Zawadzki, Witold

Polish

Jagiellonian Univeristy Repository

7Neutrino 45Kącik zadań olimpijskich. Sieć oporników – cz. 3Zadanie 1Na płytce montażowej znajduje się 2019 punktów połączenio-wych. Punkty – każdy z każdym – łączymy przewodem o oporze R. Oblicz opór zastępczy układu pomiędzy dwoma punktami. RozwiązaniePunktów jest tak dużo, że nawet trudno sobie wyobrazić taki układ opor-ników, a co dopiero narysować. Dlatego naszkicujmy układ z jakąś bardziej rozsądną liczbą punktów, np. sześcioma:Rysunek został uproszczony, gdyż zgodnie z treścią zadania, wszystkie przewody łączące punkty powinny mieć taką samą długość. Rysunek dobrze obrazuje ogólny wygląd siatki połączeń oraz liczbę odcinków.Zadajmy sobie jedno (matematyczne) pytanie: ile odcinków przewodu za-wiera rozważany układ z 2019 punktami? Gdybyśmy dysponowali rysunkiem układu, to wystarczyłoby policzyć odcinki, choć nie byłoby to łatwe zadanie z uwagi na możliwość pomyłki i ominięcie któregoś przewodu. Jednak rysu-nek nie jest niezbędny i zadanie można rozwiązać algebraicznie. Z każdego z 2019 punktów „odchodzi” po 2018 odcinków, więc wydaje się, że powinno być 2019×2018 przewodów. Takim sposobem każdy odcinek liczymy jednak dwukrotnie - raz jako idący od punktu A do punktu B i drugi raz jako idący od punktu B do punktu A. W rzeczywistości odcinków jest więc dwa razy mniej, czyli 2019×2018:2 = 2 037 171.Przy tak dużej liczbie punktów trudno jest rozwiązać postawiony problem i obliczyć opór zastępczy układu. Musimy rozważyć prostsze przypadki, z mniej-szą liczbą punktów. Zacznijmy od najprostszego, czyli dla n = 2 punktów:Zamiast odcinka przewodu na rysunku przedstawiono opornik. Oczywistym jest, że opór zastępczy obwodu pomiędzy dwoma punktami (A i B) jest równy oporowi pojedynczego odcinka przewodu, czyli R.Teraz przypadek z n = 3 punktami:Do każdego punktu podłączonych jest tyle samo przewodów (oporników) i wszystkie one mają taki sam opór, więc opór zastępczy pomiędzy każdą parą punktów jest taki sam. Możemy dowolnie wybrać dwa punkty, pomiędzy który-8 Neutrino 45mi obliczamy opór zastępczy. Wybieramy więc punkty oznaczone A i B, i układ przerysowujemy następująco:Mamy do czynienia z połączeniem mieszanym: jeden opornik znajduje się bezpośrednio pomiędzy rozważanymi punktami, a równolegle do niego podłą-czone są dwa oporniki połączone ze sobą szeregowo. Opór zastępczy połącze-nia szeregowego jest równy 2R, a opór zastępczy układu Rz obliczymy, korzy-stając z odpowiedniego równania dla połączenia równoległego: 1 = 1+ 12,zR R R  Skąd otrzymujemy  z =23. Zwiększmy liczbę punktów do n = 4:Przewody leżące na przekątnych kwadratu krzyżują się, ale nie stykają ze sobą. Łatwo zauważyć, że – podobnie jak w poprzednim przypadku – je-den opornik jest połączony bezpośrednio pomiędzy punktami A i B. Pozostałe oporniki są połączone w dość skomplikowany sposób, nie będący ani czystym połączeniem szeregowym, ani równoległym. Wydawać by się mogło, że prąd płynie przez wszystkie oporniki. Aby się przekonać, że tak nie jest, układ ten narysujmy trochę inaczej:Zróbmy prosty eksperyment myślowy: wyobraźmy sobie układ elektryczny taki jak rozważany, ale bez opornika podłączonego pomiędzy punktami C i D:9Neutrino 45Każda z dwóch par połączonych szeregowo oporników stanowi tak zwany dzielnik napięcia. Jeśli do punktów A i B podłączymy źródło napięcia, to napię-cie pomiędzy tymi punktami podzieli się na połączonych szeregowo opornikach w stosunku równym stosunkowi oporów. Skoro wszystkie oporniki mają taki sam opór, to napięcie na każdym z połączonych szeregowo oporników będzie równe połowie napięcia pomiędzy punktami A i B. Z tego z kolei wynika, że napięcie pomiędzy punktami C i D jest równe zeru (fizycy mówią, że punkty te mają taki sam potencjał elektryczny). Zastanówmy się teraz, co by się