Modélisation et analyse des interactions entre écoulements à surface libre et objets flottants

Abstract

This thesis is about the modeling and the numerical approximation of flows in the presence of a structure at the surface. We consider the floating body problem on a large space scale. It is motivated by applications for geophysical phenomena such as flows under the ice floe and renewable energy production using wave energy converters. We derive a shallow water model with a supplementary congestion constraint. The congestion constraint is a challenging problem for the numerical approximation of hyperbolic equations. Thus we propose a unified model based on a pseudo-compressible relaxation for the resolution. We identify the mandatory properties for the numerical scheme and describe the adaptation of a numerical scheme based on a finite volume method. The well-balanced property and the dissipation of mechanical energy are ensured under a non-restrictive condition on the time step. To take into account freely floating objects, we introduce a coupling between the congested shallow water model and the equations given by Newton's second law of motion and focus on the energy of the coupled system. Indeed, the latter is of major interest for energy production. A Newmark scheme is used to solve the solid dynamics and coupled to the fluid scheme. We propose an entropy correction based on an adapted choice of discretization for the coupling terms in order to ensure a dissipation law at the discrete level. A validation is established in the one dimensional case using stationary and non-stationary analytical solutions.Cette thèse traite de la modélisation et de la résolution numérique d'écoulements en présence d'une structure à la surface. On considère la problématique d'un objet flottant sur un grand domaine. Les écoulements sous la banquise et la production d'énergie renouvelable grâce à des bouées sont des applications potentielles de ce travail. Nous dérivons un modèle de type Saint-Venant avec une contrainte de congestion supplémentaire. La contrainte de congestion est un défi pour la résolution numérique d'équations hyperboliques. Nous proposons alors un modèle unifié basé sur une relaxation pseudo-compressible pour la résolution. Nous identifions les propriétés nécessaires à la résolution numérique et décrivons l'adaptation d'un schéma volumes finis. La préservation de l'état d'équilibre du lac au repos ainsi qu'une loi de dissipation pour l'énergie mécanique sont démontrées sous une condition non-restrictive sur le pas de temps. Pour prendre en compte un objet flottant librement, nous introduisons un couplage entre le modèle de Saint-Venant congestionné et les équations du mouvement données par le principe fondamental de la dynamique en nous concentrant sur l'énergie du système couplé. Cet aspect est en effet d'un intérêt majeur dans la production d'énergie. Un schéma de Newmark est utilisé pour le solide et couplé à la résolution numérique pour le fluide. Nous proposons une correction entropique basée sur un choix de discrétisation particulier des termes de couplage pour assurer une loi de dissipation au niveau discret. La méthode est validée en dimension un sur des solutions analytiques stationnaires et non-stationnaires