝑒𝑗𝑘𝑡∞𝑘=−∞    (7) と表される[3]。 もし、複素フーリエ級数𝐶𝑘の値が全てわかれば、連続関数𝑓(𝑡)を復元することができる。連立一次方程式 232(0)2( )32kkjkkkjkkkj kkkf Cf C ef C ef C e=−=−=−=−= =  = =      (8) は、未知数𝐶𝑘(𝑘 = 0,±1,±2,⋯ ) が無限個、方程式が 4個なので、この連立一次方程式を解くには方程式の数が足りない。そこで、帯域制限を行う。すなわち、復元する信号𝑓(𝑡)のフーリエ係数𝐶𝑘が|𝑘| > 2なら、𝐶𝑘 =0となると仮定する。すると、求める信号𝑓(𝑡)は 𝑓(𝑡) = 𝐶−2𝑒−𝑗2𝑡 + 𝐶−1𝑒−𝑗𝑡 + 𝐶0 + 𝐶1𝑒𝑗𝑡 + 𝐶2𝑒𝑗2𝑡 (9) と表される。ここで、標本点𝑡 = 0,𝜋2, 𝜋,3𝜋2 を代入すれば、連立一次方程式 2 1 0 1 22 1 0 1 22 1 0 1 22 1 0 12 222 22 2(0)2( )32j jj jj j j jj j j jff e e e ef eC C C C CC C C C CC C Ce e ef e e eC CC C C eC C        − −− −− −− −−−− −− −= + + + + = + + + +  = + + + + = + + + +   (10) を得られる。すなわち、行列を用いて表せば、 (  1 1 1 1 1𝑒−𝑗𝜋 𝑒−𝑗𝜋2 1 𝑒𝑗𝜋2 𝑒𝑗𝜋𝑒−𝑗2𝜋 𝑒−𝑗𝜋 1 𝑒−𝑗𝜋 𝑒𝑗2𝜋𝑒−𝑗3𝜋 𝑒−3𝑗𝜋2 1 𝑒3𝑗𝜋2 𝑒𝑗3𝜋)  (  𝐶−2𝐶−1𝐶0𝐶1𝐶2 )  =(  𝑓(0)𝑓 (𝜋2)𝑓(𝜋)𝑓 (3𝜋2))   (11) となる。しかし、この連立一次方程式は、未知数𝐶𝑘が5個、方程式は 4個なので、方程式が 1つ足りない。そこで、標本点を 1つ増やして、𝑁 = 5として、復元を試みる。  図６ 標本点数𝑁 = 5の場合の標本点  図６のように標本点は、𝑡 = 0,2𝜋5,4𝜋5,6𝜋5,8𝜋5  となるから、式(9)に代入して、連立一次方程式 4 2 2 45 5 5 58 4 4 85 5 5 512 6 6 1252 1 0 1 22 1 0 1 22 1 0 1 225 5 516 851 0 1 22 1(0)25456585j j j jj j j jj j j jj jC C C C CC C C C CC Cff e e e eC C CC C C C CCf e e e ef e e e ef e eC          − −− −− −−− −− −−− −− −− −= + + + + = + + + +   = + + + +   = + + + +   = +  8 160 2515 5j jeC C C e + + +  (12) を得る。すなわち、未知数𝐶𝑘が 5 個、方程式は 5 個あり、行列を用いて表せば、 (    1 1 1 1 1𝑒−𝑗4𝜋5 𝑒−𝑗2𝜋5 1 𝑒𝑗2𝜋5 𝑒𝑗4𝜋5𝑒−𝑗8𝜋5 𝑒−𝑗4𝜋5 1 𝑒𝑗4𝜋5 𝑒𝑗8𝜋5𝑒−𝑗12𝜋5 𝑒−𝑗6𝜋5 1 𝑒𝑗6𝜋5 𝑒𝑗12𝜋5𝑒−𝑗16𝜋5 𝑒−𝑗8𝜋5 1 𝑒𝑗8𝜋5 𝑒𝑗16𝜋5 )    (  𝐶−2𝐶−1𝐶0𝐶1𝐶2 )  =(     𝑓(0)𝑓 (2𝜋5)𝑓 (4𝜋5)𝑓 (6𝜋5)𝑓 (8𝜋5))      (13) と表される。この連立一次方程式は解くことが可能である。