stało, gdybyśmy usunięty opornik z powrotem podłączyli pomiędzy punkty C i D. Otóż nic by się nie stało – skoro napięcie pomiędzy A i C jest równe zero, to przez opornik nie popłynie prąd. Czyli jego wpięcie nie zmieni natężeń prądów płynących przez oporniki, a zatem opór zastępczy układu z tym opornikiem jest taki sam jak opór zastępczy układu bez niego. Opór zastępczy pomiędzy punk-tami A i B obliczamy ze znanego już równania dla połączenia równoległego: 1 = 1+ 12+ 12,zR R R Rskąd otrzymujemy wynik R Rz =12.A jak wygląda sytuacja dla n = 5?Przewody – przekątne figury, nie stykają się ze sobą. Tak, jak poprzednio, jeden opornik jest podłączony bezpośrednio pomiędzy punktami A i B. Pozo-stałe 9 oporników tworzy skomplikowany układ. Podobnie, jak w poprzednim przypadku, okazuje się, że nie przez wszystkie oporniki płynie prąd elektrycz-ny. Poprzednio prąd nie płynął przez ten opornik, który nie był bezpośrednio połączony ani z punktem A, ani z punktem B. W układzie czterech punktów był tylko jeden taki opornik, tutaj są trzy – zaznaczono je linią przerywaną.10 Neutrino 45Pozostałe oporniki (oprócz jeszcze tego bezpośrednio włączonego pomiędzy punkty A i B), tworzą trzy gałęzie połączone równolegle, każda z dwoma opor-nikami połączonymi szeregowo. Układ można narysować tak:Opór zastępczy pomiędzy punktami A i B obliczamy analogicznie jak poprzed-nio. 1 = 1+ 12+ 12+ 12,zR R R R Rskąd otrzymujemy wynik R Rz =25.Chyba już widać, jak zabrać się za zadanie z n = 2019 punktami. Jeden spośród ponad 2 000 000 przewodów (oporników) jest połączony bezpośrednio do obu punktów A i B. Drugą grupę stanowią te oporniki, które są bezpośrednio połączone do punktu A albo punktu B i tworzą szeregowe połączenie dwóch oporników pomiędzy tymi punktami. Ile jest takich oporników? Rozważamy przypadek z 2019 punktami, więc oprócz punktów A i B jest jeszcze 2017 punktów – i tyle też jest par oporników. Trzecią grupę oporników stanowią te, które bezpośrednio nie są połączone ani z punktem A, ani z punktem B. I te oporniki można usunąć z układu, co nie zmieni ani natężeń prądów płynących przez oporniki, ani oporu zastępczego układu. A zatem opór zastępczy układu pomiędzy punktami A i B spełnia równanie 1 = 1+2017 12.zR R RPo prostych przekształceniach otrzymujemy wynik: z = .Zadanie nr 1 dla CzytelnikaRozwiąż powyższe zadanie dla płytki, na której znajduje się 2020 punktów połączeniowych.Zadanie nr 2 dla CzytelnikaWyprowadź ogólny wzór na opór zastępczy rozważanego wyżej układu posiadającego n punktów połączeniowych.Odpowiedzi w tym numerze.Witold Zawadzki

Kącik zadań olimpijskich : sieć oporników : cz. 3

9Neutrino 44Kącik zadań olimpijskich. Sieć opornikówKontynuujemy cykl artykułów, w których przedstawiamy wybrane zadania z Olimpiady Fizycznej i innych konkursów. Na pierwszy rzut oka niektóre z tych zadań wydają się być nierozwiązywalne, jednak prawie zawsze można znaleźć na nie jakąś metodę. Tym razem znowu zmierzymy się z sieciami oporników. Na początek stare zadanie z Olimpiady Fizycznej w 1976 r. Uwaga. Choć wiemy iż prąd to uporządkowany ruch elektronów, to ze względów historycznych rozważa się, że prądy płynie od dodatniego do ujem-nego bieguna baterii, czyli tak, jakby był uporządkowanym ruchem ładunków dodatnich.Zadanie 1Dana jest nieskończona, płaska sieć druciana o oczkach kwadrato-wych (rys. 1). Opór każdego prostoliniowego odcinka drutu łączą-cego dwa najbliższe węzły wynosi R. Oblicz opór zastępczy sieci w przypadku, gdybyśmy ją włączyli do obwodu w punktach A i B.Rys. 1Mamy tutaj do czynienia z nieskończenie długimi, prostoliniowymi przewo-dami. Przewody pionowe i poziome stykają się ze sobą w punktach przecięcia. Oczywiście powyższy rysunek przedstawia tylko fragment nieskończonej, kwa-dratowej siatki. W zadaniach szkolnych zazwyczaj przyjmuje się, że