National audienceIbexOpt est un module de la bibliothèque logicielle Ibex [3] de résolution de systèmes de contraintes sur intervalles. Ce module traite les problèmes d'optimisation globale sous contraintes. Il permet de trouver le minimum global d'une fonction non convexe de n variables réelles définie sur une boîte (chaque variable prend ses valeurs dans un intervalle borné) et soumis à des contraintes également non linéaires. Il applique une méthode complète de recherche arborescente par séparation - évaluation (Branch & Bound) en meilleur d'abord

Araya, Ignacio

Chabert, Gilles

Neveu, Bertrand

Trombettoni, Gilles

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IbexOpt : un module d'optimisation globale sous contraintes fiable

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IbexOpt : un module d’optimisation globale souscontraintes fiableGilles Trombettoni, Ignacio Araya, Bertrand Neveu, Gilles ChabertTo cite this version:Gilles Trombettoni, Ignacio Araya, Bertrand Neveu, Gilles Chabert. IbexOpt : un moduled’optimisation globale sous contraintes fiable. 13e congre`s annuel de la Socie´te´ franc¸aise deRecherche Ope´rationnelle et d’Aide a` la De´cision, Apr 2012, Angers, France. 2p, 2012. <hal-00733916>HAL Id: hal-00733916https://hal-enpc.archives-ouvertes.fr/hal-00733916Submitted on 20 Sep 2012HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.IbexOpt : un module d’optimisation globale sous contraintesfiableGilles Trombettoni1,Ignacio Araya2, Bertrand Neveu3, Gilles Chabert41 INRIA, I3S, Université Nice-SophiaGilles.Trombettoni@inria.fr2 Universitad Tecnica Federico Santa Maria, Valparaiso, Chiliiaraya@inf.utfsm.cl3 Imagine LIGM Université Paris-EstBertrand.Neveu@enpc.fr4 LINA Ecole des Mines de NantesGilles.Chabert@emn.frMots-clés : optimisation globale, contraintes, intervalles1 IntroductionIbexOpt est un module de la bibliothèque logicielle Ibex [3] de résolution de systèmesde contraintes sur intervalles. Ce module traite les problèmes d’optimisation globale souscontraintes. Il permet de trouver le minimum global d’une fonction non convexe de n va-riables réelles déﬁnie sur une boîte (chaque variable prend ses valeurs dans un intervalle borné)et soumis à des contraintes également non linéaires. Il applique une méthode complète derecherche arborescente par séparation - évaluation (Branch & Bound) en meilleur d’abord.2 Composants d’IbexOptL’algorithme de B & B comprend des composants provenant d’une part de la programmationpar contraintes, et d’autre part de la programmation mathématique. A chaque bissection, lescontraintes sont propagées pour réduire la boîte courante et on recherche un minorant etun meilleur point faisable. L’algorithme termine quand on atteint la précision demandée surl’objectif. L’algorithme est ﬁable dans le sens que le point faisable trouvé satisfait les contraintesavec une tolérance donnée. On peut ainsi traiter des contraintes d’égalité. Les principaux pointsforts