実際、式(6)から 𝑓(0) = 1 + 1+ 1+ 1 𝑓 (2𝜋5) = 𝑓 (4𝜋5) = 𝑓 (6𝜋5) = 𝑓 (8𝜋5)                = 𝑒𝑗2𝜋5 + 𝑒𝑗4𝜋5 + 𝑒𝑗6𝜋5 + 𝑒𝑗8𝜋5   (14) が得られ、式(13)と式(14)から 𝑓(0) + 𝑓 (2𝜋5)+ 𝑓 (4𝜋5)+ 𝑓 (6𝜋5)+ 𝑓 (8𝜋5)            = 𝐶−2∑ 𝑒−𝑗4𝑘𝜋54𝑘=0 + 𝐶−1∑ 𝑒−𝑗2𝑘𝜋54𝑘=0 + 5𝐶0  +𝐶1∑ 𝑒𝑗2𝑘𝜋54𝑘=0 + 𝐶2∑ 𝑒𝑗4𝑘𝜋54𝑘=0   = 5𝐶0                (15) 71が成り立つ。ここで、図７のように原点を中心とする複素平面内の半径１の円に内接する正５角形の頂点座標の和は、零になることを利用している。  図７ 複素平面内の正 5角形 そして、式(14)と(15)から 02 4 6 85 5 5 51 2 4 6 8(0)5 5 5 5 541 05j j j jC f f f f fe e e e              = + + + +                 = + + + + =    (16) を得る。同様にして、 𝑓(0) + 𝑒−𝑗2𝜋5 𝑓 (2𝜋5) + 𝑒−𝑗4𝜋5 𝑓 (4𝜋5) + 𝑒−𝑗6𝜋5 𝑓 (6𝜋5) + 𝑒−𝑗8𝜋5 𝑓 (8𝜋5) = 𝐶−2∑𝑒−𝑗6𝑘𝜋54𝑘=0+ 𝐶−1∑𝑒−𝑗4𝑘𝜋54𝑘=0+ 𝐶0∑𝑒−𝑗2𝑘𝜋54𝑘=0+ 5𝐶1 + 𝐶2∑𝑒𝑗2𝑘𝜋54𝑘=0 = 5𝐶1      (17) から、再び式(14)を利用して 𝐶1 =15{𝑓(0) + 𝑒−𝑗2𝜋5 𝑓 (2𝜋5)+ 𝑒−𝑗4𝜋5 𝑓 (4𝜋5) + 𝑒−𝑗6𝜋5 𝑓 (6𝜋5)+𝑒−𝑗8𝜋5 𝑓 (8𝜋5)} = 1  (18) を得る。以下、同様にして、 𝐶2 = 𝐶−1 = 𝐶−2 = 1  (19) を得る。従って、5つの標本値 𝑓(0), 𝑓 (2𝜋5) ,   𝑓 (4𝜋5) , 𝑓 (6𝜋5) , 𝑓 (8𝜋5) から、５つの複素フーリエ係数𝐶𝑘が求められて、 𝑓(𝑡) = 𝑒−𝑗2𝜔0𝑡 + 𝑒−𝑗𝜔0𝑡 + 𝑒𝑗𝜔0𝑡 + 𝑒𝑗2𝜔0𝑡  (20) と元の連続信号𝑓(𝑡)が正しく再現できていることが確認できる。 以上の議論を一般化すると、連続な周期信号𝑓(𝑡)が|𝑘| > 𝑀なら𝐶𝑘 = 0を満たすとき、すなわち 𝑓(𝑡) = ∑ 𝐶𝑘𝑒𝑗𝑘𝜔0𝑡𝑀𝑘=−𝑀   (21) と信号が周波数𝑀以下に帯域制限されているとき、2𝑀 + 1個の複素フーリエ係数𝐶𝑘(𝑘 = −𝑀,⋯ ,0,⋯ ,𝑀)の値を決定するには、2𝑀 + 1個の方程式を得るために標本点が2𝑀 + 1個以上必要であり、以下の標本化定理が成り立つ。  ５．まとめ 本論文では、標本化定理の直感的な理解をするため、その不等式が成立する必要がある理由を、連立一次方程式が解を持つ条件に帰着することで説明した。結論として、周波数𝑀で帯域制限された信号のフーリエ係数が2𝑀 + 1個あるため、信号を一意に復元するためには１周期当たりの標本化点数が2𝑀 + 1個以上必要であるということを示した。  参考文献 [1]  長尾 真，パターン情報処理，コロナ社，1983． [2]  久保田 一，わかりやすいフーリエ解析，オーム社，1992． [3]  貴家 仁志，ディジタル信号処理，昭晃堂，1997． [4]  尾関 孝史，あたたかいディジタル信号処理，福山大学工学研究科「情報処理基礎特論」講義テキスト，2024． 連続な周期信号𝑓(𝑡)が周波数𝑀で帯域制限されているとする。このとき、標本点数を𝑁 > 2𝑀と取ると、𝑓(𝑡)は𝑁個の標本値から完全に復元できる。すなわち、標本化周期を𝑇𝑠 =𝑃𝑁とおくと、 𝑓(𝑡) = ∑ 𝐶𝑘𝑒𝑗𝑘𝜔0𝑡𝑀𝑘=−𝑀 ここで、 𝐶𝑘 =1𝑁∑𝑒−𝑗𝑘𝜔0𝑛𝑇𝑠𝑓(𝑛𝑇𝑠)𝑁−1𝑛=0 (−𝑀 ≤ 𝑘 ≤ 𝑀) で与えられる。 72

