Internet access through the public switched telephone

network, PSTN/ISDN, produces changes in the characteristics

of traffic managed by this kind of networks. Under this

situation, traditional network dimensioning using Erlang model

results excessively optimistic. This article develops a simple model

to approach traditional methods to current PSTN/ISDN traffic

features including the effect of call repetition. The analytical

model obtained for traffic dimensioning is validated with simulation

models, and have been integrated in tools for design and

dimensioning of PSTN/ISDN networks

Díaz Domínguez, Carlos

Hackbarth Planeta, Klaus Dietrich

Rodríguez de Lope López, Laura

Spanish

Internet access through the public switched telephone
network, PSTN/ISDN, produces changes in the characteristics
of traffic managed by this kind of networks. Under this
situation, traditional network dimensioning using Erlang model
results excessively optimistic. This article develops a simple model
to approach traditional methods to current PSTN/ISDN traffic
features including the effect of call repetition. The analytical
model obtained for traffic dimensioning is validated with simulation
models, and have been integrated in tools for design and
dimensioning of PSTN/ISDN networks

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Modelo analı´tico para el dimensionado de laRPT/RDSI con tra´fico de voz y acceso a InternetK. D. HackbarthDepartamento deIng. de ComunicacionesUniversidad de Cantabriaklaus@tlmat.unican.esCarlos Dı´azDepartamento deIng. de ComunicacionesUniversidad de Cantabriacdiaz@tlmat.unican.esL. Rodrı´guez de LopeDepartamento deIng. de ComunicacionesUniversidad de Cantabrialaura@tlmat.unican.esAbstract—Internet access through the public switched tele-phone network, PSTN/ISDN, produces changes in the character-istics of traffic managed by this kind of networks. Under thissituation, traditional network dimensioning using Erlang modelresults excessively optimistic. This article develops a simple modelto approach traditional methods to current PSTN/ISDN trafficfeatures including the effect of call repetition. The analyticalmodel obtained for traffic dimensioning is validated with simu-lation models, and have been integrated in tools for design anddimensioning of PSTN/ISDN networks.Keywords: Switched Networks Dimensioning, Call Repetition.I. INTRODUCCIO´NLa introduccio´n de nuevos tipos de usuarios y las modifica-ciones que se han introducido en los existentes han modificadoen gran medida el comportamiento del tra´fico en la redconmutada. Por ello, las fo´rmulas tradicionales por sı´ solasse muestran insuficientes para el correcto dimensionado dela red. Sin embargo el amplio trabajo desarrollado a partirde los estudios de R. K. Erlang para el dimensionado dediferentes redes y tipos de tra´fico hacen de ellas una so´lidabase desde la cual se pueden desarrollar modelos para el di-mensionado de las redes conmutadas tradicionales incluyendodichas modificaciones. El feno´meno de impaciencia ha sidotratado anteriormente, ve´ase [1] [2], pero ha quedado abiertoal desarrollo de un modelo para el dimensionado.A lo largo de este artı´culo se expondra´ el desarrollo deun modelo de dimensionado basado en la fo´rmula de Erlang-B, tratando los tra´ficos dominantes en la red conmutada (voze Internet) e introduciendo el feno´meno de repeticio´n dellamadas (modelo de impaciencia).II. MODELO DE IMPACIENCIALa fo´rmula de Erlang no tiene en cuenta aspectos tales comoque´ ocurre con las llamadas sin