Un point de vue sur des approches factorielles et probabilistes de la covariance. Application à l'analyse locale du mouvement

Abstract

This thesis deals with factorial and probabilistic approaches of the covariance, which can take an extraneous knowledge on the observations into account. Dealing with temporal data, the model weadopt breaks the signal into a deterministic function depending on time and representing a trend and into a residual term. Factorial methods are devoted to studying the trend. We present a general formalism for the relational covariance as well as new properties that clarify the interpretation and the connexion with existing concepts. Relational covariance is embedded into various paradigmssuch as principal component analysis (PCA), operator factor analysis and operator discriminant factor analysis. We show that relational PCA is a special case of Kernel PCA and Functional PCA and we illustrate that property through duality diagrams. The study of the residuals is carried out within the scope of probabilistic models based on covariance. At a first step, the residual term is assumed to be multi-Gaussian, hence we use a Wishart distribution for the empirical covariance, followed by a clustering procedure (EM algorithms). At a second step, we apply fractal analysis to the residual term that is modeled as a self similar process. The Hurst parameter is estimated for several sampling protocols and we study how the protocol specificity may influence this estimation. All these concepts are applied to movement analysis e.g. : motion capture of contemporary dance movements (factorial methods and clustering of Wishart mixture models), as well as marine biology (segmentation and fractal analysis).Cette thèse s'intéresse à des approches factorielles et probabilistes de la covariance qui tient compte d'une connaissance exogène sur les observations. Nous adoptons un modèle qui décompose le signal en une fonction déterministe du temps caractérisant la tendance, et en un terme résiduel. Les méthodes factorielles sont consacrées à l'étude du terme tendanciel. Nous présentons le formalisme général de la covariance relationnelle ainsi que de nouvelles propriétés qui éclairent les interprétations et faisons le lien avec les notions déjà existantes. La covariance relationnelle s'intègre dans l'analyse en composantes principales (ACP), l'analyse factorielle d'opérateurs et l'analyse discriminante d'opérateurs.Nous montrons que l'ACP relationnelle est un cas particulier de l'ACP à noyaux et de l'ACP fonctionnelle, dont nous dressons les schémas de dualité correspondants. L'étude du terme résiduel est menée à l'aide d'approches probabilistes fondées sur la covariance. Dans un premier temps, ce terme est assimilé à un vecteur gaussien et nous introduisons une procédure de classification de matrices de covariance par la distribution de Wishart induite par l'hypothèse de gaussianité. En particulier, l'algorithme EM sur matrices de covariance est proposé. Dans un second temps, on procède à l'analyse fractale du terme résiduel, identifié par une trajectoire d'un processus autosimilaire. L'indice d'autosimilarité est estimé quelque soit l'échantillonnage et nous déterminons dans quellemesure cette contrainte temporelle influe sur l'estimation. Nous appliquons les concepts présentés à l'analyse du mouvement : corpusde mouvements de danse contemporaine (méthodes factorielles et classification par Wishart), et données de biologie marine (segmentation par analyse fractale)