National audienceLe concept de radar altimétrique SAR/Doppler est apparu au milieu des années 90. Cette technologie permet de réduire le bruit de mesure (par augmentation du nombre d’observations) et d’augmenter la résolution le long de la trace (along-track) en utilisant l’information contenue dans la fréquence Doppler. Cet article propose un nouveau modèle semi-analytique, basé sur une approche géométrique, pour modéliser les échos SAR/Doppler. Ce modèle est validé à l’aide de données synthétiques puis à l’aide de données réelles issues du satellite Cryosat-2. Les résultats obtenus sont très prometteurs et montrent le bon fonctionnement du modèle proposé

Boy, François

Halimi, Abderrahim

Mailhes, Corinne

Moreau, Thomas

Tourneret, Jean-Yves

Scientific Publications of the University of Toulouse II Le Mirail

Mode`le semi-analytique pour l’altime´trie SAR/Dopplersur oce´anAbderrahim Halimi, Corinne Mailhes, Jean-Yves Tourneret, Franc¸ois Boy,Thomas MoreauTo cite this version:Abderrahim Halimi, Corinne Mailhes, Jean-Yves Tourneret, Franc¸ois Boy, Thomas Moreau.Mode`le semi-analytique pour l’altime´trie SAR/Doppler sur oce´an. 24e`me Colloque Groupe deRecherche et d’Etudes du Traitement du Signal et des Images (GRETSI 2013), Sep 2013, Brest,France. pp.1-5, 2013. <hal-01193098>HAL Id: hal-01193098https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01193098Submitted on 4 Sep 2015HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine´e au de´poˆt et a` la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publie´s ou non,e´manant des e´tablissements d’enseignement et derecherche franc¸ais ou e´trangers, des laboratoirespublics ou prive´s.     Open Archive TOULOUSE Archive Ouverte (OATAO)  OATAO is an open access repository that collects the work of Toulouse researchers and makes it freely available over the web where possible.  This is an author-deposited version published in : http://oatao.univ-toulouse.fr/ Eprints ID : 12946  The contribution was presented at GRETSI 2013 : http://gretsi.fr/colloque2013/  To cite this version : Halimi, Abderrahim and Mailhes, Corinne and Tourneret, Jean-Yves and Boy, François and Moreau, Thomas Modèle semi-analytique pour l'altimétrie SAR/Doppler sur océan. (2013) In: 24ème Colloque Groupe de Recherche et d'Etudes du Traitement du Signal et des Images (GRETSI 2013), 3 September 2013 - 6 September 2013 (Brest, France). Any correspondance concerning this service should be sent to the repository administrator: staff-oatao@listes-diff.inp-toulouse.fr Modèle semi-analytique pour l’altimétrie SAR/Doppler sur océanAbderrahim HALIMI1, Corinne MAILHES1, Jean-Yves TOURNERET1, Francois BOY2, Thomas MOREAU3,1University of Toulouse, IRIT-ENSEEIHT-TéSA, Toulouse, France2Centre National d’Études Spatiales (CNES), Toulouse, France3Collecte Localisation Satellite (CLS), Toulouse, Franceabderrahim.halimi@enseeiht.fr, corinne.mailhes@enseeiht.frjean-yves.tourneret@enseeiht.fr, Francois.Boy@cnes.fr, tmoreau@cls.frRésumé – Le concept de radar altimétrique SAR/Doppler est apparu au milieu des années 90. Cette technologie permet de réduire le bruitde mesure (par augmentation du nombre d’observations) et d’augmenter la résolution le long de la trace (along-track) en utilisant l’informationcontenue dans la fréquence Doppler. Cet article propose un nouveau modèle semi-analytique, basé sur une approche géométrique, pour modéliserles échos SAR/Doppler. Ce modèle est validé à l’aide de données synthétiques puis à l’aide de données réelles