Contributions à la stabilisation des systèmes à commutationaffine

Abstract

National audienceThis thesis deals with the stabilization of switched affine systems with a periodicsampled-data switching control. The particularities of this class of nonlinear systemsare first related to the fact that the control action is performed at the computationtimes by selecting the switching mode to be activated and, second, to the problem ofproviding an accurate characterization of the set where the solutions to the system convergeto, i.e. the attractors. The contributions reported in this thesis have as commonthread to reduce the conservatism made in the characterization of attractors, leadingto guarantee the stabilization of the system at a limit cycle.After a brief introduction presenting the context and some main results, the firstcontributive chapter introduced a new method based on a new class of control Lyapunovfunctions that provides a more accurate characterization of the invariant set for a closedloopsystem. The contribution presented as a non convex optimization problem andreferring to a Lyapunov-Metzler condition appears to be a preliminary result and themilestone of the forthcoming chapters.The second part deals with the stabilization of switched affine systems to limit cycles.After presenting some preliminaries on hybrid limit cycles and derived notions such ascycles in Chapter 3, stabilizing switching control laws are developed in Chapter 4. Acontrol Lyapunov approach and a min-switching strategy are used to guarantee thatthe solutions to a nominal closed-loop system converge to a limit cycle. The conditionsof the theorem are expressed in terms of simple linear matrix inequalities (LMI), whoseunderlying necessary conditions relax the usual one in this literature. This method isthen extended to the case of uncertain systems in Chapter 5, for which the notion of limitcycle needs to be adapted. Finally, the hybrid dynamical system framework is exploredin Chapter 6 and the attractors are no longer characterized by possibly disjoint regionsbut as continuous-time closed and isolated trajectory. All along the dissertation, thetheoretical results are evaluated on academic examples and demonstrate the potentialof the method over the recent literature on this subject.Cette thèse porte sur la stabilisation des systèmes `a commutation dont la commande,le signal de commutation, est echantillonnee de manière periodique. Les difficultésliées `a cette classe de systèmes non linéaires sont d’abord dues au fait que l’action decontrôle est effectuée aux instants de calcul en sélectionnant le mode de commutation `aactiver et, ensuite, au problème de fournir une caractérisation précise de l’ensemble verslequel convergent les solutions du système a réduction du conservatisme fait pendant ladéfinition d’attracteurs, ce qui a mené `a garantir la stabilisation du système `a un cyclelimite.Après une introduction générale o`u sont présentes le contexte et les principauxrésultats de la littérature, le premier chapitre contributif introduit une nouvelle méthodebasée sur une nouvelle classe de fonctions de Lyapunov contrôlées qui fournit une caractérisation plus précise des ensembles invariants pour les systèmes en boucle fermée.La contribution presentee comme un problème d’optimisation non convexe et faisantreference `a une condition de Lyapunov-Metzler apparaît comme un résultat préliminaireet une ´etape cl´e pour les chapitres `a suivre.La deuxième partie traite de la stabilisation des systèmes affines commutes versdes cycles limites. Après avoir présente quelques préliminaires sur les cycles limites hybrideset les notions derivees telles que les cycles au Chapitre 3, les lois de commutationstabilisantes sont introduites dans le Chapitre 4. Une approche par fonctions de Lyapunovcontrôlées et une stratégie de min-switching sont utilisées pour garantir que lessolutions du système nominal en boucle fermée convergent vers un cycle limite. Les conditionsdu théorème sont exprimées en termes d’Inegalites Matricielles Linéaires (dontl’abréviation anglaise est LMI) simples, dont les conditions nécessaires sous-jacentesrelâchent les conditions habituelles dans cette littérature. Cette méthode est étendueau cas des systèmes incertains dans le Chapitre 5, pour lesquels la notion de cycles limitesdoit être adaptée. Enfin, le cas des systèmes dynamiques hybrides est explore auChapitre 6 et les attracteurs ne sont plus caractérises par des régions éventuellement disjointesmais par des trajectoires fermées et isolées en temps continu. Tout au long de lathèse, les résultats théoriques sont évaluées sur des exemples académiques et démontrentle potentiel de la méthode par rapport `a la littérature récente sur le sujet