détaillés dans [2] sont les suivants :– une propagation de contraintes avec l’algorithme récent Mohc [1] exploitant la monotoniedes contraintes ;– l’obtention d’un minorant par linéarisation de l’objectif et des contraintes : nous utilisonsune linéarisation par applications de la formule de Taylor proposée par Lin et Stadtherr [5]sur un sommet de la boîte courante. Il s’avère que 2 linéarisations par contrainte en unsommet au hasard et un sommet opposé donnent les meilleurs résultats ;– la recherche d’un point faisable à l’aide de boîtes intérieures d’une part et d’une linéarisa-tion intérieure d’autre part qui forme un polytope intérieur représentant un ensemble depoints qui sont tous faisables ;– diﬀérentes stratégies de bissection sont disponibles : une variante de l’heuristique Smearfunction [4] donne généralement de bons résultats.3 ExpérimentationsUne version boîte noire de l’algorithme où tous les paramètres des diﬀérents composants ontété ﬁxés s’est révélée eﬃcace et robuste.Nous avons résolu 70 des 74 problèmes tests de la base Coconut sélectionnés dans [6] en moinsd’une heure de temps de calcul avec une précision de 10−8 et une tolérance des contraintes de10−8 aussi. La ﬁgure 1 montre les proﬁls de performance de IbexOpt, Baron [7] , systèmerapide mais non ﬁable et de notre meilleur concurrent ﬁable IBBA+ [6]. IbexOpt parvient àbattre Baron sur certaines instances de la classe ex6-2-* et sur l’instance ex7-2-3.FIG. 1 – Profils de performance. Pour un algorithme donné, un point (t, p) sur la courbe corres-pondante indique le pourcentage p de systèmes résolus en moins de t secondes.4 ConclusionIbexOpt est maintenant disponible en tant qu’extension de la bibliothèque Ibex. Il peutêtre utilisé aussi bien en tant que boîte à outils pour mettre au point de nouvelles stratégiesde ﬁltrage, linéarisations et bissections, qu’en tant que boîte noire avec la stratégie par défaututilisée dans les expérimentations.Références[1] I. Araya, G. Trombettoni, and B. Neveu. Exploiting Monotonicity in Interval ConstraintPropagation. In Proc. AAAI 2010 pages 9–14[2] I. Araya, G. Trombettoni, B. Neveu, and G. Chabert. Inner Regions and Interval Lineari-zations for Global Optimization proc. of AAAI 2011 pages 99-104[3] G. Chabert and L. Jaulin. Contractor Programming Artiﬁcial Intelligence, 173 :1079–1100,2009.[4] R.B. Kearfott and M. Novoa III. INTBIS, a portable interval Newton/Bisection package.ACM Trans. on Mathematical Software 16(2) :152–157, 1990[5] Y Lin, and M. Stadtherr. LP Strategy for the Interval-Newton Method in DeterministicGlobal Optimization Industrial Engineering Chemistry Research vol 43 n 14 pages 3741-3749, 2004[6] J. Ninin, F. Messine, and P. Hansen. A Reliable Aﬃne Relaxation Method for GlobalOptimization Mathematical Programming accepté pour publication[7] M. Tawarmalani and N. V. Sahinidis. A Polyhedral Branch-and-Cut Approach to GlobalOptimization Mathematical Programming 103(2) :225–249, 2005.

