O fenómeno da globalização, juntamente com um relaxamento na supervisão dos mercados financeiros, tornou-os mais vulneráveis e mais dependentes entre si. A ocorrência de grandes perdas
em mercados fortes acaba por se reflectir ao nível das principais bolsas
mundiais, e vice-versa. A necessidade de medir esta interdependência extremal conduziu ao aparecimento de diversos coeficientes
no seio da teoria multivariada de valores extremos. Neste trabalho
apresentam-se coeficientes para a dependência extremal entre dois
vetores aleatórios, estendendo medidas existentes na literatura. A
estimação ser´a também abordada e uma ilustração do conceito será
feita com dados reais.This research was financed by FEDER Funds through “Programa Operacional Factores de Competitividade - COMPETE” and by Portuguese Funds through FCT - ”Fundação para a Ciência e a Tecnologia”, within the Project PEst-OE/MAT/UI0013/201

Ferreira, Helena

Ferreira, Marta Susana

Universidade do Minho: RepositoriUM

Dependeˆncia extremal: risco de conta´giode valores extremosHelena FerreiraDepartamento de Matema´tica, Universidade da Beira Interior, Co-vilha˜, Portugal, helena.ferreira@ubi.ptMarta FerreiraDepartamento de Matema´tica e Aplicac¸o˜es, Centro de Matema´ticada Universidade do Minho, Braga, Portugal,msferreira@math.uminho.ptPalavras–chave: teoria de valores extremos multivariada, coefici-entes de dependeˆncia na cauda de subvetores, infereˆnciaAbstract: O feno´meno da globalizac¸a˜o, juntamente com um relaxa-mento na supervisa˜o dos mercados financeiros, tornou-os mais vul-nera´veis e mais dependentes entre si. A ocorreˆncia de grandes perdasem mercados fortes acaba por se reflectir ao n´ıvel das principais bol-sas mundiais, e vice-versa. A necessidade de medir esta interdepen-deˆncia extremal conduziu ao aparecimento de diversos coeficientesno seio da teoria multivariada de valores extremos. Neste trabalhoapresentam-se coeficientes para a dependeˆncia extremal entre doisvetores aleato´rios, estendendo medidas existentes na literatura. Aestimac¸a˜o sera´ tambe´m abordada e uma ilustrac¸a˜o do conceito sera´feita com dados reais.1 Introduc¸a˜oDevido a` globalizac¸a˜o e a uma falta de supervisa˜o, vem-se assis-tindo a um aumento da dependeˆncia nos mercados financeiros. Na˜oadmira, portanto, que a´reas como a gesta˜o de riscos em financ¸asesteja altamente interessada na quantificac¸a˜o dessa dependeˆncia.Por exemplo, a medida de risco sobejamente conhecida por VaR(Value-at-Risk), depende fortemente da estrutura de dependeˆnciaentre eventos extremos, tornando importante a modelac¸a˜o e a ana´-lise da dependeˆncia extremal. Na verdade, a teoria de valores extre-mos multivariada oferece-se como a ferramenta natural para abordaresta questa˜o. A medida mais usada neste contexto e´ o coeficiente dedependeˆncia de cauda, usualmente denotado TDC (tail dependencecoefficient), definido do seguinte modo ([4]):λ := limt↓0P (F2(X2) > 1− t|F1(X1) > 1− t), (1)onde F1 e F2 sa˜o func¸o˜es de distribuic¸a˜o (f.d.’s) das varia´veis aleato´-rias (v.a.’s) X1 e X2, respetivamente, consideradas cont´ınuas. Diz-seque o par (X1,X2) apresenta dependeˆncia de cauda sempre que λ > 0e independeˆncia quando λ = 0. Formulac¸o˜es multivariadas de coe-ficientes de dependeˆncia de cauda podem ser usadas para descrevero grau de dependeˆncia na cauda de um ortante de uma