e´xito. Se debe considerar quealgunos usuarios tratara´n de repetir sus llamadas cuando estasno tengan e´xito, lo que rompe la condicio´n de independenciadel modelo. Si el tiempo que transcurre entre dos intentos esinferior al de duracio´n media de las llamadas es muy posibleque la nueva llamada tampoco tenga e´xito.A. Tra´fico de VozAsumimos que la llamada repetida tiene la misma proba-bilidad de bloqueo que la original y que la probabilidad derepetir k veces una llamada que ha sido rechazada k-1 veceses Pr(k). Esto lleva a un tra´fico total de:Atv = A0v ·⎡⎣1 +∑∞k=1(P kb ·∞∏j=1Pr(j))⎤⎦ (1)Se plantean dos opciones para el desarrollo de Pr(k):1) Pr(k) = P kr2) Pr(k) = PrLos sistemas modernos de telefonı´a tienen capacidad deavisar al usuario, mediante mensajes de voz, de la congestio´nexistente en la red, situacio´n que se ajusta a la primera opcio´n.La segunda opcio´n resulta de un usuario impaciente quevuelve a intentar su llamada una y otra vez cada vez queesta es rechazada. Para este desarrollo, se utilizara´ la segundapor establecer condiciones ma´s restrictivas. De este modo laexpresio´n (1) se reduce a la expresio´n (2).Atv = A0v ·[1 +∑∞k=1P kb · P kr](2)Para valores tı´picos de Pr=0.5, los te´rminos correspondi-entes en la expresio´n (2) convergen ra´pidamente a valorespequen˜os por lo que para el dimensionado se debe tener encuenta un ligero incremento del tra´fico ofrecido:Atv =A0v1− Pb · Pr (3)Esto conlleva un incremento respecto al nu´mero de circuitosoriginal. En general, este incremento puede ser expresadocomo un factor de incremento del nu´mero de circuitos (fric),el tra´fico (frit), o la probabilidad de bloqueo (frib):De (3) se puede deducir que frit, fric y frib son funcio´n deA0v , Pb y Pr. En general resulta que, en situaciones de carganormal de la red, la influencia de la repeticio´n de llamadas setraduce, en el peor de los casos, en un pequen˜o incrementodel tra´fico ofrecido, vea´se la Tabla I.Como para los propo´sitos del estudio los valores de lasprobabilidades se fijan, tı´picamente a Pb=0.01 y Pr=0.5,estos factores so´lo dependen del tra´fico ofrecido (de formarecursiva).Para facilitar el ca´lculo de los tres factores de sobrecarga, seha desarrollado una fo´rmula aproximada que relaciona frib conPb Pr Atv N frit fric0.01 0 200 221 1 10.01 0.25 200.501 222 1.0025 1.00450.01 0.5 201.005 222 1.005 1.00450.01 0.75 201.511 223 1.0076 1.0090.01 1 202.02 223 1.0101 1.009TABLE IEJEMPLO DEL INCREMENTO DE TRA´FICO Y CIRCUITOS DEBIDO A LAREPETICIO´N DE LLAMADASA0 de forma que evita la recursio´n. Esta relacio´n se muestraen la ecuacio´n (4).frib = 1 + c · (A0v)α (4)con c = 0.012 y α = 0.45La Figura 1 muestra el incremento del bloqueo debido a larepeticio´n de llamadas en relacio´n al tra´fico ofrecido segu´n lafo´rmula (3) y su aproximacio´n (4).Fig. 1. Dependencia del incremento de bloqueo con el tra´fico ofrecido.En este apartado se han considerado unas condicionesimplı´citas al desarrollo del modelo:1) Estado estacionario tanto en la llegada como en laterminacio´n de llamadas.2) Tra´fico poissoniano para la suma de tra´fico original yde repeticio´n de llamada.3) Misma probabilidad de bloqueo para el tra´fico originaly el causado por la repeticio´n de llamada.La primera y segunda condicio´n se cumplen debido a laasuncio´n de que la llamada de voz es corta comparada conel tiempo de observacio´n y que el tra´fico de repeticio´n espequen˜o comparado con el tra´fico original. La tercera requiereque el tiempo entre terminaciones de llamada sea significati-vamente menor que el