issues du satellite Cryosat-2. Lesrésultats obtenus sont très prometteurs et montrent le bon fonctionnement du modèle proposé.Abstract – The concept of delay/Doppler radar altimeter has been under study since the mid 90’s, aiming at reducing the measurement noise(by increasing the number of observations) and increasing the along-track resolution (by using the information of the Doppler frequency) incomparison with the conventional pulse limited altimeters. This paper introduces a semi-analytical model for delay/Doppler altimetry. Theperformance of the proposed model and the resulting estimation strategy are evaluated via simulations conducted on synthetic and real data. Acomparison between conventional altimetry and delay/Doppler altimetry provides very promising results in favor of the proposed model.1 IntroductionL’altimétrie spatiale, apparue dans les années 1970, s’est ra-pidement imposée comme un outil d’observation de la terre,en particulier pour l’étude et l’observation de la surface océa-nique. En altimétrie conventionnelle, l’altimètre reçoit un échoretour (appelé aussi “forme d’onde”) dont les caractéristiquesreflètent l’état de la mer. Cet écho altimétrique s’écrit commela double convolution entre trois termes qui sont la réponse im-pulsionnelle d’une mer (RIM) plate, la densité de probabilitéde la hauteur des points de dispersion (DP) et la réponse impul-sionnelle du radar (RIR) [1]. Plusieurs études ont été réaliséessur la modélisation de cet écho afin d’améliorer la qualité desparamètres altimétriques estimés. La nouvelle génération d’al-timètres SAR/Doppler s’inscrit dans cette logique d’améliora-tion des mesures altimétriques et a deux objectifs : le premierest la réduction du bruit affectant les mesures par augmentationdu nombre d’observations. Le deuxième objectif est d’augmen-ter la résolution le long de la trace en utilisant l’informationcontenue dans la fréquence Doppler.Contrairement aux altimètres conventionnels qui envoient desimpulsions radar de manière continue et à intervalles suffisam-ment longs pour éviter la corrélation de leurs échos, un al-timètre SAR/Doppler repose sur l’émission d’impulsions parpaquets successifs (bursts) (voir Fig. 1). Le décalage dans letemps entre impulsions d’un même paquet est choisi suffisam-ment court pour introduire une corrélation entre les échos re-tour et pour les traiter par groupe, de façon cohérente, sur unprincipe similaire à la technique SAR des imageurs. L’altimètreSAR/Doppler permet donc d’accumuler plus de vues par pointde mesure, diminuant le bruit de scintillement (speckle) et desurcroit le niveau de bruit des paramètres géophysiques. Ceconcept utilise, par ailleurs, l’information Doppler 1 le long dela trace pour améliorer la résolution azimutale de l’altimètre[2]. Un intérêt immédiat de cette augmentation de résolutionest d’avoir des échos côtiers valides jusqu’à une distance de300 mètres de la côte alors que la distance minimale est del’ordre de 10 km en altimétrie conventionnelle. Le premier al-timètre SAR/Doppler a été placé en orbite en 2010 (Cryosat-2)et il sera suivi par d’autres missions futures telles que Sentinel-3. Plusieurs études préalables ont été faites sur la modélisationet l’estimation des paramètres de ces nouvelles formes d’onde,mais à ce jour, aucun modèle analytique équivalent à celui exis-tant en altimétrie conventionnelle [1] n’a été proposé. Ce papierpropose et valide un modèle semi-analytique pour les échosSAR/Doppler. Des simulations effectuées sur signaux synthé-tiques et réels permettent d’apprécier les performances du mo-dèle proposé et de la méthode d’estimation associée. Une com-paraison avec les résultats de l’altimétrie conventionnelle meten évidence l’intérêt de l’altimétrie SAR/Doppler.1. Le nombre des fréquences Doppler obtenues est lié au nombre d’impul-sions corrélées émises. Dans le cas de l’altimètre de Cryosat-2, 64 impulsionsradar sont émises dans chaque paquet ce qui donne 64 bandes Doppler (voirFig. 