Pricing options using Monte Carlo method

Abstract

Rozwój matematyki finansowej przypada na 2 połowę XX wieku, chociaż jej podstawy zostały opracowane w 1900 roku przez Louisa Leclerca. Dziedzina ta dzieli się na dwa główne nurty: teoria funkcji pieniądza w czasie oraz teoria wyceny instrumentów pochodnych. Na przestrzeni lat opublikowanych zostało wiele modeli służących do wyceny takich kontraktów, jednak większość z nich nadaje się tylko do wyceny wąskiej grupy instrumentów pochodnych. Wśród nich wyróżnia się metoda Monte Carlo, której z powodzeniem można używać do wyceny niemal wszystkich derywatów. Jest to przykład metody niedeterministycznej, czyli korzystającej ze losowości. Do jej używania niezbędne są generatory liczb pseudolosowych, co powoduje, że metoda ta posiada kilka wad. Pierwszą z nich jest brak jednoznacznego wyniku, a jedynie jego przybliżenie. Kolejne, to niekiedy długi czas pracy symulacji lub duży błąd wyniku. Pomimo tego, metoda Monte Carlo jest bardzo popularna w wycenie opcji, nawet jeśli do dzisiaj nie udało się opracować pełnego dowodu jej skuteczności. Oprócz samej wyceny opcji metodą Monte Carlo, praca poświęcona jest także metodom minimalizacji błędu.Development of financial mathematics fall on the second half od 20th century, although its foundations have been developed in 1900 by Louis Leclerc. Financial mathematics is divided into two main trends: function of money and valuation of derivatives. Over the years many models of valuation derivaties were published, however, most of them are only suitable for valuing a narrow group of them. Among them, the Monte Carlo method stands out, which can be successfully used to value almost all derivatives. This is an example of a non-deterministic method, which means it use randomness. Monte Carlo method need pseudo-random number generators, which means this method has several disadvantages. First of all is lack of a clear result, it give us only approximation. The next ones are sometimes is needed a long simulation time and result can contain big error. Despite of that, the Monte Carlo method is very popular in option pricing, even if full proof of its effectiveness has not been developed to this day. The thesis includes not only the theory of option pricing, but also methods of minimizing the variance of the Monte Carlo method