przewo-dy nie posiadają oporu elektrycznego. Tutaj jednak rozważane są przewody rzeczywiste, posiadające opór. Przyjmujemy natomiast, że przewody dopro-wadzające zasilanie do punktów A i B (przewody z zaciskami na końcach) są bezoporowe. Widocznej na powyższym rysunku części rozważanego układu odpowiada poniższy schemat. Wszystkie oporniki mają jednakowy opór R.Rys. 210 Neutrino 44Ale jak obliczyć opór zastępczy układu pomiędzy punktami A i B (rys. 2)? Mamy tutaj do czynienia ze skomplikowanym układem, a nie prostymi połą-czeniami szeregowymi czy równoległymi. Przyjmijmy, że dodatni biegun baterii podłączono do zacisku połączonego z punktem A, a ujemny do B. Gdyby prąd płynął „najkrótszą drogą”, to przepłynąłby tylko przez opornik znajdujący się bezpośrednio pomiędzy punktami A i B. Wtedy opór zastępczy pomiędzy tymi punktami byłby równy po prostu R. Ale prąd wpływający z baterii do węzła A obwodu rozdziela się. Część tego prądu płynie przez wspomniany opornik bezpośrednio do punktu B, część prądu płynie przez opornik znajdujący się na schemacie nad punktem A, część przez ten pod punktem A, a jeszcze inna część płynie przez opornik na lewo, po czym znowu rozdziela się w górę, w dół i na lewo i przez inne oporniki dopływa do punktu B, a dalej do baterii. Można spróbować rozwiązać to zadanie rozważając skończoną sieć oporni-ków, zwiększając stopniowo ich liczbę. Czyli najpierw rozważyć układ zawiera-jący jeden opornik (ten bezpośrednio pomiędzy A i B), następnie np. 7 opor-ników (tworzących siatkę o kształcie cyfry 8) położonych najbliżej podanych punktów itd. Po obliczeniu oporu zastępczego każdego takiego układu trzeba będzie przeanalizować otrzymane wyniki i sprawdzić, do jakiej liczby one zmie-rzają. Matematycy nazywają to granicą. Wymaga to jednak wykonania wielu żmudnych obliczeń, a i wynik końcowy może być niedokładny.Okazuje się, że jest inna metoda. Otóż, wyobraźmy sobie, że dodatni bie-gun baterii podłączamy do punktu A, a biegun ujemny podłączamy do rozważa-nej sieci, bardzo daleko od punktu A (w nieskończoności), na całym obwodzie nieskończonej siatki. Oczywiście, może trudno sobie to wyobrazić tak od razu, więc można rozważać bardzo dużą, ale skończoną sieć, i stopniowo ją powięk-szać, aż do nieskończoności. Zastanówmy się najpierw, jak rozpływa się prąd wpływający do węzła A. Układ ma symetrię obrotową o 90°, co oznacza, że jeśli obrócimy układ wokół punktu A o taki kąt, to otrzymamy ten sam układ. Wynika z tego, że przez każdy opornik połączony do punktu A płynie prąd o ta-kim samy natężeniu, czyli I/4, gdzie I oznacza natężenie prądu wpływającego do węzła A z baterii (rys. 3.).Rys. 3Rozważmy teraz inną sytuację: ujemny biegun baterii podłączamy do punk-tu B, a biegun dodatni do rozważanej sieci, bardzo daleko od punktu B (w nie-skończoności), na całym jej obwodzie. Powołując się na wspomnianą już sy-metrię układu, można stwierdzić, że przez każdy opornik połączony do punktu B płynie prąd o takim samym natężeniu, czyli I/4, gdzie I oznacza natężenie prądu wypływającego z węzła B w stronę baterii (rys. 4.).11Neutrino 44Rys. 4Teraz najważniejsze: wyobraźmy sobie złożenie tych dwóch sytuacji, czyli podłączamy dodatni biegun baterii do punktu A, a ujemny do punktu B. Do węzła A dopływa z baterii prąd o natężeniu I, i taki sam prąd „wraca” z punktu B do ba-terii. Z teorii obwodów elektrycznych zawierających tak zwane elementy liniowe, czyli np. oporniki, wynika, że w takim złożeniu sytuacji, natężenia prądów się dodają. W takim razie przez opornik znajdujący się pomiędzy punktami A i B pły-nie prąd o natężeniu I/4 + I/4 = I/2. Z prawa Ohma dla tego opornika wynika, że napięcie pomiędzy A i B wynosi U = R·I/2 = ½ RI. Z kolei opór zastępczy to R URIRz  21Czyli opór zastępczy obwodu mierzony pomiędzy punktami A i B stanowi