Sur quelques problèmes d'observateurs, Applications à certains modèles d'écosystème aquatique

Abstract

The goal of this thesis is twofold. First we show that some tools from control theory are helpful to adress the stock estimation problem for an exploited sh population. The stock estimation is one of the most important problem in shery science. To make a policy decision about the exploitation of renewable ressources, it is necessary to take into account the state of the resource stocks. This implies the need of a good estimate of the available resource. Mathematical models are more and more used to describe the evolution of biological systems. In the rst part of this work, we consider two mathematical models for shery resources. The rst one is a " stage structured " model that describes the dynamics of a population divided in stage-classes (according to age, length or weight) and submitted to the shing action. The second model is a " global " model that describes the evolution of a sh population that can move between an area where it can be harvested and a reserve area where no shing is allowed. Both models are given by systems of ordinary di erential equations. For our work, we show that a tool from nonlinear control theory called " observer " can be helpul to deal with the resource stock estimation in the eld of renewable resource management. More precisely we built a dynamical systems that uses the available data ( shing efort and the total or partial of caught sh) and which produces a dynamical estimation of the stock state. In the second part of this thesis, an adaptive observer for continuous-discrete systems is proposed. It is well known that adaptive observer is very important for join state and parameters estimation ; most of known results concern continuous systems with continuous-output or discrete-time systems with discrete output. In our work, we consider a linear system (obtained after some output injection transformation) with discrete outputs and we propose an algorithm to estimate both the state and the parameter.We use rst the persistence conditions to show the convergence of the proposed algorithm, after, we propose an algorithm for the join state and parameter estimation without any persistance condition. The proposed adaptive observer are shown to quite promising due to the exponentieal error convergence.Cette thèse a un double objectif ; en effet, dans un premier temps, le but est d'utiliser les outils de l'Automatique moderne(La théorie du contrôle en mathématique) pour résoudre des problèmes liés à la gestion des ressources de la bio-diversité en général, et de manière particulière à la gestion des ressources halieutiques pour ce qui concerne l'estimation des stocks. Nous avons considéré deux modèles de pêches, l'une structurée en stades et l'autre issue des modèles globaux. Nous avons utilisé sur ces deux modèles des techniques mathématiques pour construire des estimateurs d'état appelés Observateurs pour estimer l'état réel des systèmes que nous considérons. Ces techniques sont bien connues dans l'étude des systèmes modélisant les phénomènes physiques, mais rares sont les documents qui font état de l'utilisation des observateurs dans les systèmes modélisant certains écosystèmes telles les populations de poissons. Nous avons ici tenté d'associer la rigueur mathématique dans l'estimation des états des ces systèmes qui sont construits très souvent de manière empirique et complexe. La seconde partie de cette thèse traite des observateurs adaptatifs d'une classe de systèmes dont la sortie est à temps discret. En effet, nous considérons une classe de systèmes pouvant se mettre sous une forme particulière appelée forme adaptative, après une transformation via l'injection de sortie. Nous développons un algorithme récursif permettant d'estimer aussi bien l'état que quelques paramètres du système. La particularité de cette étude des observateurs adaptatifs est liée au fait qu'ici nous avons une sortie discrète, contrairement à ce que nous pourrions rencontrer dans la littérature pour les observateurs adaptatifs. Dans notre approche de ces observateurs adaptatifs continus discrets, nous avons d'abord construit l'estimateur d'état et de paramètres en trouvant un gain constant qui permet la convergence de l'algorithme ; ensuite nous considérons le même problème d'estimations d'état et de paramètres, mais sous un autre angle. Nous avons donc utilisé des techniques de l'excitation persistante pour permettre la convergence de l'algorithme