P.-G. Ciarlet e Destuynder mostraram teoricamente, em [2] e [3], a convergência da terceira componente do campo de deslocamentos, no modelo tridimensional da elasticidade linear, para o deslocamento vertical do modelo bidimensional de Kirchhoff para uma laje. Esta convergência corresponde à natural convergência da espessura da laje para zero.


Com este trabalho verificamos numericamente a convergência entre os referidos modelos. Para tal usamos uma discretização em elementos finitos do problema tridimensional implementada usando o programa freeFEM++ e uma aproximação do problema bidimensional fornecida pelo programa SAP2000, com base no modelo de Kirchhoff. São analisados três casos distintos, comparando-se em cada um os respectivos deslocamentos e momentos flectores.CMAT-Universidade do MinhoInstituto Superior de Engenharia de Lisbo

Gorgulho, António

Morais, Eduardo

Rodrigues, José Alberto

Universidade do Minho: RepositoriUM

CIBIM 10, Oporto, Portugal, 2011 CIBEM 10, Porto, Portugal, 2011 RM Natal Jorge, JMRS Tavares, JL Alexandre, AJM Ferreira, MAP Vaz (Eds)  AVALIAÇÃO NUMÉRICA DA CONVERGÊNCIA DE SOLUÇÃO ENTRE MODELOS DE LAJE  António Gorgulho1*, Eduardo Morais1, José Alberto Rodrigues1 2†  1- Instituto Superior de Engenharia de Lisboa, Lisboa, Portugal, email: *sgorgulho@dec.isel.pt, †jrodri@adm.isel.pt 2- CMAT-Universidade do Minho, Campus Gualtar, Braga  Palavras chave: Elasticidade linear, Kirchhoff, Método dos Elementos Finitos, freeFEM++  Resumo  P.-G. Ciarlet e Destuynder mostraram teoricamente, em [2] e [3], a convergência da terceira componente do campo de deslocamentos, no modelo tridimensional da elasticidade linear, para o deslocamento vertical do modelo bidimensional de Kirchhoff para uma laje. Esta convergência corresponde à natural convergência da espessura da laje para zero. Com este trabalho verificamos numericamente a convergência entre os referidos modelos. Para tal usamos uma discretização em elementos finitos do problema tridimensional implementada usando o programa freeFEM++ e uma aproximação do problema bidimensional fornecida pelo programa SAP2000, com base no modelo de Kirchhoff. São analisados três casos distintos, comparando-se em cada um os respectivos deslocamentos e momentos flectores. António Gorgulho, Eduardo Morais, José Alberto Rodrigues 1. Introdução  A utilização de placas finas é generalizada em toda a engenharia estrutural, por exemplo nas estruturas edificios, de pontes, estruturas navais ou aeronáuticas. Essas placas são frequentemente sujeitas a forças que actuam sobre o plano da placa. Se as forças forem suficientemente pequenas, o equilíbrio é estável e as tensões resultantes são caracterizados pela ausência de movimentos laterais. Dentro da análise da elasticidade linear, a modelação de placas pode ser vista como uma simplificação do modelo tridimensional clássico que estuda o comportamento de um material isotrópico e homogéneo sob a acção de forças externas, sendo a sua característica mais importante a possibilidade da redução a um problema de duas dimensões. Um dos modelos é o modelo de Kirchhoff [5]. Este descreve o deslocamento de uma placa de pequena espessura sob o efeito de uma força transversal. Aqui são feitas simplificações no deslocamento segundo a direcção z, resultando um modelo bidimensional cujas incógintas são o deslocamento vertical e os ângulos de rotação das fibras normais à superfície média da placa em relação aos eixos de x e y. Usando os dois modelos, calculamos os esforços solicitantes nos pavimentos de betão armado, formados por vigas e lajes maciças, não considerando a interacção entre estes elementos estruturais o que se faz assumindo a rigidez de ambos igual e uma redistribuição dos esforços homogénea.  