Sur l'estimation adaptative de fonctions anisotropes

Abstract

This thesis is devoted to the study of statistical problems of non parametrical estimation. A noisy multidimensionnal signal is observed (for example an image if the dimension is equal to two) and our goal is to reconstruct it \emph{as best as possible}.In order to achieve this goal, we consider the well known theory of adaptation on a minimax sense : we want to construct a single estimator which achieves on each fuctionnal space of a given collection the "best possible rate".We introduce a new criterion in order to chose an optimal family of normalizations. This criterion is more sophisticated than criteria given by Lepski (1991) and Tsybakov (1998) and well adapted to multidimensionnal case.Then, we prove two results of adaptation with respect to different collections of anisotropic HCette thèse est consacrée à l'étude de problèmes statistiques d'estimation non paramétrique. Un signal bruité multidimensionnel est observé (par exemple une image dans le cas de la dimension deux) et nous nous fixons l'objectif de le reconstruire \emph{au mieux}.Pour réaliser ce but, nous nous plaçons dans le cadre de la théorie adaptative au sens minimax : nous cherchons un seul estimateur qui atteint simultanément sur chaque espace fonctionnel d'une collection la .Nous donnons un nouveau critère pour choisir une famille de normalisations optimale. Ce critère est plus sophistiqué que ceux introduits par Lepski (1991) puis Tsybakov (1998) et est mieux adapté au cas multidimensionnel.Ensuite, nous donnons deux résultats adaptatifs (en estimation ponctuelle) par rapport à deux collections différentes d'espaces de