Stabilité uniforme pour certains systèmes issus de la mécanique des fluides et de la physique des plasmas

Abstract

This thesis is devoted to the uniform stability and singular limit problems for some fluid systems arising from plasma physics and fluid mechanics. In the first part, we investigate the uniform (with respect to the Reynolds number) stability problem for the Navier-Stokes-Poisson (NSP) system, which is a model describing the dynamics of plasmas. More precisely, for 3d NSP, we construct a unique global solution around the constant equilibrium with a smallness assumption on the perturbation which is independent of the Reynolds number except for the curl part of the velocity. Under a similar assumption, we also obtain the lifespan estimate for 2d NSP which is more delicate due to the weaker dispersion. The ’space-time resonance’ method and the classical parabolic estimates are the main ingredients of the proof. Moreover, the ’splitting’ idea proposed in these works can also be used to get the lower bound for the lifespan of solutions to some fluid systems. In the second part of the thesis, we study the low Mach number limit problem for the isentropic compressible Navier-Stokes equations (CNS) in a domain with fixed and free boundaries. We establish the uniform (with respect to Mach number) high regularity estimates and justify that as the Mach number vanishes, the strong solution of (CNS) converges (in some suitable sense) to that of the incompressible Navier-Stokes equations. In the domain with fixed boundaries, we obtain uniform estimates in a general setting of ill-prepared initial data where the simultaneous appearance of boundary layer effects and the fast oscillation are the main obstacle of the proof. For the (CNS) with a free surface, due to the extra difficulty arising from the uniform regularity of the surface, we prove uniform estimates by allowing the initial data to be slightly well-prepared.Cette thèse est consacrée aux problèmes de stabilité uniforme et de limites singulières des systèmes fluides issus de la physique des plasmas et de la mécanique des fluides. Dans la première partie, nous étudions le problème de stabilité uniforme (par rapport au nombre de Reynolds) pour le système de Navier-Stokes-Poisson (NSP), qui est un modèle décrivant la dynamique des plasmas. Plus précisément, pour 3D NSP, nous construisons une solution globale unique autour de l'équilibre constant avec une hypothèse de petitesse sur la perturbation qui est indépendante du nombre de Reynolds sauf pour la partie rotationnelle de la vitesse. Sous hypothèse similaire, nous obtenons également l'estimation de la durée de vie pour 2d NSP qui est plus délicate en raison de la dispersion plus faible. La méthode de la "résonance espace-temps" et les estimations paraboliques classiques sont les principaux ingrédients de la preuve. De plus, l'idée de "splitting" proposée dans ces travaux peut également être utilisée pour obtenir la borne inférieure de la durée de vie des solutions de certains systèmes fluides. Dans la seconde partie de la thèse, nous étudions le problème de la limite du bas nombre de Mach pour les équations de Navier-Stokes compressibles isentropiques (CNS) dans des domaines à frontières fixes et libres. Nous établissons des estimations uniformes (par rapport au nombre de Mach) à haute régularité et justifions que la solution forte de (CNS) converge (dans un sens approprié) vers celle des équations incompressibles de Navier-Stokes. Dans le domaine aux frontières fixes, on obtient des estimations uniformes dans un cadre général de données initiales mal préparées où l'apparition simultanée d'effets de couche limite et l'oscillation rapide sont le principal obstacle de la preuve. Pour le (CNS) avec une surface libre, en raison de la difficulté supplémentaire résultant de la régularité uniforme de la surface, nous prouvons des estimations uniformes en permettant aux données initiales d'être légèrement bien préparées