Recentemente, o estudo das Probabilidades, conjuntamente com a Estatística, tem sido aprofundado nos programas escolares de Matemática de muitos países, dando-se início ao seu estudo logo nos primeiros anos de escolaridade. Motivado por essa tendência, no presente artigo apresentam-se e discutem-se vários jogos tendo em vista a aprendizagem de conceitos probabilísticos por alunos dos primeiros anos de escolaridade. Com os jogos propostos, vistos numa perspetiva exploratória e de descoberta, promove-se a comparação intuitiva de probabilidades de acontecimentos, o desenvolvimento da compreensão de aspetos lógicos e a descoberta de acontecimentos mutuamente exclusivos, contrários e idênticos.info:eu-repo/semantics/publishedVersio

Fernandes, José António

Palhares, Pedro

Universidade do Minho: RepositoriUM

JogosExplorac¸a˜o de conceitosprobabil´ısticos nos primeiros anos deescolaridade atrave´s de jogosJose´ Anto´nio Fernandes, Pedro PalharesUniversidade do Minhojfernandes@ie.uminho.pt, palhares@ie.uminho.ptResumo: Recentemente, o estudo das Probabilidades, conjuntamente com a Es-tat´ıstica, tem sido aprofundado nos programas escolares de Matema´ica de muitospa´ıses, dando-se in´ıcio ao seu estudo logo nos primeiros anos de escolaridade.Motivado por essa tendeˆncia, no presente artigo apresentam-se e discutem-seva´rios jogos tendo em vista a aprendizagem de conceitos probabil´ısticos por alu-nos dos primeiros anos de escolaridade. Com os jogos propostos, vistos numaperspetiva explorato´ria e de decoberta, promove-se a comparac¸a˜o intuitiva deprobabilidades de acontecimentos, o desenvolvimento da compreensa˜o de aspe-tos lo´gicos e a descoberta de acontecimentos mutuamente exclusivos, contra´riose ideˆnticos.Palavras-chave: aprendizagem; conceitos probabil´ısticos; primeiros anos deescolaridade; jogos.1 Introduc¸a˜oAo abordarmos a questa˜o da introduc¸a˜o de jogos no ensino da matema´tica noEnsino Ba´sico devemos ter presente a existeˆncia de duas viso˜es que teˆm estadoem conflito desde ha´ mais de um se´culo e que ainda subsistem hoje, uma e´ conhe-cida como tradicional ou instrumental e outra como relacional ou construtivista[7, 8, 12]. Estas duas viso˜es teˆm posic¸o˜es claramente distintas relativamente a`aquisic¸a˜o do conhecimento por parte das crianc¸as e relativamente a` escolha dotipo de tarefas por parte do professor.No que respeita a` aquisic¸a˜o do conhecimento, a visa˜o instrumental segue o ve-lho princ´ıpio de Thorndyke, reforc¸ado pelo behaviorismo de Skinner, da tabulaerasae, que implica a transmissa˜o de conhecimento por parte do professor e aJornal das Primeiras Matema´ticas, N.o 4, pp. 3–104 Explorac¸a˜o de probabilidades nos primeiros anos com jogosna˜o considerac¸a˜o de quaisquer conhecimentos intuitivos pre´vios [6].Ja´ a visa˜o relacional defende a construc¸a˜o do conhecimento pela crianc¸a, re-conhecendo ainda assim que ha´ conhecimento de origem social para ale´m doconhecimento de tipo lo´gico [5], ou seja, conhecimento arbitra´rio do qual acrianc¸a tera´ de ser informada [3].No que respeita ao tipo de tarefas na sala de aula, conve´m comec¸ar pela dis-tinc¸a˜o de Ponte [10], que constro´i um esquema com dois eixos bidirecionais, o dodesafio reduzido a elevado e o do grau de divergeˆncia desde o totalmente abertoao totalmente fechado, de forma que emergem quatro categorias de tarefas:exerc´ıcios (tarefas fechadas de desafio reduzido), problemas (tarefas fechadasde desafio elevado), explorac¸o˜es (tarefas abertas de desafio reduzido) e inves-tigac¸o˜es (tarefas abertas de desafio elevado).A apologia fundamentada dos exerc´ıcios no ensino de matema´tica na visa˜o ins-trumental deve-se em grande medida a Thordyke, que no in´ıcio do se´culo XX,estipulou os exerc´ıcios como componente central do ensino da matema´tica. Asua teoria teve tanto sucesso junto de professores e demais agentes do sistemaeducativo