tiempo entre la llamada original y elreintento, tr. Suponiendo un valor medio de tr=30s, siendoel tiempo entre terminaciones tidep = ts/N , para ts=180s yN=221, resulta un valor de 0.81 seg.Como resumen se deduce que el tra´fico de repeticio´n dellamadas de voz tiene escasa influencia sobre el tra´fico originalbajo situaciones normales (sin congestio´n).B. Tra´fico de acceso a InternetLas tres condiciones mencionadas en la seccio´n anteriorpara el tra´fico de voz, en general, no se cumplen en el caso detra´fico Internet. Asumimos que el tiempo de observacio´n essuficientemente amplio como para que se cumpla la primeracondicio´n y que el tra´fico total ofrecido puede ser modelado deforma aproximada por una distribucio´n de Poisson. Desafor-tunadamente, la tercera condicio´n no se cumple en el caso detra´fico de Internet, en el que el tiempo entre rellamadas (tr)es del orden de 30 seg mientras el tidep depende del nu´merode servidores, por lo que se hace necesario estudiar tres casosdistintos.1) tidep << tr: en este caso la llamada repetida tieneaproximadamente la misma probabilidad de bloqueo quela original y por lo tanto podemos asumir Prb = Pb.2) tidep ≈ tr: en el caso de que ambos valores se encuen-tran en el mismo rango es necesario tener en cuenta queel tiempo entre llegadas tia = tidep · N/A es tambie´ncomparable a tr, y por lo tanto, la probabilidad de quela llamada repetida vuelva a encontrar una situacio´n debloqueo va a ser alta, es decir, Prb >> Pb.3) tidep >> tr: en este caso la llamada repetida encontrara´de nuevo la situacio´n bloqueada, por lo que se puedeasumir Prb ≈ 1.El caso 1 corresponderı´a con valores de N en torno a 600, loque supone valores de tra´fico Internet superiores a 600 Erlang.Para tra´fico inferior a este orden de valores la probabilidad deque un servicio se libere en un tiempo tr es pequen˜a, por loque la probabilidad de bloqueo de una llamada repetida essuperior a la de la llamada original, y previsiblemente muyalta.En este caso, la probabilidad de bloqueo total aumenta enfuncio´n del nu´mero de reintentos, hecho que se muestra en(5), siendo nmax el nu´mero ma´ximo de reintentos, ve´ase [1].Ptot =Pb ·nmax∑i=0P irb1 + Pb ·nmax−1∑i=0P irb(5)Para los casos 2 y 3 la probabilidad de pe´rdida de lasllamadas repetidas va a ser alta, ya que la probabilidad deque una llamada finalice en el tiempo que transcurre entre lallamada inicial y la repeticio´n es muy pequen˜a. Con esto (5)se simplifica, obteniendo la expresio´n (6).Ptot =Pb · (nmax + 1)1 + Pb · nmax (6)En la tabla II se muestran valores del incremento debloqueo, tra´fico y nu´mero de circuitos para el caso de nmax=5,bajo la condicio´n de que el bloqueo original Pb, calculadomediante la fo´rmula de Erlang, sea inferior al 1%.El efecto de la repeticio´n de llamadas provoca en este casoun bloqueo total pra´cticamente constante en torno al 5%. Estose traduce en un incremento del tra´fico en torno al 10%, similarA0 N0 Ptot% frib frit fric50 64 4.743 5.62 1.165 1.141150 170 5.025 5.606 1.116 1.106250 273 5.203 5.597 1.101 1.095350 375 5.278 5.593 1.093 1.088450 476 5.468 5.584 1.089 1.086TABLE IIVALORES CARACTERI´STICOS DEL EFECTO DE REPETICIO´N DE LLAMADAPARA nmax = 5al del nu´mero de circuitos, para reducir de nuevo el bloqueoal 1%.Sin embargo, esta expresio´n no tiene en cuenta el efecto dela repeticio´n de llamada sobre la probabilidad de bloqueo deuna llamada original. Este efecto se puede contabilizar en elcaso ts >> tr, ve´ase [1], calculando el bloqueo que produceun tra´fico dado por (7)A′ = A0 · (1 + Pb · nmax) (7)De esta forma se obtiene un incremento del bloqueo supe-rior, como se ve en la tabla III.A0 N0 Ptot% frib frit fric50 64 6.013 7.253 1.479 1.364150 170 8.749 9.428 1.292 1.255250 273 9.656 10.519 1.257 1.225350 375 1.0623 11.41 1.246 1.223450 476 10.405 11.864 1.227 1.208TABLE IIIVALORES CARACTERI´STICOS DEL EFECTO DE REPETICIO´N DE LLAMADAPARA Prb = 0.99 Y nmax = 5Dado que en nuestro caso no se puede considerar exac-tamente que ts >> tr (1800;30), para calcular el factorde incremento, promediaremos los obtenidos bajo los dosme´todos anteriores como se muestra en la figura 2.Fig. 2. Influencia del tra´fico inicial frit y froc en el caso III.En la figura 2 se pueden diferenciar dos tramos claramente,un primer tramo no lineal y un segundo tramo casi lineal. Lonormal serı´a que la frit fuera lineal con A, sin embargo cuandocoincide que el tiempo entre llegadas (tia) es comparable a tr,es muy probable que la rellamada coincida con la siguientellamada. Esto hace que la probabilidad de pe´rdida de llamadasindependientes aumente, lo que se refleja en ma´ximos cercade tia. En nuestro caso, con nmax reintentos, el efecto sedesplaza hasta nmax · tr segundos.III. CONGESTIO´NEs interesante estudiar a continuacio´n el comportamiento delos dos modelos desarrollados anteriormente ante la congestio´ndel sistema. El efecto de congestio´n se estudiara´ mediantela introduccio´n de un factor de congestio´n (fcon > 1) quemodificara´ el tra´fico ofrecido a la red como se muestra en laecuacio´n (8).Acon = fcon ·A0 (8)A. Tra´fico de VozEl grado de servicio del sistema (GoS) se degradara´ debidoa dos factores, el incremento de tra´fico debido a la congestio´n(fcon) y por el tra´fico adicional introducido por la repeticio´nde llamadas. En la figura 3 se muestra la influencia de los dosefectos combinados sobre la probabilidad de pe´rdida.Fig. 3. Relacio´n frit - fcon para tra´fico de Voz.En la figura 3 se puede observar la elevada linealidad delfactor de incremento de tra´fico para tra´ficos altos ası´ como suelevada no linealidad pra tra´ficos bajos.B. Tra´fico de acceso a InternetEl caso de tra´fico de Internet es ma´s complejo que el tra´ficode voz. Como se ha comentado anteriormente, para el tra´ficode voz, la influencia que ejercı´a la congestio´n era mayor quela del feno´meno de repeticio´n. Sin embargo, en el caso detra´fico de Internet los dos efectos tienen parecida importanciay sus efectos se yuxtaponen.En la figura 4 de puede observar como se yuxtaponen losdiferentes efectos. Para factores de congestio´n bajos, se puedeobservar co´mo el feno´meno que domina es el de impaciencia(obse´rvese el caracterı´stico ma´ximo debido a la coincidenciade tia con tr). Sin embargo, cuando el factor de congestio´ncrece, podemos observar co´mo el aumento de tra´fico debidoa congestio´n domina sobre el tra´fico generado mediante larepeticio´n de llamadas.Fig. 4. Relacio´n frit - fcon para tra´fico de Internet.IV. MODELO ANALI´TICO DIMENSIONADOHaremos uso a continuacio´n de los modelos anteriormenteexpuestos para desarrollar una fo´rmula analı´tica que nospermita un dimensionado sencillo de una red de conmutacio´nde circuitos con tra´fico de voz e Internet. Para ello a partirdel tra´fico original, calcularemos de acuerdo a la ecuacio´n(9) un tra´fico de Poisson equivalente que modele la sumadel tra´fico original con el tra´fico generado por el feno´menode impaciencia, que nos permitira´ el dimensionado de la redmediante la utilizacio´n directa de la fo´rmula de Erlang.Ae = frit ·A0 (9)Para el tra´fico