połowę oporu pojedynczego odcinka przewodu. Mamy wynik!Wyjaśnienia wymaga jeszcze założenie, że zwarcie wszystkich węzłów na ob-wodzie nieskończonej siatki nie ma wpływu na poprawność rozwiązania zadania. Po pierwsze, węzłów na obwodzie siatki jest nieskończenie wiele i dlatego przez każdy z nich prąd już właściwie nie płynie (zarówno prąd z węzła A w pierwszej sytuacji, jak i prąd z węzła B w drugiej sytuacji, rozdzielają się na nieskończenie wiele węzłów/oporników). Po drugie, w obu sytuacjach przez sąsiednie oporniki znajdujące się na obwodzie (i węzły również) bardzo odległe od węzłów A i B płyną prądy o tych samych (znikomo małych) natężeniach, a więc w złożeniu obu rozważanych sytuacji prądy się znoszą. Tak więc natężenie prądu płynącego przez każdy opornik bardzo odległy od punktów A i B szybko spada do zera, gdy odległość od punktów A i B rośnie do nieskończoności.Zastosujmy poznaną metodę do rozwiązania prostszego problemu – jedno-wymiarowej wersji powyższego zadania.Zadanie 2Dany jest układ nieskończenie wielu połączonych szeregowo jed-nakowych oporników o oporze R każdy. Oblicz opór zastępczy układu pomiędzy punktami A i B.12 Neutrino 44Zadanie jest bardzo proste, a odpowiedź oczywista: Rz = R. O ile w wersji dwuwymia-rowej prąd płynący z węzła A w lewo mógł „skręcić” i dopłynąć do węzła B dookoła przez kilka oporników, to w tej sytuacji prąd z węzła A (załóżmy, że plus baterii podłączamy do A, a minus do B) płynie tylko w prawo przez jeden opornik do punktu B, a w lewo nie płynie.Chcemy jednak zastosować metodę z poprzedniego zadania. Rozważmy więc najpierw oddzielnie dwie sytuacje: 1) biegun dodatni baterii podłączamy do punktu A, a biegun ujemny po obu stronach układu, nieskończenie daleko od punktu A; 2) biegun ujemny baterii podłączamy do punktu B, a biegun dodatki po obu stronach układu, nieskończenie daleko od punktu B. Z uwagi na symetrię układu lewo-prawo, prąd dopływający z baterii do węzła A w pierwszej sytuacji rozpływa się po połowie, analogicznie prąd w węźle B w drugiej sytuacji.Następnie rozważmy złożenie tych dwóch sytuacji, czyli normalne podłą-czenie baterii do węzłów A i B. Wtedy przez opornik pomiędzy punktami A i B płynie prąd o natężeniu I/2 + I/2 = I.Z prawa Ohma dla tego opornika wynika, że napięcie pomiędzy A i B wynosi U = R·I. Z kolei opór zastępczy to R Rz   . Czyli opór zastępczy obwodu mierzony pomiędzy punktami A i B jest równy, jak oczekiwaliśmy, oporowi pojedynczego opornika. Warto również zauważyć, że przez pozostałe oporniki prąd nie płynie, bo w obu rozważanych sytuacjach płynące przez te oporniki prądy mają tę samą wartość, ale przeciwny zwrot. Zadanie nr 1 dla CzytelnikaDana jest nieskończona, przestrzenna (trójwymiarowa) sieć dru-ciana o oczkach kwadratowych. W każdym węźle przecinają się trzy wzajemnie prostopadłe nieskończone, prostoliniowe przewo-dy. Opór każdego prostoliniowego odcinka drutu łączącego dwa najbliższe węzły wynosi R. Oblicz opór zastępczy sieci w przypad-ku, gdybyśmy ją włączyli do obwodu w dwóch sąsiednich punktach sieci.Odpowiedź w tym numerze.13Neutrino 44Nietrywialnym problemem jest obliczenie oporu zastępczego pomiędzy wę-złami znajdującymi się od siebie w większej odległości. Zainteresowanych tym tematem odsyłamy do literatury, np. [1, 2]. Zadanie nr 2 dla Czytelnika (35. Olimpiada Fizyczna) Oblicz opór nieskończonej sieci oporów tworzących oczka w kształcie sześciokąta, raz gdybyśmy ją włączyli do obwodu w punktach A i B, a raz w punktach A i C (rys. 5). Opór każdego wyizolowanego z sieci odcinka przewodów między sąsiednimi węzłami wynosi R. Na rysunku przedstawio-no tylko fragment sieci.Rys. 5Literatura:[1] http://fizycznesciezki.pl/wp-content/uploads/2015/03/Przestrzenne-układy-oporników.pdf[2] https://www.mathpages.com/home/kmath668/kmath668.htmWitold Zawadzki