que ainda hoje esta´ disseminada por todo o mundo [4].E´ com Polya [9] que a resoluc¸a˜o de problemas emerge com forc¸a suficiente parase ir impondo aos poucos, de tal forma que atualmente se encontra inclu´ıdana maior parte dos curricula a n´ıvel mundial, podendo ainda assim consti-tuir apenas uma pra´tica pontual, ja´ que alguns mudaram o nome das tarefasque propo˜em mas na˜o a natureza das mesmas [11]. As explorac¸o˜es e as inves-tigac¸o˜es matema´ticas sa˜o mais recentes, mas constituiram-se, juntamente coma resoluc¸a˜o de problemas, como escolhas do professor numa visa˜o relacional queprocura fomentar a descoberta por parte dos alunos.Tem havido algumas experieˆncias de introduc¸a˜o de jogos na educac¸a˜o ma-tema´tica elementar, com pressupostos de base diferentes entre si. Para a visa˜oinstrumental do ensino da matema´tica, o jogo so´ e´ admiss´ıvel como potenciadorde pra´tica de te´cnicas ja´ ensinadas previamente. Ja´ na visa˜o relacional do en-sino da matema´tica e´ poss´ıvel introduzir o jogo como ve´ıculo para a construc¸a˜ode conhecimentos, sejam estes conhecimentos cient´ıficos, mais ou menos forma-lizados, ou conhecimentos intuitivos.Na nossa opinia˜o, o uso de jogos so´ para pra´tica repetida de capacidades debaixo n´ıvel e´ limitador e pouco interessante. Os jogos com fins educativos po-dem e devem ser usados antes, durante e depois da instruc¸a˜o seja para ajudaros alunos a desenvolver capacidades de n´ıvel mais elevado ou para construirconhecimento novo, ou mesmo para desenvolver o conhecimento intuitivo, cons-truindo pontes com o conhecimento formal de conceitos matema´ticos.E´ neste u´ltimo sentido que propomos o conjunto de jogos que se seguem, que in-cluem atividade de tipo explorato´ria no seu desenrolar. Cremos que devidamenteutilizados podera˜o permitir a`s crianc¸as melhorar os seus conceitos intuitivos deprobabilidade, que mais tarde permitira˜o um acesso facilitado a` construc¸a˜o doconhecimento matema´tico formalizado.Jornal das Primeiras Matema´ticas, N.o 4, pp. 3–10Jose´ Anto´nio Fernandes, Pedro Palhares 52 Descric¸a˜o e explorac¸a˜o dos jogosA pra´tica dos va´rios jogos, que se apresentam a seguir, requer a existeˆncia deum saco com 5 contas vermelhas e 3 contas azuis. A cada um dos alunos queparticipa nos jogos devem ser distribu´ıdos os oito carto˜es que sa˜o apresentadosna Figura 1.Figura 1: Carto˜es a distribuir por cada um dos alunos que participa nos jogos.Deve ser distribu´ıdo tambe´m um tabuleiro de jogo por cada um dos alunosparticipantes, onde ele registara´ o seu progresso ao longo das jogadas que va˜osendo efetuadas por outro aluno, que assume o papel de l´ıder, retirando, ao acasoe sem ver, duas contas do saco, mostrando-as aos restantes alunos e voltandoa coloca´-las no saco. O tabuleiro do jogo deve ter sete casas e o aluno avanc¸ada casa em que se encontra para a seguinte quando ganha (Figura 2), o quesignifica que o resultado da extrac¸a˜o das duas contas verifica o acontecimentodefinido no carta˜o por si previamente escolhido.Figura 2: Tabuleiro do jogo a ser distribu´ıdo por cada um dos alunos partici-pantes.Jornal das Primeiras Matema´ticas, N.o 4, pp. 3–106 Explorac¸a˜o de probabilidades nos primeiros anos com jogos2.1 Jogo 1Objetivos. Comparar intuitivamente probabilidades de acontecimentos; e De-senvolver a compreensa˜o de conectivos lo´gicos.Regras. Cada aluno escolhe um carta˜o e regista o seu nu´mero. O aluno l´ıder tiraduas contas do saco. Cada aluno verifica, enta˜o, se a afirmac¸a˜o do carta˜o e´ ver-dadeira para as duas contas que foram retiradas. Se for, o aluno pode avanc¸aruma casa no seu tabuleiro de jogo. Cada aluno mante´m o mesmo carta˜o duranteo jogo, o qual termina quando algum aluno atingir a u´ltima casa do seu tabuleiro.Explorac¸a˜o. Naturalmente o jogo comec¸a com a exemplificac¸a˜o do jogo de modoa que as suas regras sejam claramente compreendidas pelos