de voz no es necesario realizar este sobred-imensionado previo del tra´fico que se ofrece al sistema. Sepuede observar que en el peor caso, el incremento porcentualde tra´fico no supera el 0.5%, lo que implica que el efecto de larepeticio´n de llamadas en el tra´fico de voz puede ser ignoradoa efectos de dimensionado.Sin embargo, para el caso de tra´fico de Internet nos encon-tramos con un tra´fico en el cual la suma del tra´fico ofrecido yel tra´fico generado por las repeticiones no es de tipo Poisson.Por ello, la fo´rmula de Erlang a priori no es adecuada parael dimensionado. Sin embargo, utilizando la expresio´n (9)y realizando una regresio´n de tipo hiperexponencial sobreel factor de incremento de tra´fico se obtiene la relacio´naproximada mostrada en la ecuacio´n (10).frit = a · e(−A0)m + b (10)donde a = 1.353 b = 1.157 m = 0.305En la figura 5 se muestra la relacio´n entre la frit obtenida deforma analı´tica y la curva de regresio´n por la que se aproxima.Para dimensionar ahora el sistema completo se suman lascontribuciones de tra´fico de tipo Poisson obtenidos de lasecuaciones anteriores.Ae = Av + Ai · (a · e(−Ai)m + b) (11)Como se observa en la ecuacio´n (11), el tra´fico equivalentecon el que se dimensiona se obtiene mediante la suma delos dos momentos principales correspondientes al tra´fico devoz y tra´fico de Internet. Otros estudios realizan un desarrolloFig. 5. Relacio´n frit analı´tico - frit aproximada.de forma similar al expuesto pero teniendo en cuenta dosmomentos para cada distribucio´n obtenie´ndose resultados muysimilares a los expuestos en este artı´culo.En el caso de que se quisiera tener un sobredimensionadopara tener reserva respecto a congestio´n, se realizarı´a unproceso similar aproximando frit a las curvas obtenidas enlas figuras 3 y 4. En este caso, el tra´fico de voz se modificade forma significativa debido a la congestio´n, luego serı´anecesario el desarrollo de una ecuacio´n del tipo (9) tambie´npara el tra´fico de voz.V. CONCLUSIONESEste artı´culo ha expuesto la metodologı´a de disen˜o e imple-mentacio´n de un modelo simple para el dimensionado de redesde telecomunicacio´n basadas en conmutacio´n de circuitos.Este modelo ha sido verificado mediante un simulador deredes de conmutacio´n de circuitos que ha sido desarrolladopor el Grupo de Ingenierı´a Telema´tica de la Universidad deCantabria. Los resultados de los estudios del modelo y de lassimulaciones cumplen con los requisitos fijados inicialmente.Este modelo analı´tico esta´ siendo utilizado actualmente por au-toridades reguladoras europeas para el estudio del incrementode costes de la red telefo´nica nacional del operador dominantedebido al tra´fico Internet, ve´ase [4].Entre las diferentes lı´neas de trabajo futuro destaca elestudio y desarrollo de un modelo analı´tico para el ca´lculo delbloqueo equilibrado del tra´fico multitasa de diversas clases deservicio considerando te´cnicas de reserva de recursos.REFERENCES[1] M. Poza, J. Aguilar, E. Lo´pez. Extensio´n de la fo´rmula de Erlang-B paraservicios de voz e Internet. Proc. Telecom I+D. Madrid 1999.[2] E.E. Cohen, A.A. Fredericks, C.D. Pack. The Internet and The PublicSwitched Telephone Network - A Trouble Marriage. Proc. to the 16thInternational Teletraffic Congress 16, Elsevier Science B.V. Junio 1999.[3] H. Akimaru, K. Kawashima. Teletraffic. 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Modelo analítico para el dimensionado de la RPT/RDSI con tráfico de voz y acceso a Internet

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