Tiivistelmä. Palkkirakenteet ovat hyvin keskeisessä asemassa teollisuudessa monikäyttöisyytensä vuoksi. Taivutustilanteissa ollaan kiinnostuneita palkin poikkileikkauksen jännityskentästä, sillä se kertoo rakenteen lujuudesta. Standardit ja normit puolestaan antavat rajoitteita palkin eri pisteiden siirtymille. Insinöörien olisi hyvä tietää, tilanteesta riippuen, tuleeko mallinnus suorittaa geometrisesti lineaarisella vai epälineaarisella teorialla. Tämän työn teoriaosuudessa johdetaan taipumaviivan yhtälöt kahdelle lineaariselle palkkiteorialle ja läpikäydään epälineaarisuuden muotoja. Teoriaosuuden jälkeen suoritetaan geometrisesti lineaarisen ja epälineaarisen teorioiden vertailu esimerkkitehtävällä FEM-ohjelmassa.
Tunnetuin lineaarisista palkkiteorioista on Euler-Bernoullin taivutusteoria, missä leikkausvoiman vaikutus jätetään huomiotta ja oletetaan, että palkin poikkileikkaukset säilyttävät deformaatiossa tasomaisuutensa. Timoshenkon palkkiteoria puolestaan huomioi leikkausvoiman aiheuttaman leikkausjännityksen, mikä aiheuttaa palkin poikkileikkauksissa deplanaation. Materiaalista ja reunaehdoista johtuvat epälineaarisuudet esitellään lukijalle yksinkertaisilla analyyttisilla esimerkeillä. Geometrisesta epälineaarisuudesta käydään läpi taivutetun palkin kokema jännitysjäykistyminen tasotilanteessa. Työn tavoitteena on näyttää lukijalle, mitä geometrisesti lineaarinen mallinnus jättää huomiotta taivutetun palkin laskennassa ja kuinka merkittävää tämä on tulosten kannalta. Lisäksi kerrotaan, milloin laskenta olisi suoritettava geometrisesti epälineaarisella teorialla ja muutamia käytännön peukalosääntöjä helpottamaan tilanteiden tunnistamista. Lukija voi hyödyntää työtä ja sen lähdekirjallisuutta erilaisiin ja vaativimpiin rakennelmiin.
Laskentaesimerkin saaduista taipumaviivoista voidaan päätellä, että molemmat teoriat ovat käypiä kyseiselle palkille ja kuormitukselle. Positiiviset kalvovoimat lisäävät rakenteen taivutusjäykkyyttä huomattavasti, jolloin rakenne vastustaa sitä taivuttavia voimia ja näin ollen taipuu vähemmän. Tämä jännitysjäykistymiseksi kutsuttu ilmiö huomioidaan geometrisesti epälineaarisessa teoriassa jännitysjäykkyysmatriisilla, joka summataan rakenteen elastiseen jäykkyysmatriisiin. Laskentaesimerkissä käytetty molemmista päistä niveltuettu palkki ei pääse pitenemään, jolloin sen sisäiset kalvovoimat kasvavat suuresti verrattuna toisesta päästä aksiaalissuunnassa vapaasti liikkuvaan palkkiin. Geometrisesti lineaarinen teoria laskee ainoastaan elastisen jäykkyysmatriisin, jolloin tietyissä tilanteissa siirtymät voivat kasvaa älyttömän suuriksi. Kalvovoimat voivat olla myös negatiivisia, jolloin aiheutuu rakenteen nurjahtaminen. Analogisesti palkkirakenteelle voidaan samankaltaista laskentaa suorittaa levy- ja kuorirakenteille.
Peukalosääntöihin kuuluu palkkirakenteissa sallitut venymät, jotka ovat lähteistä riippuen 2–5 % ja maksimitaipuma, mikä voi korkeintaan olla puolet palkin korkeudesta. Lisäksi suunnittelijan tulisi tarkastella lineaarisella teorialla laskettua rakenteen deformaatiota luonnollisessa skaalauksessa ja nähtäessä selvää muodonmuutosta tulisi käyttää geometrisesti epälineaarista teoriaa. Epäiltäessä tulosten luotettavuutta tulisi käyttää geometrisesti epälineaarista teoriaa.Comparison of linear beam theory and geometrically nonlinear FEM solution. Abstract. Beam structures play a very central role in industry due to their multifunctionality. In bending situations, there is interest in the stress state of the cross-section of the beam, as it indicates the strength of the structure. Standards and norms, on the other hand, provide limitations on the displacements of different points in the beam. It would be good for engineers to know, depending on the situation, whether modelling should be carried out with geometrically linear or nonlinear theory. The theoretical part of this thesis derives the equations of the deflection curve for two linear beam theories and undergoes forms of nonlinearity. After the theory section, a comparison of linear beam theory and geometrically nonlinear FEM solution is carried out with an example.
The most famous of the linear beam theories is Euler-Bernoulli’s bending theory, where the effect of shearing force is ignored, and it is assumed that the cross-sections of the beam retain their planeness in deformation. Timoshenko’s beam theory, on the other hand, takes into account the shearing stress caused by the shearing force, which causes deplanation in the cross-sections of the beam. Nonlinearities due to material and boundary conditions are presented to the reader with simple analytical examples. Geometric nonlinearity is reviewed by the stress stiffening experienced by the bent beam in plane. The aim of the thesis is to show the reader what geometrically linear modelling ignores in the calculation of the bent beam and how significant this is in terms of results. In addition, it is explained when the calculation should be carried out with a geometrically nonlinear theory and a few practical thumb rules to facilitate the identification of these situations. The reader can utilize the thesis and its source literature for various and more demanding structures.
The deflection curves obtained from the calculation example suggest that both theories are valid for the used beam and load. Positive membrane forces greatly increase the bending stiffness of the structure, causing the structure to resist transverse forces and thus bend less. This phenomenon, known as stress stiffening, is taken into account in geometrically nonlinear theory by a stress stiffness matrix summed to the elastic stiffness matrix of the structure. The beam pinned at both ends used in the calculation example cannot lengthen, causing its internal membrane forces to increase greatly compared to the axially free beam at one end. Geometrically linear theory calculates only the elastic stiffness matrix, which means that in certain situations deflections can become incredibly large. Membrane forces can also be negative, causing the structure to buckle. By analogy, similar calculation of the beam structure can be performed on plate and shell structures.
The rules of thumb include strains allowed in beam structures, which are between 2% and 5% depending on the sources, and the maximum displacement, which can be at most half the height of the beam. In addition, the designer should look at the deformation of the structure calculated by linear theory in natural scaling and when seeing clear deformation, geometrically nonlinear theory should be used. When doubting the reliability of the results, a geometrically nonlinear theory should be used
