Recently, to describe various mathematical models of physical processes, fractional differential calculus has been widely used. In this regard, much attention is paid to partial differential equations of fractional order, which are a generalization of partial differential equations of integer order. In this case, various settings are possible.Loaded differential equations in the literature are called equations containing values of a solution or its derivatives on manifolds of lower dimension than the dimension of the definitional domain of the desired function. Currently, numerical methods for solving loaded partial differential equations of integer and fractional (porous media) orders are widely used, since analytical solving methods for solving are impossible.In the paper, we study the initial-boundary value problem for the loaded differential heat equation with a fractional Caputo derivative and conditions of the third kind. To solve the problem on the assumption that there is an exact solution in the class of sufficiently smooth functions by the method of energy inequalities, a priori estimates are obtained both in the differential and difference interpretations. The obtained inequalities mean the uniqueness of the solution and the continuous dependence of the solution on the input data of the problem. Due to the linearity of the problem under consideration, these inequalities allow us to state the convergence of the approximate solution to the exact solution at a rate equal to the approximation order of the difference scheme. An algorithm for the numerical solution of the problem is constructed.В последнее время при описании различных математических моделей физических процессов широко используется дробно-дифференциальное исчисление. В связи с этим большое внимание уделяется дифференциальным уравнениям с частными производными дробного порядка, которые являются обобщением уравнений с частными производными целочисленного порядка. При этом возможны различные постановки.Нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе принято называть уравнения, содержащие значения решения или его производных на многообразиях меньшей размерности, чем размерность области определения искомой функции. В настоящее время широко используются численные методы решения нагруженных уравнений в частных производных целочисленного и дробного (пористые среды) порядков, поскольку аналитические методы решения оказываются невозможными.В данной работе исследуется начально-краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения теплопроводности с дробной производной Капуто и условиями третьего рода. Для решения поставленной задачи в предположении существования точного решения в классе достаточно гладких функций методом энергетических неравенств получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Полученные неравенства означают единственность решения и непрерывная зависимость решения от входных данных задачи. В силу линейности рассматриваемой задачи эти неравенства позволяют утверждать сходимость приближенного решения к точному решению со скоростью равной порядку аппроксимации разностной схемы. Построен алгоритм численного решения поставленной задачи