1).FIGURE 1 – Configuration de l’altimètre SAR/Doppler etconstruction de la carte distance/Doppler.2 Altimétrie conventionnelleL’écho altimétrique conventionnel s’exprime à l’aide d’unedouble convolution comme suit [1]sc(t) = DP(t) ∗ RIRT (t) ∗ RIM(t) (1)oùDP(t) = 1√2πσsexp(−t22σ2s)RIRT (t) =∣∣∣∣ sin (π tT )π tT∣∣∣∣2 (2)avec σs = SWH2c et où c est la vitesse de la lumière, SWH est lahauteur moyenne des vagues et T est la période d’échantillon-nage. La RIM est obtenue par la somme de l’énergie réfléchiepar la surface observée, i.e., par l’intégrale suivante [1]RIM(t) =λ2(4π)3Lp∫R+×[0,2π[δ(t− 2rc)G2(ρ, φ)σ0r4ρdρdφ(3)où ρ, φ sont le rayon et l’angle des coordonnées polaires, λest la longueur d’onde, Lp est un coefficient de perte, G estle gain de l’antenne du radar, δ est l’impulsion de Dirac trans-mise, σ0 est le coefficient de réflectivité de la surface (supposéconstant dans la suite de l’article 2) et r =√ρ2 + h2 est la dis-tance entre le satellite et la surface observée avec h la hauteurdu satellite (voir Fig. 2). L’intégrale en fonction de ρ permetde lier ce paramètre au temps par la présence de la fonctionde Dirac. Ainsi, chaque instant temporel sera lié à un rayon depropagation ρ(t) et la RIM à un instant t0 sera donnée en som-mant l’énergie contenue dans le cercle de rayon ρ(t0), i.e., enintégrant φ entre [0, 2π] (voir Fig. 3). Après calculs, en faisantl’hypothèse d’une antenne non dépointée, on obtient la formulesuivante pour la RIM [1]RIM(t) = Pu exp[−4cγh(t−2hc)]U(t−2hc)(4)où Pu est l’amplitude de l’écho, γ est un paramètre lié à l’an-tenne et U(.) représente la fonction de Heaviside. L’échan-tillonnage de l’écho altimétrique sc(t) se fait avec t = tk =2. Ce coefficient peut varier dans la scène observée [3] mais sera considéréconstant pour simplifier l’étude.FIGURE 2 – Géométrie du radar pour une surface plate.FIGURE 3 – Cercles de propagation et bandes Doppler. L’inté-gration se fait sur tout le cercle en altimétrie conventionnelle.En altimétrie SAR/Doppler, l’intégration se fait à l’intersectionde chacune des bandes Doppler avec les cercles iso-distance.2hc+ kT − τ , pour k = 1, · · · ,K, où τ correspond à l’abs-cisse du point de puissance moitié de l’écho et K = 104 estle nombre d’échantillons ou portes 3. L’écho altimétrique sc(t)s’obtient alors par calcul de la double convolution (1) et s’ex-prime en fonction du vecteur θ = (SWH, τ, Pu)T constitué desparamètres permettant de caractériser l’état de la mer que l’oncherche à estimer à partir des échos mesurés.3 Modèle SAR/Doppler proposéL’altimétrie SAR/Doppler prend en compte une dimensionsupplémentaire constituée par la fréquence Doppler par rap-port à l’altimétrie conventionnelle. Ainsi, les échos associés àl’altimétrie SAR/Doppler s’expriment en fonction du temps etde la fréquence Doppler et s’écriventP (t, f) = DP(t) ∗ RIR(t, f) ∗ RIM(t, f) (5)avecRIR(t, f) = RIRT (t)RIRF (f), RIRF (f) =∣∣∣∣∣∣sin(π fF)π fF∣∣∣∣∣∣2(6)3. Une porte correspond à un intervalle temporel de largeur T , relié à larésolution spatiale qui est de cT/2 = 46 cm.où F