ETUDE DE L'EQUATION HARMONIQUE DANS UN OUVERT AVEC DES CONDITIONS NONLINEAIRES DE FLUX AU BORD.

Abstract

The main aim of this thesis is divided into two parts. The first part is devoted to the study of the problem,\begin{equation} \label{Equ.1.resume.anglais}\left\{\begin{aligned}-\Delta u \, + u &= 0 ~~ \text{in} ~~ \Omega, \\ \frac{\partial u}{\partial n} \,+ \, g(u) &= \mu ~~ \text{on} ~~ \partial \Omega,\end{aligned}\right .\end{equation}where $\Omega$ is a bounded regular domain of $\mathbb{R}^N$, $g(\cdot)$ is a continuous function that satisfies the sign condition $s \cdot g(s) \geq 0,$ in some model case we will assume that $g(\cdot)$ is increassing, and finally $\mu$ is a bounded measure on $\partial \Omega.$ Some of our results remain true when $\Omega:=\mathbb{R}^N_+.$We will start by proving the existence of a solution when $\mu$ is an $L^1(\partial \Omega)$ function, and this independently of the nonlinearity $g(\cdot)$ that satisfies the previous hypothesis. Then, we will study the case when $\mu$ is a Radon measure on $\partial \Omega$. In such a context, some new conditions appear on $g(\cdot)$ and $\mu$ that assure the existence of a solution. We will prove the existence of a solution when $g(\cdot)$ is a sub-critical nonlinearity in dimension $N$ larger or equal to three, and when $g$ satisfies the weak singularity assumption on the boundary in case $N$ equals two. When $\Omega:=\mathbb{R}^2_+$ and $\mu:=c \, \delta_0$, our result states that the problem admits a solution if and only if $$\frac{\pi}{a_-(g)} \leq c \leq \frac{\pi}{a_+(g)},$$where $a_-(g)$ and $a_+(g)$ denote the exponential order of growth of the function $g(\cdot)$, respectively at minus and plus infinity.Finally, we fix $g(u):= |u|^{p-1} \, u$, where $p>1$, so we will prove that the problem admits a solution if the measure $\mu$ is diffuse with respect to the capacity $C_{1,p^{'}}$. After, if $\mu$ is a positive measure for which this problem admits a solution, then necessarily this measure must be diffuse with respect to the capacity $C_{1,p^{'}}.$ This allows us to deduce that if $c\in \mathbb{R}^*$ and $a\in \partial \Omega$, then the problem with data $\mu=c \, \delta_0$ does not have a solution when$$p\geq\frac{N-1}{N-2}.$$ The second part of this thesis is devoted to study the singularities of the problem, \begin{equation}\label{Equ.2.resume.ang} \left\{\begin{aligned}&- \Delta u = 0 ~~ \text{in} ~~ \Omega, \\ &\frac{\partial u}{\partial n} \,+ \, |u|^{p-1}\, u = 0 ~~ \text{on} ~~ \partial \Omega \backslash \{a\},\end{aligned}\right .\end{equation}where $\Omega$ is a bounded regular domain of $\mathbb{R}^N$ such that $a\in \partial \Omega$, $p>1$ and the function $u$ is smooth enough in $\overline{\Omega}\setminus\{a\}.$ Without loss of generality we fix $a$ to be the origin $0$.We will see that the nature of the singularity depends on the critical parameter $$p_c:=\frac{N-1}{N-2}.$$We will prove that the singularity is removable in the case $p\geq p_c$. In the second case when $1 1$, alors on montrera que le problème admet une solution si la mesure $\mu$ est absolument continue par rapport à la capacité $C_{1,p^{'}}$. Puis, dans le cas où le problème admet une solution pour une mesure de Radon positive $\mu$, alors nécessairement cette mesure est absolument continue par rapport à la capacité $C_{1,p^{'}}$. Ceci permet de déduire que si $c\in \mathbb{R}^*$ et $a\in \partial \Omega$ alors le problème à donnée $\mu = c \, \delta_a$ n'admet pas de solution lorsque : $$p\geq \frac{N-1}{N-2}.$$ La deuxième partie de cette thèse est consacrée à l'étude de singularités du problème,\begin{equation}\label{Equ.2.resume} \left\{\begin{aligned}&- \Delta u = 0 ~~ \text{dans} ~~ \Omega, \\ &\frac{\partial u}{\partial n} \,+ \, |u|^{p-1}\, u = 0 ~~ \text{sur} ~~ \partial \Omega \backslash \{a\},\end{aligned}\right .\end{equation}où $\Omega$ est un ouvert régulier borné de $\mathbb{R}^N$ tel que $a\in \partial \Omega$, $p>1$ et la fonction $u$ est suffisamment régulière dans $\overline{\Omega}\setminus\{a\}$. Sans perte de généralité on fixe $a$ comme étant l'origine $0$.On verra que la nature de singularité dépend du paramètre critique : $$\displaystyle p_c:=\frac{N-1}{N-2}.$$ On montrera que la singularité est éliminable lorsque $p\geq p_c$. Lorsque $1 < p < p_c$, en considérant les coordonnées sphériques, on obtiendra que $r^{\frac{1}{p-1}} u (r, \sigma)$ converge quand $r \to 0$ vers une composante compacte et connexe d'un certain ensemble $\mathcal{E}$. Maintenant, si $1/(p-1) \notin \mathbb{N}$, et si l'une de conditions suivantes a lieu :i) si $N=2,$ ii) si $u(x) \, |x|^\frac{1}{p-1} \to 0,$ quand $|x| \to 0$, iii)si $u$ est positive et $\displaystyle \frac{N}{(N-1)} < p < p_c,$alors, on déduit une classification précise des singularités de l'équation. Ces résultats seront énoncer respectivement dans Théorème 4.13, Théorème 4.12 et Théorème 4.11