Déterminant microlocal d'un faisceau pervers

Abstract

Following ideas of B. Malgrange, we construct a new invariant forperverse sheaves: the microlocal determinant. It is a generalization to perverse sheaves of the first secondary characteristic class for flat bundles. The microlocal determinant is a cohomology class on the cotangent bundle with support in the characteristic variety: it is constructed with the determinants of the local systems obtained from the microlocalizations along the strata. To show its existence, we put the perverse sheaf in generic positionusing canonical transforms and controlling the behavior of the microlocalized through such a transform. We are then reduced to the dimension 2 case where an explicit computation is performedusing Ph. Maisonobe's combinatorial description of perverse sheaves.Suivant des idées de B.Malgrange, on présente la construction d'unnouvel invariant pour les faisceaux pervers : le déterminant microlocal. C'est une généralisation aux faisceaux pervers de la première classe caractéristique secondaire des fibrés plats. Le déterminant microlocal est une classe de cohomologie sur lefibré cotangent à support dans la variété caractéristique : il estconstruit sur les déterminants des systèmes locaux obtenus parmicrolocalisations le long des strates. Pour montrer son existence, on ramène la variétécaractéristique en position générique par une transformation canonique en contrôlant le comportement des microlocalisés par une telle transformation. On est alors ramené au cas de la dimension 2 où un calcul explicite est effectué en utilisant les descriptions combinatoires des faisceaux pervers de Ph. Maisonobe