alunos. A com-parac¸a˜o intuitiva das probabilidades, tendo em vista a identificac¸a˜o do aconte-cimento mais prova´vel, que conduzira´ mais provavelmente a vencer o jogo, podebasear-se na comparac¸a˜o do nu´mero de bolas de cada cor existentes no saco edo significado dos conectivos que interveˆm nas definic¸o˜es dos acontecimentos.Temos o seguinte:1. Definindo os carto˜es 2 e 6 o mesmo acontecimento, as suas probabilidadessa˜o iguais, e o mesmo acontece em relac¸a˜o aos acontecimentos definidospelos carto˜es 5 e 7;2. Entre os acontecimentos definidos pelos carto˜es 1 e 4, o correspondenteao carta˜o 4 e´ mais prova´vel porque as duas contas de cor diferente podemser obtidas segundo duas ordens (primeiro a conta vermelha e seguida-mente a conta azul ou vice-versa), enquanto o mesmo na˜o acontece como acontecimento relativo ao carta˜o 1. Esta conclusa˜o pode ser invalidadaa` medida que o nu´mero de contas azuis diminui em relac¸a˜o ao nu´mero decontas vermelhas;3. Entre os acontecimentos definidos nos carto˜es 3 e 8, o acontecimento es-tabelecido pelo carta˜o 3 e´ mais prova´vel porque o nu´mero de contas ver-melhas e´ superior ao nu´mero de contas azuis.4. O acontecimento definido no carta˜o 3 e´ o mais prova´vel, donde da´ maischances ao aluno que o escolher de ganhar o jogo.2.2 Jogo 2Objetivos. Comparar intuitivamente probabilidades de acontecimentos; Desen-volver a compreensa˜o de conetivos lo´gicos; e Descobrir acontecimentos mutua-mente exclusivos.Regras. Cada aluno escolhe dois carto˜es e e´ permitido avanc¸ar no tabuleiro dejogo quando se verificar exatamente um dos dois acontecimentos definidos noscarto˜es escolhidos, o que significa que exatamente uma das afirmac¸o˜es dos doiscarto˜es e´ verdadeira.Explorac¸a˜o. Sendo a ideia nova neste jogo a questa˜o de que exatamente umadas afirmac¸o˜es deve ser verdadeira para poder avanc¸ar no tabuleiro, iniciar-se-a´uma pequena discussa˜o sobre o seu significado. Um aluno ou o professor podeJornal das Primeiras Matema´ticas, N.o 4, pp. 3–10Jose´ Anto´nio Fernandes, Pedro Palhares 7clarificar o seu significado com a seguinte formulac¸a˜o: “Na˜o e´ permitido moveres-te se ambas as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras ou se ambas sa˜o falsas”. Tendo emvista maximizar as possibilidades de vencer o jogo, o aluno deve proceder daseguinte forma:1. Escolher dois carto˜es cujos acontecimentos sejam mutuamente exclusivospois a verificac¸a˜o de um implica a na˜o verificac¸a˜o do outro, como acontececom os pares de acontecimentos definidos nos carto˜es 2 e 5;2. Escolher dois carto˜es cujos acontecimentos sejam contra´rios pois, ale´mde serem mutuamente exclusivos, a sua reunia˜o e´ o acontecimento certo,como acontece com os pares de acontecimentos definidos nos carto˜es 1 e4, 2 e 4, 4 e 5, 3 e 7 ou 6 e 8. Neste caso, porque os acontecimentos sa˜omutuamente exclusivos e a sua reunia˜o e´ o acontecimento certo, um dosdois acontecimentos verifica-se sempre e outro na˜o se verifica ou, por outraspalavras, qualquer par de acontecimentos contra´rios e´ sempre ganhador.2.3 Jogo 3Objetivos. Comparar intuitivamente probabilidades de acontecimentos; Desen-volver a compreensa˜o de conetivos lo´gicos; e Descobrir acontecimentos mutua-mente exclusivos.Regras. Neste jogo, cada aluno deve escolher um acontecimento definido numdos carto˜es e definir um segundo acontecimento atrave´s de uma nova afirmac¸a˜opor si estabelecida. O aluno pode enta˜o avanc¸ar no seu tabuleiro quando severificar exatamente um dos dois acontecimentos, seja o definido pelo carta˜oescolhido ou o criado pelo aluno.Explorac¸a˜o. Este jogo e´ em tudo semelhante ao jogo 2, diferindo apenas pelofacto de um dos dois acontecimentos ser o aluno a defini-lo, enquanto antesambos os acontecimentos eram definidos pelos dois carto˜es escolhidos. Nestecaso, porque se espera que os alunos sejam criativos, definindo um dos seuspro´prios acontecimentos, distinto dos definidos nos carto˜es, a maximizac¸a˜o dassuas possibilidades de vencer o jogo consiste em definir acontecimentos mutua-mente exclusivos, ja´ que o acontecimento contra´rio de qualquer um dos aconte-cimentos definidos nos oito carto˜es esta´ tambe´m inclu´ıdo nesses carto˜es. Assim,embora a escolha do acontecimento contra´rio do acontecimento definido pelocarta˜o escolhido maximize as hipo´teses de ganhar o jogo, isso conduziria a esco-lher um acontecimento definido por outro carta˜o, ficando os dois acontecimentosdefinidos por dois carto˜es, diferentemente do que se pretende. Na procura deacontecimentos mutuamente exclusivos, alguns alunos podera˜o definir aconteci-mentos como “Uma das contas e´ amarela”, que e´ um acontecimento imposs´ıvele, portanto, incompat´ıvel com qualquer outro acontecimento.2.4 Jogo 4Objetivos. Comparar intuitivamente probabilidades de acontecimentos; Desen-volver a compreensa˜o de conectivos lo´gicos; e Descobrir acontecimentos iguais.Jornal das Primeiras Matema´ticas, N.o 4, pp. 3–108 Explorac¸a˜o de probabilidades nos primeiros anos com jogosRegras. Neste jogo, cada aluno deve escolher um acontecimento definido num doscarto˜es e definir um segundo acontecimento atrave´s de uma nova afirmac¸a˜o. Oaluno pode enta˜o avanc¸ar no seu tabuleiro quando se verificarem ambos os acon-tecimentos ou quando na˜o se verificar nenhum dos dois acontecimentos, o quesignifica que ambas as afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras ou que ambas as afirmac¸o˜essa˜o falsas.Explorac¸a˜o. Este jogo envolve a definic¸a˜o de acontecimentos iguais, ou seja,definidos atrave´s de afirmac¸o˜es com o mesmo significado. Em consequeˆncia, osalunos podem apresentar pares de afirmac¸o˜es, como por exemplo:1. Escolher o carta˜o 1 e definir a nova afirmac¸a˜o: “As duas contas sa˜o ambasvermelhas ou ambas azuis”;2. Escolher o carta˜o 2 e definir a nova afirmac¸a˜o: “Nenhuma das duas contase´ azul”;3. Escolher o carta˜o 3 e definir a nova afirmac¸a˜o: “Ha´ no ma´ximo uma contaazul entre elas”;4. Escolher o carta˜o 4 e definir a nova afirmac¸a˜o: “As duas contas sa˜o decores diferentes”.Alterando a composic¸a˜o do saco para 4 contas vermelhas, 3 contas verdes e 1conta azul, extraindo treˆs contas do saco e distribuindo os oito carto˜es da Figura3 a cada um dos alunos, obteˆm-se novas verso˜es dos jogos antes apresentados,agora com um maior n´ıvel de desafio.Figura 3: Carto˜es a distribuir por cada um dos alunos que participa nos jogos.Jornal das Primeiras Matema´ticas, N.o 4, pp. 3–10Jose´ Anto´nio Fernandes, Pedro Palhares 9Tal como anteriormente, deve ser distribu´ıdo tambe´m um tabuleiro de jogo porcada um dos alunos participantes (ver Figura 2), onde ele registara´ o seu pro-gresso ao longo das jogadas que va˜o sendo efetuadas por outro aluno, que assumeo papel de l´ıder retirando, ao acaso e sem ver, treˆs contas do saco, mostrando-asaos restantes alunos e voltando a coloca´-las no saco. O aluno avanc¸a da casaem que se encontra no tabuleiro para a seguinte quando ganha, o que significaque o resultado da extrac¸a˜o das treˆs contas verifica o acontecimento ou acon-tecimentos definidos, respetivamente, no carta˜o ou carto˜es por si previamenteescolhidos.Seguidamente, nas novas condic¸o˜es (nova composic¸a˜o do saco e extrac¸a˜o detreˆs contas em vez de duas), os alunos exploram cada um dos jogos referidosanteriormente, mantendo-se os objetivos e as regras. Naturalmente, o factode estarem envolvidas treˆs contas em vez de duas em cada extrac¸a˜o, torna aexplorac¸a˜o dos novos jogos muito mais desafiante.3 Considerac¸o˜es dida´ticasA pra´tica dos jogos descritos anteriormente podera´ ser explorada com alunos dou´ltimo ano de escolaridade do 1.◦ ciclo do ensino ba´sico e do 2.◦ ciclo do ensinoba´sico. No caso dos jogos que envolvem a extrac¸a˜o de duas contas do saco, aabordagem intuitiva sugerida no texto permite a alunos do 4.◦ ano identificaremo acontecimento mais prova´vel, o qual maximizara´ as chances de vencer o jogo.Sobretudo no caso de comparac¸o˜es de probabilidades, Fernandes [2] constatouque a maioria de alunos do 8.◦ ano, que na˜o tinham aprendido a calcular pro-babilidades pela regra de Laplace, adotaram uma abordagem intuitiva, e essasestrate´gias intuitivas continuaram a ser tambe´m largamente usadas por alunosdo 9.◦ ano, ja´ depois terem aprendido a determinar probabilidades pela regrade Laplace.Ja´ a pra´tica dos jogos envolvendo a extrac¸a˜o de treˆs contas do saco e´ muitomais desafiante para os alunos, donde e´ recomenda´vel que eles sejam exploradosapenas por alunos de anos de escolaridade mais avanc¸ados, como seja do 2.◦ ci-clo do ensino ba´sico. Nestes jogos, o facto de estarem envolvidas treˆs contas emvez de duas torna as situac¸o˜es bem mais complexas, especialmente por poderemimplicar a necessidade de os alunos reconhecerem as diferentes configurac¸o˜es derealizac¸a˜o dos acontecimentos. A este respeito, Correia [1] verificou que alunosdo 9.◦ ano foram capazes de estabelecer te´cnicas intuitivas de contagem, paraale´m das te´cnicas de contagem standard.Em termos de organizac¸a˜o dos alunos nos jogos, sugere-se que os alunos se or-ganizem em grupos de cerca de cinco alunos, em que um dos alunos assume opapel de l´ıder (responsabilizando-se pela extrac¸a˜o das conta do saco) e os res-tantes assumem o papel de jogador. A cada grupo sera´ distribu´ıdo o conjuntodos oitos carto˜es, do qual cada aluno jogador escolhera´ um ou dois carto˜es deacordo com o jogo. A cada aluno jogador deve ser-lhe distribu´ıdo um tabuleirode jogo onde ele assinalara´ o seu progresso ao longo da realizac¸a˜o do jogo.Depois de terminado o jogo, deve proceder-se a uma s´ıntese, no grupo-turma,Jornal das Primeiras Matema´ticas, N.o 4, pp. 3–1010 Explorac¸a˜o de probabilidades nos primeiros anos com jogosdo que aconteceu nos diferentes grupos, seguindo-se uma discussa˜o entre os alu-nos, com a orientac¸a˜o do professor, de modo a serem identificadas as razo˜es queexplicam o facto de alguns acontecimentos terem sido vencedores, enquanto ou-tros na˜o se revelaram vencedores. Este momento de discussa˜o reveste-se, assim,de uma importaˆncia decisiva na elaborac¸a˜o e refinamento dos argumentos dosalunos, acerca da comparac¸a˜o de probabilidades e do significado dos conectivoslo´gicos, de acontecimentos mutuamente exclusivos e de diferentes definic¸o˜es domesmo acontecimento.Refereˆncias[1] Correia, P. F. Racioc´ınios em Combinato´ria de alunos do 9.º ano de escola-ridade, Dissertac¸a˜o de mestrado, Universidade do Minho, Braga, Portugal,2008.[2] Fernandes, J. A. Intuic¸o˜es e aprendizagem de probabilidades: uma propostade ensino de probabilidades no 9.º ano de escolaridade, Tese de doutora-mento, Universidade do Minho, Braga, Portugal, 1999.[3] Hewit, D. “Arbitrary and necessary Part 1: a way of viewing the mathe-matics curriculum”, For the learning of mathematics, 19(3), 2-9, 1999.[4] Kilpatrick, J. “A history of research in mathematics education”, in Dou-glas A. Grouws (Ed.), Handbook of research in mathematics teaching andlearning, 3-38, New York: MacMillan, 1992.[5] Nunes, T., Bryant, P. Children doing mathematics, Oxford: Blackwell,1996.[6] Orton, A. 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H. “Learning to think mathematically: problem solving,metacognition, and sense making in mathematics”, in D. A. Grouws (Ed.),Handbook of research in mathematics teaching and learning, 334-370, NewYork: Macmillan, 1992.[12] Skemp, R. R. The psychology of learning mathematics, Middlesex, U. K.:Penguin Books, 1971.Jornal das Primeiras Matema´ticas, N.o 4, pp. 3–10

Exploração de conceitos probabilísticos nos primeiros anos de escolaridade através de jogos

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