est la résolution Doppler. Comme expliqué précédem-ment, l’altimétrie SAR/Doppler utilise l’information contenuedans les fréquences Doppler pour augmenter la résolution lelong de la trace [2]. Dans ce cas, l’intégration de l’énergie nese fait plus sur des cercles comme dans le cas conventionnel(φ ∈ [0, 2π]) mais plutôt sur des bandes rectangulaires liéesaux fréquences Doppler [4] (voir Fig. 3). Après calculs, la RIMrésultante s’écritRIM(t, n) =Puπ(2htc)3exp{−4γ[1−(2htc)2]}×(φt,n+1 − φt,n)U(t−2hc), (7)pour n = 1, · · · , 64M , M étant le coefficient de sur- échan-tillonnage fréquentiel et oùφt,n = Re[arctan(yn√ρ2(t)− y2n)](8)avec ρ =√(tc2)2− h2, yn = hλ2vs fn est l’ordonnée de la nièmebande Doppler, fn = [n− (32M + 0.5)] FM est la nième va-leur de la fréquence Doppler, vs est la vitesse du satellite etRe(x) est la partie réelle de x. La double convolution (5) estensuite calculée numériquement pour obtenir le modèle semi-analytique proposé de P (t, f) qui dépend du même vecteur pa-ramètre θ que dans le cas de l’altimétrie conventionnelle.3.1 Echo SAR/DopplerLe signal résultant de la formule (5) est composé de deux di-mensions, le temps (ou distance) et la fréquence. Ce signal ap-pelé carte distance/Doppler (delay/Doppler map) présente uneallure elliptique (voir Fig. 1) qu’il faut corriger par une “mi-gration en distance” qui consiste à ramener le début des contri-butions des bandes Doppler à la même porte temporelle (voir[2, 5] pour plus de détails). L’écho SAR/Doppler est alors ob-tenu en sommant les signaux des bandes Doppler migrés endistance. Ces traitements sont décrits par l’expression sd(t) =∑64n=1 P (t− δtn, fn), où δtn est la migration des distancesexprimée en secondes. La figure 4 montre deux échos, conven-tionnel et SAR/Doppler, obtenus pour les mêmes paramètresaltimétriques. L’écho SAR/Doppler est plus étroit du fait del’application de la migration en distance.4 Estimation paramétriqueLes échos altimétriques sont affectés d’un bruit multiplicatifde scintillement (speckle). Dans le cas de l’altimétrie conven-tionnelle, ce bruit est réduit par moyennage de Lc = 100 échosdécorrélés successifs. Dans le cas de l’altimétrie SAR/Doppler,la carte distance/Doppler est moyennée par Ld ≃ 4 pour ré-duire le bruit. L’écho SAR/Doppler est ensuite obtenu en som-mant les 64 bandes Doppler de cette carte. Les échos observés(conventionnels ou SAR/Doppler) sont donc obtenus après unmoyennage d’un grand nombre de signaux et le bruit les affec-tant peut être considéré comme étant Gaussien.FIGURE 4 – Echos SAR/Doppler et conventionnel pour lesmêmes paramètres altimétriques (Pu = 1, τ = 31 portes etSWH = 2 m).Ce papier propose d’estimer les paramètres altimétriques parla méthode des moindres carrés. Le critère à minimiser s’écritC = argminθ12∑Kk=1 g2k(θ), où gk(θ) = yk − sk(θ) est lekième résidu, y = (y1, · · · , yK)T est l’écho observé bruité ets = (s1, · · · , sK)T est l’écho théorique (sc ou sd) qui dé-pend du vecteur θ. L’obtention d’une expression analytique deθˆ est impossible du fait de la complexité de C, d’où la nécessitéde l’utilisation d’une technique d’optimisation numérique pourdéterminer l’estimateur des moindres carrés. On propose danscet article de résoudre ce problème à l’aide de l’algorithme deLevenberg-Marquardt [6].5 RésultatsCette section introduit les critères utilisés pour évaluer laqualité de l’estimation des paramètres altimétriques. Pour deséchos synthétiques, où les paramètres réels sont connus, la ra-cine de l’erreur quadratique moyenne (REQM) peut être utili-sée pour évaluer la qualité de l’estimation. Ce critère est donnépar REQM (θi) =√1n∑nℓ=1[θi − θˆi(ℓ)]2, où θi et θˆi(ℓ) sontles paramètres réel et estimé du ℓème écho et n est le nombred’échos synthétiques générés avec le même vecteur paramètreθ = (θ1, θ2, θ3)T et différentes réalisations du bruit. L’écart-type de l’estimateur donné par STD (θi) =√1n∑nℓ=1[θˆi(ℓ)− θi]2avec θi = 1n∑nj=1 θˆi(j) peut aussi être utilisé pour évaluer lesperformances de l’estimation d’échos réels (échos convention-nels ou SAR/Doppler).5.1 Echos synthétiquesCette section s’intéresse à l’estimation des paramètres deséchos altimétriques synthétiques associés à l’altimétrie conven-tionnelle et l’altimétrie SAR/Doppler. Ces échos ont été géné-rés avec les paramètres Pu = 1, τ = 31 portes et SWH variantdans l’intervalle [1, 8] mètres. La figure 5 montre les REQMsdes paramètres altimétriques en fonction de SWH. Les REQMsdes paramètres SWH et τ sont nettement meilleures dans le casde l’altimétrie SAR/Doppler sauf pour l’estimation de SWHdans le cas de faibles hauteurs de vagues. L’amplitude Pu estmieux estimée par l’altimétrie conventionnelle car l’écho estplus large ce qui réduit la sensibilité de l’amplitude au bruit.À noter aussi que REQM (SWH) croît en fonction de SWHen altimétrie conventionnelle alors qu’elle présente un niveauquasiment constant dans le cas SAR/Doppler.FIGURE 5 – REQMs des paramètres en fonction de SWH avecPu = 1 et τ = 31 portes pour des échos conventionnels etSAR/Doppler.5.2 Echos RéelsOn s’intéresse dans cette section à l’estimation des para-mètres d’échos réels obtenus par le satellite Cryosat-2. Leséchos traités ont été obtenus durant le mois d’août 2011 etnous ont été fournis par le centre national d’études spatiales(CNES) [7]. La figure 6 montre la superposition d’un écho réelCryosat-2 et du modèle (5) reconstruit à partir des paramètresestimés sur l’écho par le modèle proposé dans cet article. Cetexemple permet de visualiser la bonne adéquation du modèleproposé (et de la méthode d’estimation des paramètres) avecles formes d’onde réelles. En effet, on observe une différencemaximale de l’ordre de 6% entre les deux échos ce qui est engrande partie due au bruit affectant l’écho observé. La figureFIGURE 6 – Exemple d’un écho Cryosat-2 et de son estimé parle modèle proposé.7 montre la variation des écart-types de SWH et τ en fonctionde SWH. Ces erreurs ont la même forme que dans le cas del’étude synthétique et sont meilleures dans le cas de l’altimé-trie SAR/Doppler.FIGURE 7 – Ecart-types en fonction de SWH des paramètresSWH et τ pour l’altimétrie conventionnelle et SAR/Doppler.6 ConclusionsCe papier a introduit un nouveau modèle pour l’altimétrieSAR/Doppler. Le modèle proposé est basé sur une approchegéométrique pour le calcul de la réponse impulsionnelle d’unemer plate. La formule analytique obtenue est ensuite convo-luée numériquement avec la densité de probabilité de la hauteurdes points de dispersion et la réponse impulsionnelle du radar.L’estimation des paramètres altimétriques est effectuée à l’aidede la méthode des moindres carrés en utilisant l’algorithmede Levenberg-Marquardt. Les simulations effectuées à l’aided’échos synthétiques ont montré une amélioration de la qualitédes paramètres estimés par rapport à l’altimétrie convention-nelle. Cette amélioration a été confirmée par l’analyse d’échosréels issus du satellite Cryosat-2. Nos travaux futurs s’intéres-seront à la généralisation du modèle SAR/Doppler en considé-rant de nouveaux paramètres tel que le dépointage de l’antenne.Références[1] G. Brown, “The average impulse response of a rough surface andits applications,” IEEE Trans. Antennas and Propagation, vol. 25,no. 1, pp. 67–74, jan 1977.