Algorithmes hybrides pour le contrôle optimal des systèmes non linéaires

Abstract

This thesis is devoted to the analysis of non linear control problems by hybrid computation methods. We defend the idea that the use of hybrid systems allows the approximate resolution of non linear control problems without any a priori knowledge of the behavior of the considered systems. In the first part we focus on the modelling of non linear control systems by a new class of piecewise affine hybrid systems. Particularly, we propose a full analysis of the error and of the convergence of the hybrid approximation. The second part deals with the controllability to the origin of non linear systems. We first provide an analysis of the approximation error between the non linear controllable domain and its hybrid approximation. We then propose a constructive approach for the computation of the controllable domain which allows to reduce the exploration of the discrete states of the hybrid automaton. The last part is devoted to the search of optimal solutions of the non linear and hybrid optimal control problems. We first justify the relevance of our hybrid model thanks to two approaches: the Pontryagin maximum principle and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations. Particularly, we state a hybrid maximum principle which provides us the structure of the hybrid optimal control. These three parts answer to the main purpose : to develop by the hybrid computation combining numerical analysis and computer algebra, some mathematical and algorithmic efficient tools for the analysis of non linear control systems.Cette thèse est consacrée à la résolution des problèmes de contrôle non linéaires par des méthodes de calcul hybride. L'idée défendue est que la modélisation par les systèmes hybrides permet la résolution approchée des problèmes non linéaires sans connaissance a priori du comportement du système étudié. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la modélisation des systèmes de contrôle non linéaires par une nouvelle classe de systèmes hybrides affines par morceaux. Un soin particulier est apporté à l'étude de l'erreur et de la convergence de l'approximation hybride. La deuxième partie est consacrée au problème de la contrôlabilité à l'origine des systèmes non linéaires. Nous nous intéressons tout d'abord à la quantification de l'erreur commise entre le domaine contrôlable non linéaire et son approximation hybride. Nous proposons ensuite une approche constructive pour le calcul du domaine contrôlable, permettant alors de réduire l'exploration des états discrets de l'automate hybride. La dernière partie est dédiée à la recherche de solutions optimales des problèmes de contrôle non linéaires et hybrides. Nous justifions tout d'abord la pertinence de la modélisation hybride à travers deux approches : le principe du maximum de Pontryagin et les solutions de viscosité des équations d'Hamilton-Jacobi-Bellman. Nous énonçons en particulier un principe du maximum hybride qui nous permet alors de déterminer la structure du contrôle optimal hybride. Ces trois parties répondent à un objectif principal : développer par le calcul hybride combinant analyse numérique et calcul formel, des outils mathématiques et algorithmiques efficaces pour l'étude de dynamiques contrôlées non linéaires