Neste trabalho usaremos o Método dos Elementos Finitos para analisar dois tipos de pavimentos em betão armado, cosntituídos por vigas e lajes maciças tridimensionais modelados pelo modelo clássico da elasticidade linear. Valideremos os resultados obtidos com o modelo de Kirchhoff implementado no SAP2000.  Em todos os casos estudados atendemos a dois requisitos: a solução não se afasta muito da solução elástica, para garantir um bom funcionamento da estrutura utilizada; é garantido o equilíbrio do pavimento como um todo. Desta forma, asseguramos que os modelos estudados podem ser utilizados para projetar os pisos de edifícios de betão armado.    2. Elasticidade Linear  Consideramos uma laje sem deformação  Ω= [   ]  [   ]  [      ]     Após deformação da laje assumimos que um ponto             se move para a posição            . O vector  ⃗                                   é designado por vector de deslocamento. Supondo pequenas deformações obtemos o tensor das deformações:       (             )         {     }  Tomemos o plano infinitésimal       centrado em   com o vector normal  ⃗            , a superfície sobre       em   é (                          )   {     } com             {     } o tensor das tensões em  . A lei de Hooke garante uma relação linear entre os tensores das tensões e das deformações:             ⃗        no caso de material isotrópico e homogéneo, sendo     as constantes de Lamé e     o simbolo de Kronecker. Se o corpo estiver submetido a uma força              a condição de equilíbrio é   ij , j  Fi  0  para     {     }, à qual se acrescentam as condições de fronteira, adefinir caso a caso. Desigando a formulação anterior por formulação forte, com vista à implementação pelo Método dos Elementos Finitos somos conduzidos à formulação fraca  ∭       ⃗               ⃗             ∭           definida em espaços de admissibilidade. Neste caso iremos utilizar como funções admissisveis, aquelas que são contínuas em toda a região Ω, polinomiais de grau             sobre cada elemento da discretização de Ω e que verificam as condições de fronteira do tipo Dirichlet [4].    3. Modelo de Kirchhoff para Flexão em Lajes   Como anteriormente, consideremos    x1, x2 , x3 °3 x3  h2,h2, x1, x2 A °2 Onde A é o plano médio (representado na figura 1) e h a espessura da laje.   Figura 1: Plano médio da laje para o modelo de Kirchhoff  O modelo de Kirchoff para lajes é descrito sobre três graus de liberdade:  uma translação vertical e duas rotações: u1 x1, x2 , x3  x3 1 x1, x2 u2 x1, x2 , x3  x3 2 x1, x2 u3 x1, x2 , x3  w x1, x2  onde          representa a translação vertical,            a rotação no plano       e           a rotação no plano      ,  graus de liberdade relativos ao plano médio da laje. Desprezando as deformações por corte, podemos simplificar este modelo obtendo-se uma única incógnita: a translação vertical         , obtendo-se: António Gorgulho, Eduardo Morais, José Alberto Rodrigues 1 x1, x2  w x1, x2 x12 x1, x2  w x1, x2 x2 Finalmente, podemos obter a relação entre momentos flectores e tensões: mij   ijx3 dx3h /2h /2  com     {   }.    4. Abordagem ao freeFEM++  O freeFEM++ é um sistema de implementação do método dos elementos finitos, com uma linguagem específica, permitindo resolver numericamente problemas de equações diferenciais parciais. Os problemas são descritos na sua forma variacional, existindo uma correspondência com a linguagem do freeFEM++, o que o torna muito didáctico. A equação  ∭       ⃗               ⃗             ∭            é implementada em freeFEM++ através da sequência de instruções    Os operadores diferenciais, ou outros, podem ser introduzidos como  macros, com relativa facilidade     Temos a opção de definir a região e respectiva discretização com instruções próprias    ou usando programas externos como por exemplo GMSH      Finalmente, o visualização dos resultados também pode ser feita com