[2] R. K. Raney, “The delay/Doppler radar altimeter,” IEEE Trans.Geosci. and Remote Sensing, vol. 36, no. 5, pp. 1578–1588, sep1998.[3] J. Tournadre, B. Chapron, and N. Reul, “High-resolution imagingof the ocean surface backscatter by inversion of altimeter wave-forms,” Journal of Atmospheric and Oceanic Technology, vol. 28,no. 8, pp. 1050–1062, aug 2011.[4] A. Halimi, C. Mailhes, J.-Y. Tourneret, P. Thibaut, and F. Boy, “Asemi-analytical model for delay/Doppler altimetry and its estima-tion algorithm,” 2012, submitted.[5] D. Wingham, L. Phalippou, C. Mavrocordatos, and D. Wallis,“The mean echo and echo cross product from a beamforming in-terferometric altimeter and their application to elevation measure-ment,” IEEE Trans. Geosci. and Remote Sensing, vol. 42, no. 10,pp. 2305 – 2323, oct. 2004.[6] D. P. Bertsekas, Nonlinear programming. Belmont, Massachu-setts : Athena Scientific, 1995.[7] F. Boy, J.-D. Desjonqueres, and N. Picot, “Cryosat LRM, TRKand SAR processing,” in Ocean Surface Topography ScienceTeam Meeting, San Diego, California, October 2011.

Modèle semi-analytique pour l'altimétrie SAR/Doppler sur océan

Le concept de radar altimétrique SAR/Doppler est apparu au milieu des années 90. Cette technologie permet de réduire le bruit de mesure (par augmentation du nombre d’observations) et d’augmenter la résolution le long de la trace (along-track) en utilisant l’information contenue dans la fréquence Doppler. Cet article propose un nouveau modèle semi-analytique, basé sur une approche géométrique, pour modéliser les échos SAR/Doppler. Ce modèle est validé à l’aide de données synthétiques puis à l’aide de données réelles issues du satellite Cryosat-2. Les résultats obtenus sont très prometteurs et montrent le bon fonctionnement du modèle proposé

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     Open Archive TOULOUSE Archive Ouverte (OATAO)  OATAO is an open access repository that collects the work of Toulouse researchers and makes it freely available over the web where possible.  This is an author-deposited version published in : http://oatao.univ-toulouse.fr/ Eprints ID : 12946  The contribution was presented at GRETSI 2013 : http://gretsi.fr/colloque2013/  To cite this version : Halimi, Abderrahim and Mailhes, Corinne and Tourneret, Jean-Yves and Boy, François and Moreau, Thomas Modèle semi-analytique pour l'altimétrie SAR/Doppler sur océan. (2013) In: 24ème Colloque Groupe de Recherche et d'Etudes du Traitement du Signal et des Images (GRETSI 2013), 3 September 2013 - 6 September 2013 (Brest, France). Any correspondance concerning this service should be sent to the repository administrator: staff-oatao@listes-diff.inp-toulouse.fr Modèle semi-analytique pour l’altimétrie SAR/Doppler sur océanAbderrahim HALIMI1, Corinne MAILHES1, Jean-Yves TOURNERET1, Francois BOY2, Thomas MOREAU3,1University of Toulouse, IRIT-ENSEEIHT-TéSA, Toulouse, France2Centre National d’Études Spatiales (CNES), Toulouse, France3Collecte Localisation Satellite (CLS), Toulouse, Franceabderrahim.halimi@enseeiht.fr, corinne.mailhes@enseeiht.frjean-yves.tourneret@enseeiht.fr, Francois.Boy@cnes.fr, tmoreau@cls.frRésumé – Le concept de radar altimétrique SAR/Doppler est apparu au milieu des années 90. Cette technologie permet de réduire le bruitde mesure (par augmentation