Pro gradu -tutkielmassani pyrin esittelemään lukijalle permutaatioiden ominaisuuksia ja sovellusmahdollisuuksia. Permutaatioiden teoria on keskeinen osa kaikkien matemaattisten ryhmien tutkimusta. Tutkielmani lähtee liikkeelle ryhmäteorian perusteista ja teoriaosuus päättyy ryhmän ratoja käsittelevään lukuun. Tutkielman lähteinä olen käyttänyt enimmäkseen Joseph J. Rotmanin kirjaa A first course in abstract algebra sekä Clive Reisin teosta Abstract algebra. Tutkielman rakenne noudattaa suurelta osin päälähteiden teorian käsittelyjärjestystä.
Työn alussa kerrataan tutkielman kannalta olennaisia ryhmäteorian perustietoja määritelmin, lausein ja esimerkein. Esitiedoissa määritellään ryhmä, aliryhmä, normaali aliryhmä, aliryhmän sivuluokat sekä ryhmähomomorfismi. Seuraavasta luvusta lähtien keskitytään varsinaiseen aiheeseen eli permutaatioihin ja symmetriseen ryhmään.
Toisessa luvussa nähdään permutaatiolle syklimuotoinen esitys, sekä monia sykleihin liittyviä ominaisuuksia. Lisäksi määritellään permutaation pariteetti, alternoiva ryhmä, sekä tutustutaan permutaatioiden konjugointiin. Toisen luvun tärkein tulos on alternoivan ryhmän yksinkertaisuus, jonka todistamiseksi esitellään melko laskennallinen tapa.
Kolmannen luvun alussa nähdään Arthur Cayleyn lauseen myötä, että jokainen ryhmä voidaan esittää jonkin permutaatioryhmän avulla. Kolmannessa luvussa esitellään yleisemmin, mitä on ryhmän operointi, ja mikä on ryhmän rata. Luvun lopussa esiteltävä ei-Burnsiden lemma on erittäin käyttökelpoinen apuväline permutaatioryhmien ratojen laskemiseksi.
Viimeisessä luvussa esitellään yksi historian tunnetuimmista logiikkapeleistä, 15-peli, sekä siihen liittyvään tehtävään permutaatioiden pariteettia hyödyntävä ratkaisu. Lisäksi nähdään vielä muutama esimerkki Ei-Burnsiden lemman käytöstä
