Dissertação de mestrado em Matemática, área de especialização em Ensino.Um pouco por todo o mundo, os programas do Ensino Secundário em Matemática estão condicionados por respostas para inúmeras dúvidas sobre “O que ensinar em Matemática?” “Como ensinar Matemática?”, “A Matemática é, ou deveria ser, útil? E em que sentido?”.
Na Introdução e no capítulo I da presente monografia referimos o conceito de número como um dos conceitos fundamentais em Matemática que percorre, enquanto processo de ensino, uma vasta gama de níveis desde os 1º, 2º e 3º ciclos do Ensino Básico e ainda do Ensino Secundário até ao Ensino Superior. É neste percurso educativo que surge, de forma natural, o tema dos Números Complexos: usualmente, como uma questão de generalização do conceito de número, para além dos números reais. Constatamos, em particular, que a presença dos Números Complexos, nesta fase de formação escolar, é particularmente significativa porquanto pode, por si só e muito melhor do que a maioria dos outros capítulos, remeter-nos para o conjunto de questões evocadas no parágrafo anterior.
No capítulo II analisamos os programas oficiais de Matemática ao longo dos últimos 50 anos e pudemos constatar que o tema dos Números Complexos tem ora sido retido no Ensino Secundário, ora tem sido adiado para o Ensino Superior. Analisamos também questões sobre Números Complexos tal qual foram surgindo em exames nacionais.
No capítulo III, estudamos a História dos Números Complexos e constatamos que são razões de utilidade que estiveram na sua génese, embora fossem razões de natureza teórica (filosóficas, de existência, de coerência lógica com a restante Matemática) que levaram inúmeros autores a interrogarem-se sobre a natureza dos Números Complexos e a construírem, pouco a pouco, uma interpretação geométrica sem a qual a Teoria das Funções Analíticas não teria sido alcançada depois de 1825. Reconhecemos também a importância pedagógica da tomada de consciência dos erros e das discussões que procederam o período fecundo em que os matemáticos inventaram a Teoria das Funções Analíticas.
No capítulo IV estabelecemos uma grelha de avaliação de manuais escolares de forma a estudar, em termos de existência e coerência lógica, o ensino dos Números Complexos nas escolas portuguesas.
No capítulo V, abordamos a problemática do recurso à história da Matemática como instrumento facilitador da aprendizagem dos Números Complexos e sugerimos algumas propostas de actividades deste ensino.
Com esta monografia de Mestrado pretendeu-se clarificar, através de um estudo histórico e didáctico sisemático, as variadas implicações para o ensino actual dos Números Complexos de toda a riqueza e a fecundidade do conhecimento acumulado por séculos de História. Concluímos finalmente que, porventura menosprezada pelos professores de Matemática (porventura por razões de condicionalismos práticos de agenda lectiva), a presença dos Números Complexos, nos programas nacionais do Ensino Secundário da Matemática, está plenamente justificada. Os Números Complexos podem efectivamente afirmar-se como um “instrumento” didáctico indispensável na concretização de objectivos gerais e específicos fundamentais da aprendizagem da Matemática como é o caso de: t
- organizar e relacionar conhecimentos prévios dos alunos, envolvendo-os na descoberta;
- ter em linha de conta tanto as capacidades de raciocínio abstracto como as da intuição;
- responder a questões fundamentais como “O que é um número?”, “Para que servem os números?”, “Quem inventou os números?” ou “Como foram inventados os números?”All over the world, the teaching of Mathematics for Secondary Schools is conditioned by questions on “What Mathematics is due to be taught?”, “How to teach Mathematics?” or “Should Mathematics be useful? In what sense?”
In this research study we refer, in the Introduction and Chapter I, that the concept of number is one of the most important in Mathematics that runs from the basic levels of Mathematics teaching to University instruction. It is during this path that we naturally find the Complex Numbers: usually as a generalization process beyond real numbers. We agreed, in particular, that Complex Numbers may be particularly important in relation to the questions that were posed in the last paragraph.
Chapter II deals with the national curricula for Secondary Schools on the teaching of Complex Numbers through the past 50 years and we also analyzed questions on exams related to Complex Numbers.
In Chapter III we studied the History of Complex Numbers and we came to acknowledge the reasons, both utilitarian and philosophical, related to its evolution. We point out to the doubts and the difficulties felt by the authors who built, bit by bit, the concept of Complex Number without whom the Theory of Analytical Functions would never be reached in 1825. We also recognized the pedagogical importance of acknowledging errors and faults committed by well known mathematicians.
Chapter IV offers an evaluation grid for schooltexts, both for existence and logical coherence, on teaching Complex Numbers in Portuguese schools.
In Chapter V we approach the use of History of Mathematics on teaching Mathematics by suggesting some school activities for teaching Complex Numbers.
The aim of the conducted research on the actual teaching of Complex Numbers was the clarification, through a didactical-historical systematic study, of the various implications on the richness of accumulated knowledge by centuries of History. We finally concluded that the theme of Complex Numbers is perfectly justified in the National Curricula for Secondary Schools because:
- it refers both to abstract thinking and intuitive capacities;
- it organizes and it relates previous knowledge to actual mathematical knowledge, by involving pupils on discovery activities;
- it allows both teachers and pupils to deal with fundamental questions on “What is a number?”, “What are numbers good for?”, “Who invented numbers?” or “How were numbers invented?