du nombre d’observations) et d’augmenter la résolution le long de la trace (along-track) en utilisant l’informationcontenue dans la fréquence Doppler. Cet article propose un nouveau modèle semi-analytique, basé sur une approche géométrique, pour modéliserles échos SAR/Doppler. Ce modèle est validé à l’aide de données synthétiques puis à l’aide de données réelles issues du satellite Cryosat-2. Lesrésultats obtenus sont très prometteurs et montrent le bon fonctionnement du modèle proposé.Abstract – The concept of delay/Doppler radar altimeter has been under study since the mid 90’s, aiming at reducing the measurement noise(by increasing the number of observations) and increasing the along-track resolution (by using the information of the Doppler frequency) incomparison with the conventional pulse limited altimeters. This paper introduces a semi-analytical model for delay/Doppler altimetry. Theperformance of the proposed model and the resulting estimation strategy are evaluated via simulations conducted on synthetic and real data. Acomparison between conventional altimetry and delay/Doppler altimetry provides very promising results in favor of the proposed model.1 IntroductionL’altimétrie spatiale, apparue dans les années 1970, s’est ra-pidement imposée comme un outil d’observation de la terre,en particulier pour l’étude et l’observation de la surface océa-nique. En altimétrie conventionnelle, l’altimètre reçoit un échoretour (appelé aussi “forme d’onde”) dont les caractéristiquesreflètent l’état de la mer. Cet écho altimétrique s’écrit commela double convolution entre trois termes qui sont la réponse im-pulsionnelle d’une mer (RIM) plate, la densité de probabilitéde la hauteur des points de dispersion (DP) et la réponse impul-sionnelle du radar (RIR) [1]. Plusieurs études ont été réaliséessur la modélisation de cet écho afin d’améliorer la qualité desparamètres altimétriques estimés. La nouvelle génération d’al-timètres SAR/Doppler s’inscrit dans cette logique d’améliora-tion des mesures altimétriques et a deux objectifs : le premierest la réduction du bruit affectant les mesures par augmentationdu nombre d’observations. Le deuxième objectif est d’augmen-ter la résolution le long de la trace en utilisant l’informationcontenue dans la fréquence Doppler.Contrairement aux altimètres conventionnels qui envoient desimpulsions radar de manière continue et à intervalles suffisam-ment longs pour éviter la corrélation de leurs échos, un al-timètre SAR/Doppler repose sur l’émission d’impulsions parpaquets successifs (bursts) (voir Fig. 1). Le décalage dans letemps entre impulsions d’un même paquet est choisi suffisam-ment court pour introduire une corrélation entre les échos re-tour et pour les traiter par groupe, de façon cohérente, sur unprincipe similaire à la technique SAR des imageurs. L’altimètreSAR/Doppler permet donc d’accumuler plus de vues par pointde mesure, diminuant le bruit de scintillement (speckle) et desurcroit le niveau de bruit des paramètres géophysiques. Ceconcept utilise, par ailleurs, l’information Doppler 1 le long dela trace pour améliorer la résolution azimutale de l’altimètre[2]. Un intérêt immédiat de cette augmentation de résolutionest d’avoir des échos côtiers valides jusqu’à une distance de300 mètres de la côte alors que la distance minimale est del’ordre de 10 km en altimétrie conventionnelle. Le premier al-timètre SAR/Doppler a été placé en orbite en 2010 (Cryosat-2)et il sera suivi par d’autres missions futures telles que Sentinel-3. