Ternary machine arithmetic in quadratic fields

Abstract

Как известно, наиболее экономичной является троичная система счисления (используемая в троичных ЭВМ), следом за которой идут двоичная система счисления (традиционно используемая в большинстве распространённых ЭВМ). Этот широко известный факт стимулировал в свое время исследования по разработке троичных вычислительных средств. Тем не менее, тернарные системы счисления в компьютерных науках являются все же относительной экзотикой, несмотря на ясные теоретические преимущества и наличие довольно почтенной истории. В настоящее время исследования теоретических вопросов и приложений тернарных систем счисления ограничиваются, в основном, работами по приложениям очень частного случая т.н. «уравновешенных» троичных систем счисления для (приближенных) вычислений в поле действительных (а точнее, рациональных) чисел. В докладе приводятся систематизированные авторские результаты по синтезу тернарных систем счисления для мнимых квадратичных полей. В работе также рассматриваются системы счисления и алгоритмы арифметических операций при представлении элементов конечных полей в так называемых редуцированных системах счисления, то есть в редукциях канонических систем счисления при отображении соответствующего кольца целых квадратичного поля в поле классов вычетов по простому модулю – то есть, обобщения модулярной машинной арифметики. As you know, the most economical is the ternary number system (used in ternary computers), followed by a binary number system (traditionally used in most common computers). This well-known fact stimulated research into the development of ternary computing. However, ternary number systems in computer science are still relatively exotic, despite the clear theoretical advantages and the presence of a fairly respectable history. Currently, the research of theoretical issues and applications of ternary number systems is limited mainly to the applications of a very special case of the so-called "balanced" ternary number systems for (approximate) calculations in the field of real (or rather, rational) numbers. The report presents the systematized author's results on the synthesis of ternary number systems for both real and imaginary quadratic fields. The paper also considers the number systems and algorithms of arithmetic operations in the representation of finite field elements in the so – called reduced number systems, that is, in the reduction of canonical number systems when displaying the corresponding ring of an integer quadratic field in the field of residue classes by a simple module-that is, generalization of modular machine arithmetic.Работы выполнены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (Проекты 15-07-05576,16-41-630676, 18-29-03135, 19-07-00357)