Japanese

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伍賀, 正典

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福山大学工学部紀要 第 48巻 2025年 3月 The Memoirs of the Faculty of Engineering Fukuyama University Vol. 48 March 2025                         電 気 電 子 工 学 科 Electrical and Electronic Engineering  建 築 学 科 Architecture       情 報 工 学 科 Computer Science 機械システム工学科 Mechanical Systems Engineering  ISSN 0000-000X 

福山大学工学部紀要第48巻　表紙

福山大学経済学研究会

第 49 巻　2025 年 3 月福山大学経済学論集福山大学経済学研究会実績評価の経済分析李　　　森　　　･････････････････････････････････   1大学スポーツクラブにおける組織マネジメントの構造的分析法の検討吉田　卓史　　　･････････････････････････････････　14広島県福山市松永地域の柔道振興を支えた故・岡田安和氏についてのライフストーリー研究中村　和裕　　瀧本　　誠　　矢崎　利加　　神山　　光　　岩尾　敬太　　　･････････････････････････････････　29A Comparison of Buy-and-Hold and Threshold Strategies for Leveraged InvestmentsAkatsuki Sukeda　　　･････････････････････････････････　37Credit Spreads in a Three-Period New Keynesian ModelAkatsuki Sukeda　　　･････････････････････････････････　46Saving Bangladesh through Microcredit and Leadership:A Reflection on the Lifetime Contribution by Muhammad YunusTatsuji Hayakawa　　　･････････････････････････････････　56RECENT INCREASES IN ASSETS UNDER MANAGEMENT OF JAPANESE MUTUAL FUNDS:REALITY OR MIRAGE?Ian James Bisset　　　･････････････････････････････････　66「米国NIPAの成立と日本への影響」高山　和夫　　　･････････････････････････････････　76Fiscal Reform and the Construction of the Public Health System in China:Focusing on Local Public Health ExpenditureWU Qingji　　　･････････････････････････････････　86The Transition of Health Risks and the Response of Public Health Administration in China:Focusing on Infectious Diseases, Chronic Diseases, and Environment-related DiseasesWU Qingji　　　･････････････････････････････････　99『非財務情報が達成するアカウンタビリティの拡張』―税務情報を内包する重要性―飯田　哲也　　　･････････････････････････････････ 116Vol.49  March  2025FUKUYAMA  DAIGAKU KEIZAIGAKU RONSYUThe Annals of the Fukuyama University Economic SocietyThe Fukuyama University Economic SocietyArticlesAaaaaa Bbbbbbb CcccccccAaaaaa Bbbbbbbb　　････････････････････････････････   1Examination of structural analysis method for organizational management in university sports clubsTakashi Yoshida　　････････････････････････････････  14A life story study of the late Yasukazu Okada, who supported the promotion of judo in the Matsunaga area of Fukuyama City, Hiroshima PrefectureKazuhiro Nakamura　　Makoto Takimoto　　Rika Yazaki　　Hikari Kohyama　　Keita Iwao　　････････････････････････････････  29A Comparison of Buy-and-Hold and Threshold Strategies for Leveraged InvestmentsAkatsuki Sukeda　　････････････････････････････････  37Credit Spreads in a Three-Period New Keynesian ModelAkatsuki Sukeda　　････････････････････････････････  46Saving Bangladesh through Microcredit and Leadership:A Reflection on the Lifetime Contribution by Muhammad YunusTatsuji Hayakawa　　････････････････････････････････  56RECENT INCREASES IN ASSETS UNDER MANAGEMENT OF JAPANESE MUTUAL FUNDS:REALITY OR MIRAGE?Ian James Bisset　　････････････････････････････････  66「Establishment of NIPA in the United States and its impact on Japan」Kazuo Takayama　　････････････････････････････････  76Fiscal Reform and the Construction of the Public Health System in China:Focusing on Local Public Health ExpenditureWU Qingji　　････････････････････････････････  86The Transition of Health Risks and the Response of Public Health Administration in China:Focusing on Infectious Diseases, Chronic Diseases, and Environment-related DiseasesWU Qingji　　････････････････････････････････  99"Expanding accountability through non-financial information"- The importance of including tax information Tetsuya Iida　　････････････････････････････････ 116

表紙_福山大学経済学論集 第49巻

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