distribuic¸a˜omultivariada (e.g. [6], [5] e [7]). Muitas destas medidas, recente-mente cada vez mais utilizadas em tempos ta˜o exigentes, consideramque os eventos extremos ocorrem em todas as componentes do vetor.Isto implica uma maior complexidade de trabalho e de compreensa˜odas mesmas, quando em comparac¸a˜o com o caso bivariado. Na˜osurpreendentemente, as aplicac¸o˜es raramente va˜o ale´m da dimensa˜otreˆs. Relaxando um pouco a dimensa˜o no sentido de considerar aocorreˆncia de pelo menos um evento extremo em sub-vetores (blocos)de um vetor aleato´rio, pode ser suficiente para avaliar a dependeˆnciade cauda. Por exemplo, ate´ que ponto a queda de um mercado naEuropa pode influenciar a ocorreˆncia de pelo menos um crash deum mercado norte-americano, e vice-versa? Em Ferreira e Ferreira([2], 2012) foi considerada uma func¸a˜o de dependeˆncia de cauda quepermite avaliar a probabilidade de ocorrer simultaneamente algumvalor extremo em cada um dos blocos.Neste trabalho apresentamos uma func¸a˜o para a dependeˆncia decauda de um vetor aleato´rio, baseada na probabilidade de ocorreremvalores extremos para o ma´ximo de um bloco, dado que o ma´ximo deoutro bloco assume um valor extremo tambe´m. No vetor unita´rio,esta func¸a˜o origina o aqui designado BTDC (block tail dependencecoefficient). O condicionamento nos dois sentidos permite diferen-ciar o n´ıvel de“gravidade”, consoante a propagac¸a˜o parte do primeiroou do segundo blocos. Relac¸o˜es com outros coeficientes conhecidosda literatura sera˜o tambe´m exploradas. O estabelecimento de pro-priedades conduzira´ a um estimador simples fortemente consistente.No final, uma aplicac¸a˜o a dados financeiros ilustrara´ o conceito.2 Dependeˆncia extremal em blocosSejaX = (X1,...,Xd) um vetor aleato´rio com f.d. F e f.d.’s marginaisFi cont´ınuas, i = 1, . . . ,n. Para I ⊂ {1,...,d}, defina-se M(I) =∨i∈I Fi(Xi) e XI o sub-vetor de X cujas v.a.’s esta˜o indexadas emI. Considere-se CF a func¸a˜o co´pula de F , i.e.,F (x1,...,xd) = CF (F1(x1),...,Fd(xd)), (x1,...,xd) ∈ Rd.Vamos estudar a dependeˆncia entre eventos extremos respeitantes adois sub-vetores (blocos), XI1 e XI2 , onde I1 e I2 sa˜o subconjuntosdisjuntos de {1,...,d}.A partir do TDC, a refereˆncia [7] introduz o conceito de func¸a˜o dedependeˆncia de cauda, definida por:Λ(x,y) := limt↓0P (F2(X2) > 1− x/t|F1(X1) > 1− y/t).De notar que Λ(1,1) = λ. Comec¸amos por estender, na Definic¸a˜o2.1, a func¸a˜o de dependeˆncia de cauda para dois blocos de vetores e,a partir desta, introduzimos um novo coeficiente para a dependeˆnciana cauda.Definic¸a˜o 2.1 Sejam I1 e I2 dois subconjuntos na˜o vazios de {1,...,d}.A func¸a˜o de dependeˆncia de cauda de XI1 dado XI2 e´ definida, para(x,y) ∈ (0,∞)2,Λ(I1|I2)(x,y) := limt→∞P(M(I1) > 1−xt∣∣∣M(I2) > 1− yt),desde que o limite exista.Denominaremos o coeficiente Λ(I1|I2)(1,1) por BTDC (block tail de-pendence coefficient), o qual nos da´ informac¸a˜o acerca da probabi-lidade de ocorrer algum valor extremo no bloco {Fi(Xi), i ∈ I1},dado que algum valor extremo ocorre no bloco {Fi(Xi), i ∈ I2}. Nocaso de I1 = {1} e I2 = {2}, Λ(I1|I2)(1,1) corresponde ao TDC dadoem (1). As medidas Λ(I1|I2)(1,1) e Λ(I2|I1)(1,1) permitem avaliar ate´que ponto a excedeˆncia de um valor de risco no bloco I2 se propagaao bloco I1, no primeiro caso, e vice-versa, no segundo caso. Assimsendo, diferencia