De la pertinence de l’énumération : complexité en logiques propositionnelle et du premier ordre

Abstract

Beyond the decision of satisfiability problems, we investigate the problemof enumerating all their solutions.In a first part, we consider the enumeration problem in the frameworkof the propositional satisfiability problem. Creignou and Hébrard provedthat the polynomial classes for the non-trivial sat problem are exactlythose for the enumeration problem. We give optimal enumerationalgorithms for each of these classes, that generalize any non-trivialdecision algorithm for this class. This suggests that enumeration is therelevant problem in this case, rather than the decision problem.In a second part, we simplify and complete some results of Baganet al. that establish a strong connection between the tractability of aconjunctive query and a notion of hypergraph acyclicity. We establishsimilar results for the dual class of the class of conjunctive queries,thanks to a new algorithm. Finally, we generalize all these resultsthrough a single dichotomy for the enumeration problem of conjunctivesigned queries, by generalizing some classical combinatorial result byBrouwer and Kolen. This dichotomy establishes a close connectionbetween enumeration strong tractability and decision strong tractability.Au-delà de la décision de problèmes de satisfaisabilité, on s’intéresse à la génération exhaustive de leurs solutions, l’énumération.Nous interrogeons d’abord la pertinence du problème d’énumération dans le cadre très classique de la logique propositionnelle. La dichotomie de Creignou et Hébrard prouve déjà l’équivalence entre les classes polynomiales pour la décision non triviale et celles pour l’énumération. On donne des algorithmes d’énumération optimaux pour chacune de ces classes, qui généralisent tout algorithme de décision non triviale, suggérant que l’énumération est le problème pertinent dans ce cadre.Ensuite, nous complétons et simplifions des résultats de dichotomie de Bagan et al. qui établissent un lien étroit entre la facilité d’une requête conjonctive et une notion d’acyclicité d’hypergraphe. On prouve alors, grâce à un nouvel algorithme, des résultats similaires pour la classe duale de celle des requêtes conjonctives. Finalement, en généralisant le résultat classique de combinatoire de Brouwer et Kolen, on unifie l’ensemble de ces résultats sous forme d’une dichotomie pour l’énumération des requêtes conjonctives dites signées, qui établit un lien fort entre facilité de l’énumération et facilité de la décision