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IbexOpt : un module d’optimisation globale sous
contraintes fiable
Gilles Trombettoni, Ignacio Araya, Bertrand Neveu, Gilles Chabert
To cite this version:
Gilles Trombettoni, Ignacio Araya, Bertrand Neveu, Gilles Chabert. IbexOpt : un module
d’optimisation globale sous contraintes fiable. 13e congre`s annuel de la Socie´te´ franc¸aise de
Recherche Ope´rationnelle et d’Aide a` la De´cision, Apr 2012, Angers, France. 2p, 2012. <hal-
00733916>
HAL Id: hal-00733916
https://hal-enpc.archives-ouvertes.fr/hal-00733916
Submitted on 20 Sep 2012
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entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
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abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,
e´manant des e´tablissements d’enseignement et de
recherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoires
publics ou prive´s.
IbexOpt : un module d’optimisation globale sous contraintes
fiable
Gilles Trombettoni1,Ignacio Araya2, Bertrand Neveu3, Gilles Chabert4
1 INRIA, I3S, Université Nice-Sophia
Gilles.Trombettoni@inria.fr
2 Universitad Tecnica Federico Santa Maria, Valparaiso, Chili
iaraya@inf.utfsm.cl
3 Imagine LIGM Université Paris-Est
Bertrand.Neveu@enpc.fr
4 LINA Ecole des Mines de Nantes
Gilles.Chabert@emn.fr
Mots-clés : optimisation globale, contraintes, intervalles
1 Introduction
IbexOpt est un module de la bibliothèque logicielle Ibex [3] de résolution de systèmes
de contraintes sur intervalles. Ce module traite les problèmes d’optimisation globale sous
contraintes. Il permet de trouver le minimum global d’une fonction non convexe de n va-
riables réelles déﬁnie sur une boîte (chaque variable prend ses valeurs dans un intervalle borné)
et soumis à des contraintes également non linéaires. Il applique une méthode complète de
recherche arborescente par séparation - évaluation (Branch & Bound) en meilleur d’abord.
2 Composants d’IbexOpt
L’algorithme de B & B comprend des composants provenant d’une part de la programmation
par contraintes, et d’autre part de la programmation mathématique. A chaque bissection, les
contraintes sont propagées pour réduire la boîte courante et on recherche un minorant et
un meilleur point faisable. L’algorithme termine quand on atteint la précision demandée sur
l’objectif. L’algorithme est ﬁable dans le sens que le point faisable trouvé satisfait les contraintes
avec une tolérance donnée. On peut ainsi traiter des contraintes d’égalité. Les principaux points
forts détaillés dans [2] sont les suivants :
– une propagation de contraintes avec l’algorithme récent Mohc [1] exploitant la monotonie
des contraintes ;
– l’obtention d’un minorant par linéarisation de l’objectif et des contraintes : nous utilisons
une linéarisation par applications de la formule de Taylor proposée par Lin et Stadtherr [5]
sur un sommet de la boîte courante. Il s’avère que 2 linéarisations par contrainte en un
sommet au hasard et un sommet opposé donnent les meilleurs résultats ;
– la recherche d’un point faisable à l’aide de boîtes intérieures d’une part et d’une linéarisa-
tion intérieure d’autre part qui forme un polytope intérieur représentant un ensemble de
points qui sont tous faisables ;
– diﬀérentes stratégies de bissection sont disponibles : une variante de l’heuristique Smear
function [4] donne généralement de bons résultats.
3 Expérimentations
Une version boîte noire de l’algorithme où tous les paramètres des diﬀérents composants ont
été ﬁxés s’est révélée eﬃcace et robuste.
Nous avons résolu 70 des 74 problèmes tests de la base Coconut sélectionnés dans [6] en moins
d’une heure de temps de calcul avec une précision de 10−8 et une tolérance des contraintes de
10−8 aussi. La ﬁgure 1 montre les proﬁls de performance de IbexOpt, Baron [7] , système
rapide mais non ﬁable et de notre meilleur concurrent ﬁable IBBA+ [6]. IbexOpt parvient à
battre Baron sur certaines instances de la classe ex6-2-* et sur l’instance ex7-2-3.
FIG. 1 – Profils de performance. Pour un algorithme donné, un point (t, p) sur la courbe corres-
pondante indique le pourcentage p de systèmes résolus en moins de t secondes.
4 Conclusion
IbexOpt est maintenant disponible en tant qu’extension de la bibliothèque Ibex. Il peut
être utilisé aussi bien en tant que boîte à outils pour mettre au point de nouvelles stratégies
de ﬁltrage, linéarisations et bissections, qu’en tant que boîte noire avec la stratégie par défaut
utilisée dans les expérimentations.
Références
[1] I. Araya, G. Trombettoni, and B. Neveu. Exploiting Monotonicity in Interval Constraint
Propagation. In Proc. AAAI 2010 pages 9–14
[2] I. Araya, G. Trombettoni, B. Neveu, and G. Chabert. Inner Regions and Interval Lineari-
zations for Global Optimization proc. of AAAI 2011 pages 99-104
[3] G. Chabert and L. Jaulin. Contractor Programming Artiﬁcial Intelligence, 173 :1079–1100,
2009.
[4] R.B. Kearfott and M. Novoa III. INTBIS, a portable interval Newton/Bisection package.
ACM Trans. on Mathematical Software 16(2) :152–157, 1990
[5] Y Lin, and M. Stadtherr. LP Strategy for the Interval-Newton Method in Deterministic
Global Optimization Industrial Engineering Chemistry Research vol 43 n 14 pages 3741-
3749, 2004
[6] J. Ninin, F. Messine, and P. Hansen. A Reliable Aﬃne Relaxation Method for Global
Optimization Mathematical Programming accepté pour publication
[7] M. Tawarmalani and N. V. Sahinidis. A Polyhedral Branch-and-Cut Approach to Global
Optimization Mathematical Programming 103(2) :225–249, 2005.


Scientific Publications of the University of Toulouse II Le Mirail

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IbexOpt : un module d'optimisation globale sous contraintes fiable

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