simultaneamente o n´ıvel de “gravidade”, consoantea propagac¸a˜o parte do primeiro ou do segundo blocos. De notarque o coeficiente Λ(I1,I2)(1,1) analisado em Ferreira e Ferreira ([2],2012), corresponde a` probabilidade de ocorrer simultaneamente al-gum valor extremo em cada um dos blocos, na˜o permitindo a referidadiferenciac¸a˜o.No que segue, fixamos a notac¸a˜o a ser usada no resto do artigo:para (x,y) ∈ (0,∞)2, ∅ 6= I1,I2 ⊆ {1,...,d} e i ∈ {1,...,d}, sejaα(I1,I2)i (u,v) = u1I1(i) + v1I2(i) + 1I1∪I2(i)onde 1(·) e´ a func¸a˜o indicatriz, e para G uma distribuic¸a˜o multi-variada de valor extremo (MEV) e CG a func¸a˜o co´pula respetiva,sejal(I1,I2)(x−1,y−1) = − logCG(α(I1,I2)1(e−x,e−y),..., α(I1,I2)d(e−x,e−y)).Usaremos ainda a notac¸a˜o ∧ = min e ∨ = max.O coeficiente extremal e´ uma medida introduzida em [9] e mais tardeabordada em [8]. O coeficiente extremal de XI1∪I2 , denotado ǫI1∪I2 ,define-se porCG(α(I1,I2)1(e−x,e−x),..., α(I1,I2)d(e−x,e−x)) = exp(−x)ǫI1∪I2 ,pelo que, se teml(I1,I2)(x−1,x−1) = xǫI1∪I2 .Se F pertencer ao domı´nio de atrac¸a˜o de uma distribuic¸a˜o MEV G,enta˜o e´ poss´ıvel deduzirΛ(I1|I2)(x,y) = 1 +− log(exp(−x))ǫI1− log(exp(−y))ǫI2−l(I1,I2)(x−1,y−1)− log(exp(−y))ǫI2.Este resultado pode ser visto em [2] (Proposic¸a˜o 2.2).Exemplo 2.2 Considerando o modelo sime´trico log´ıstico, tem-sel(I1,I2)(x−1,y−1) =( d∑j=1(− logα(I1,I2)j (exp(−x), exp(−y)))1/θ)θ,com θ ∈ (0,1], x,y > 0. Logo,Λ(I1|I2)(x,y) = 1 +(∑j∈I1x1/θ)θ(∑j∈I2y1/θ)θ −(∑j∈I1x1/θ +∑j∈I2y1/θ)θ(∑j∈I2y1/θ)θ= 1+ |I1|θx|I2|θy−(|I1|x1/θ+|I2|y1/θ)θ|I2|θy.Proposic¸a˜o 2.3 Se F pertence ao domı´nio de atrac¸a˜o de uma dis-tribuic¸a˜o MEV, enta˜o0 ≤ Λ(I1|I2)(x,y) ≤ 1 ∧xǫI1yǫI2Dem.: A desigualdade da esquerda e´ imediata pela definic¸a˜o de Λ(I1|I2)(x,y).Para a desigualdade da direita, veja-se queF (a(I1,I2)1 (x−1,y−1),...,a(I1,I2)d (x−1,y−1))≤ F (a(I1,∅)1 (x−1,x−1),...,a(I1,∅)d (x−1,x−1))∧F (a(∅,I2)1 (y−1,y−1),...,a(∅,I2)d (y−1,y−1)),dondel(I1,∅)(x−1,x−1) + l(∅,I2)(y−1,y−1)− l(I1,I2)(x−1,y−1)≤ l(I1,∅)(x−1,x−1) + l(∅,I2)(y−1,y−1)−(l(I1,∅)(x−1,x−1) ∨ l(∅,I2)(y−1,y−1))= xǫI1 ∧ yǫI2 .A proposic¸a˜o seguinte encontra-se em [2] (Proposic¸a˜o 3.1) e vai-nospermitir deduzir estimadores para as func¸o˜es e coeficientes de de-pendeˆncia de cauda aqui apresentados, no caso de estarmos perantemodelos MEV.Proposic¸a˜o 2.4 Se F e´ uma distribuic¸a˜o MEV com func¸a˜o co´pulaCF , enta˜o, para l(x1,...,xd) = − logCF (exp(−x−11 ),..., exp(−x−1d )),tem-sel(x1, . . . ,xd) =E(F1(X1)x1 ∨ . . . ∨ Fd(Xd)xd)1− E(F1(X1)x1 ∨ . . . ∨ Fd(Xd)xd).Corola´rio 2.5 Sob as condic¸o˜es da Proposic¸a˜o 2.4, tem-sel(I1,I2)(x−1,y−1) =E(M(I1)1/x ∨M(I2)1/y)1− E(M(I1)1/x ∨M(I2)1/y),eΛ(I1|I2)(x,y) = 1 +E(M(I1)1/x)1−E(M(I1)1/x)E(M(I2)1/y)1−E(M(I2)1/y)−E(M(I1)1/x∨M(I2)1/y)1−E(M(I1)1/x∨M(I2)1/y)E(M(I2)1/y)1−E(M(I2)1/y).Propo˜e-se assim o estimadorΛ˜(I1|I2)(x,y) = 1 +xǫ˜I1yǫ˜I2−l˜(I1,I2)(x−1,y−1)yǫ˜I2, (2)ondexǫ˜I1 =M(I1)1/x1−M(I1)1/x, yǫ˜I2 =M(I2)1/y1−M(I2)1/ye l˜(I1,I2)(x−1,y−1) =M(I1)1/x ∨M(I2)1/y1−M(I1)1/x ∨M(I2)1/y,tendo-seM(Il)1/z =1nn∑i=1∨j∈IlFj(X(i)j )1/z , l = 1,2, z ∈ ReM(I1)1/x ∨M(I2)1/y =1nn∑i=1( ∨j∈I1Fj(X(i)j )1/x ∨∨j∈I2Fj(X(i)j )1/y).com l˜(I1,I2)(1,1) = ǫ˜I1∪I2 .Se as margens forem desconhecidas, podemos substituir Fj , j =1, . . . ,d, por um estimador F˜j . Por questo˜es de maior precisa˜o nasestimativas, e´ usual considerar variantes da f.d. emp´ırica, comoF̂j(u) =1n+ 