Etude de l'intrication dans l'effet Hall quantique fractionnaire

Abstract

In the past decades it has become clear that Landau's theory of phase transitions which involves the appearance of a broken-symmetry order parameter does not apply to a series of phases of matter with so-called topological order. The absence of a local order parameter makes the identification of a topological phase a difficult task. Among the different techniques that have been applied to probe topological phases, entanglement measurements, first introduced in the context of quantum computation, turned out to be very successful. Li and Haldane suggested to use the entanglement spectrum : it is the spectrum of the reduced density matrix obtained when the system is cut into two parts. They found that, for fractional quantum Hall model states, the counting of states of the entanglement spectrum has a universal part which is related to the one of the edge excitations. During my Ph.D thesis, I tried to understand what information the entanglement spectrum could provide when applied to fractional quantum Hall phases. These phases are the typical examples of strongly interacting topological phases. I first studied the entanglement spectrum as proposed by Li and Haldane. I showed that, away from model states, it was possible to define a clear entanglement gap. I also related the structures above the entanglement gap to quasihole-quasiparticule excitations. Then, I defined two other types of entanglement spectrum that rely on different ways of partitioning the system. The particle entanglement spectrum gives access to quasihole excitations whereas the real space entanglement spectrum solves several issues of the original proposal for the entanglement spectrum. Finally, I used these tools to identify phases similar to the one of the fractional quantum Hall effect that emerges in bosonic cold atoms gases in an optical lattice or in fractional Chern insulators.Depuis une trentaine d'années, les phases topologiques ont suscité un intérêt important parce qu'elles ne peuvent être comprises dans le cadre de la théorie de Landau des transitions de phases. Par définition, ces phases ne peuvent être distingués des phases triviales par une mesure locale et il est donc difficile de les identifier. Parmi les différentes techniques utilisées pour identifier les phases topologiques, les mesures d'intrication, introduites dans le cadre de l'informatique quantique, se sont révélées fructueuses. Li et Haldane ont proposé d'utiliser le spectre d'intrication : il s'agit du spectre de la matrice densité réduite obtenue lors d'un découpage du système en deux sous-parties. Ils ont montré que, pour les états modèles de l'effet Hall quantique fractionnaire, le comptage des états du spectre d'intrication possède une partie universelle dont le comptage est relié à celui des excitations de bord du système. Au cours de ma thèse, j'ai cherché à comprendre ce que permettait d'obtenir le spectre d'intrication appliqué aux phases de l'effet Hall quantique fractionnaire qui est l'exemple typique de phases topologiques en interaction forte. Mes premiers travaux ont consisté à étudier le spectre d'intrication, tel que l'avait défini Li et Haldane. J'ai ainsi montré qu'au-delà des états modèles il était possible de définir un gap d'intrication. J'ai aussi relié les structures au-dessus du gap d'intrication aux excitations de type quasitrous-quasiparticules. Par la suite, j'ai défini deux autres spectres d'intrication qui repose sur des découpages différents du système. Le spectre d'intrication par particule permet d'accéder à d'autres excitations de type quasitrous alors que le spectre d'intrication géométrique règle un certain nombre de problèmes que la définition de Li et Haldane posait. Enfin, j'ai utilisé ces outils pour identifier les phases, similaires à celles de l'effet Hall quantique fractionnaire, émergentes pour un gaz de bosons dans un réseau optique ou dans les isolants de Chern fractionnaires