Calcul symbolique non commutatif : analyse des constantes d'arbre de fouille

Abstract

Working on some random variables, like additive parameters on multidimensional point quadtrees, or the number of maxima among a set of n points, independent and uniformly distributed in [0,1]^d makes appear some particular sequences, called multiple harmonic sums (MHS), extensions of classical harmonic numbers to compositions.Aiming at applying symbolic methods to study these random variables, we replace the use of compositions by encodings over different alphabets, and then call upon important results in the theory of combinatorics on words to apply them to our special sequences of MHS and to polylogarithms, derivative of generating functions of MHS. In convergent cases (respectively as z tends to 1 and as N tends to infinity) both converge to the same limit, called polyzêta. For divergent cases, the use of noncommutative generating series enables us to prove a theorem ``à l'Abel'', giving rise to a common limit. This theorem enables one to give an explicit form to generalized Euler constants associated to divergent MHS and so to get a very efficient algorithm to compute their asymptotic expansion.Finally, we suggest some applications of harmonic sums in the field of multidimensional data structure, for which our approach gives rise to exact computations, which can be then easily asymptotically evaluated.L'étude de certaines variables aléatoires, comme les paramètres additifs sur les arbres hyperquaternaires de points, ou encore le nombre de maxima au sein d'un ensemble de n points indépendants, et uniformément distribués dans [0,1]^d font apparaître des suites particulières, les sommes harmoniques multiples (SHM), extensions des nombres harmoniques classiques à des multi-indices.Nos travaux visant à appliquer des méthodes symboliques pour l'étude de ces variables aléatoires, nous remplaçons l'utilisation de multi-indices par des codages sur des alphabets distincts, et nous appuyons alors sur des résultats importants en combinatoire des mots pour les appliquer à nos suites de SHM, et aux fonctions polylogarithmes, qui sont des variantes des génératrices ordinaires des SHM. Dans les cas convergents, les deux objets convergent (respectivement lorsque z tend vers 1 et lorsque N tend vers l'infini) vers la même limite, appelée polyzêta. Pour les cas divergents, l'utilisation de séries génératrices non commutatives nous permet d'établir un théorème ``à l'Abel'', faisant apparaître une limite commune. Ce théorème permet de donner une forme explicite aux constantes d'Euler généralisées associées à des SHM divergentes et ainsi d'obtenir un algorithme très efficace pour calculer leur développement asymptotique.Finalement, nous proposons des applications des sommes harmoniques dans le domaine des structures de données multidimensionnelles, pour lesquelles notre approche donne naissance à des calculs exacts, qui peuvent par la suite être aisément évalués asymptotiquement