1n∑k=11{X(k)j ≤u}. (3)Outras sugesto˜es e mais detalhes sobre este to´pico podem ser vistosem [1].No caso de margens conhecidas, a normalidade assinto´tica de xǫ˜I1 ,yǫ˜I2 e l˜(I1,I2)(x−1,y−1), facilmente se deduz do Teorema Limite Cen-tral, pois todos se baseiam numa me´dia amostral (ver [2]; Proposic¸a˜o3.4 e Corola´rio 3.5). De notar, contudo, que o estimador (2), pelofato de consistir em quocientes de estimadores assintoticamente nor-mais, na˜o podemos concluir deste modo que tambe´m o seja. Esteto´pico sera´ objeto de trabalho futuro com base em outra(s) aborda-gem(ns). Por outro lado, a consisteˆncia forte e´ facilmente deduzidada Lei Forte dos Grandes Nu´meros (veja-se Ferreira e Ferreira [2],2012; Proposic¸a˜o 3.6), resultado este que se estende para o casode margens desconhecidas (Ferreira e Ferreira [2], 2012; Proposic¸a˜o3.8). Tambe´m e´ poss´ıvel estabelecer a normalidade assinto´tica dexǫ˜I1 , yǫ˜I2 e l˜(I1,I2)(x−1,y−1) para margens desconhecidas, embora omesmo problema acima descrito subsista para o referido estimador.2.1 Uma aplicac¸a˜o a dados financeirosNesta secc¸a˜o abordaremos a questa˜o levantada aquando da Intro-duc¸a˜o: ate´ que ponto a queda de um mercado na Europa podeinfluenciar a ocorreˆncia de pelo menos um crash de um mercadonorte-americano, e vice-versa? A nossa ana´lise baseia-se na apli-cac¸a˜o dos coeficientes, Λ(I1|I2)(1,1) e Λ(I2|I1)(1,1), aos log-retornosnegativos dos valores de fecho dos ı´ndices CAC 40, FTSE100, SMIe XDAX ao n´ıvel da Europa, e dos ı´ndices Dow Jones, Nasdaq eSP500 nos EUA, de janeiro de 1993 a Marc¸o de 2004. De maneiraa construirmos uma amostra de ma´ximos e, assim, assemelha´-los aum modelo MEV, vamos considerar os ma´ximos mensais, obtendo-se uma amostra de dimensa˜o 84. A nuvem de pontos na Figura1 parece evidenciar a presenc¸a de alguma dependeˆncia. De modo aquantificar essa dependeˆncia, usaremos os estimadores Λ˜(I1|I2)(1,1) eΛ˜(I2|I1)(1,1), facilmente deduzidos de (2), considerando que as mar-gens sa˜o desconhecidas, ou seja, estimando as distribuic¸o˜es marginaiscom base em (3). Na Tabela 1 encontram-se os resultados obtidos,considerando os blocos Europa e EUA, denotados, respetivamente,I1 e I2. A dependeˆncia extremal entre os mercados dos blocos consi-derados e´ dada por cada um dos coeficientes ǫ˜I1 , ǫ˜I2 e ǫ˜I1∪I2 . Veja-seque Λ˜(I1|I2)(1,1) > Λ˜(I2|I1)(1,1) o que indica que, para os mercadosconsiderados, o efeito de propagac¸a˜o do feno´meno de queda de mer-cados bolsistas tende a ser mais grave quando tem in´ıcio nos EUA.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0EuropaEUAFigura 1: Nuvem de pontos relativa aos ma´ximos mensais na Europaversus EUA.AgradecimentosMarta Ferreira e´ financiada por Fundos FEDER atrave´s do Pro-grama Operacional Factores de Competitividade - COMPETE e porǫ˜I1 2.24398ǫ˜I2 1.59071ǫ˜I1∪I2 2.82637Λ˜(I1|I2)(1,1) 0.63388Λ˜(I2|I1)(1,1) 0.44935Tabela 1: Estimativas obtidas para os blocos, I1 (Europa) e I2(EUA).Fundos Nacionais atrave´s da FCT - Fundac¸a˜o para a Cieˆncia e aTecnologia no aˆmbito do projecto PEst-OE/MAT/UI0013/2014.Refereˆncias[1] Beirlant, J., Goegebeur, Y., Segers, J., Teugels, J. (2004). Statisticsof Extremes: Theory and Application. Wiley, New York.[2] Ferreira, H., Ferreira, M. (2012). On extremal dependence of blockvectors. 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