instuções próprias   ou exportando os resultados para serem visualidados com outro programa, como por exemplo o GMSH      5. Caso 1: Laje encastrada em todos os bordos  Começamos por considerar uma laje encastrada em todos os bordos com 5 m nos dois vãos e 16 cm de altura. Quanto ao material, tem-se um betão C20 / 25 com um modulo de elasticidade E = 30 × 106 kPa e um coeficiente de Poisson ν = 0,15 . Considera-se como acções o peso próprio para um peso especifico de 25 kN / m3 (resultando numa carga de superfície 25 × 0,16 = 4 kN / m2 no modelo de Kirchoff e uma carga de superfície de 4 kN / m2 . A figura 2 apresenta obtidos em freeFEM++ e na tabela 1 comparamos os resultados obtidos com ambos modelos. Consideramos como condições de fronteira, neste caso, encastramentos perfeitos em todos os bordos (u1=0, u2=0 e u3=0). Figura 2: Deslocamentos numa laje encastrada sujeita a uma carga de superfície, vista invertida    António Gorgulho, Eduardo Morais, José Alberto Rodrigues Tabela 1: Tabela comparativa de resultados  freeFEM++ SAP2000 % Tempo 277 seg. - - u3 -0,613 -0,597 -2,58 m+x 4,081 4,270 -4,43 m-x -10,329 -10,244 -0,82 m+y 4,081 4,270 -4,43 m-y -10,329 -10,244 -0,82   6. Caso 2: Laje simplesmente apoiada em quatro pilares  Neste caso, consideramos uma laje rectangular com quatro pilares nos quatro cantos, com 5 m em ambos os vãos e 16 cm de altura. Quanto ao material, apresenta um betão C20 / 25 com um modulo de elasticidade E = 30 × 106 kPa e um coeficiente de Poisson de ν = 0 . Tomamos como acções o peso próprio para um peso especifico de 25 kN / m3 e uma carga de superfície de 4 kN / m2. Simulamos o efeito dos pilares, impondo todos os cantos são apoios simples (u3=0), como condições de fronteira. Figura 3: Deslocamentos numa laje simplesmente apoiada sujeita a uma carga de superfície, vista invertida Tabela 2: Tabela comparativa de resultados  freeFEM++ SAP2000 % Tempo 228 seg. - - u3 -13,932 -13,827 -0,75 m+x 31,920 31,950 -0,09 m-x 0 0 0 m+y 31,920 31,950 -0,09 m-y 0 0 0   7. Conclusões   Neste trabalho fizemos a comparação de soluções de modelos bidimensionais e tridimensionais de lajes. Constatamos que a aproximação dos deslocamentos é melhor no caso de uma laje simplesmente apoiada (caso 2 ). No caso 1, laje encastrada evidenciamos um fenómeno de camada limite, nas imediações das fronteiras da laje, que deve ser tratado com uma estratégia adaptada com vista a melhorar o problema tridimensional.  O estudo aqui feito pode-se alargar a outros problemas de lajes correspondentes a outro tipo de condições de fronteira, com relativamente facil implementação em freeFEM++.   Referências [1] J. Christel, J. Howell “SIAM Student Chapter Seminar. Finite Element Approximation of Partial Differential Equations Using FreeFem++”,Clemson: Department of Mathematics Sciences Clemson University, 2007. [consult. 9 Abr. 2010. Disponível em  www.ccs.tulane.edu/~jchrispe/PDFdocuments/usc1.pdf. [2] P.-G. Ciarlet  e P. Destuynder, “A justification of the two-dimensional linear plate model,” Journal de mecanique, volume 18, numero 2, (1979), 315-344. [3] P.-G. Ciarlet e  S. Kesavan, “Two-dimensional approximations of a three-dimensional eigen-value problems in plate theory”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 26 (1981),   145- -172. [4] E. Morais, Simulação Numérica do Comportamento de Lajes, TFM em Engenharia Civil, ISEL, 2010 [5] O. Pironeau, F. Hccht e A. Le Hyaric, “Freefem++, version 3.9-2 (2d and 3d)”. Université Pierre et Marie Curie, Laboratoire Jacques-Louis Lions, Paris 2005. Disponível em http://www.freefem.org/ff++. [6] S. P. Timoshenko e S. Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill, New York, 2nd edition, 1959.     

Avaliação numérica da convergência de solução entre modelos de laje

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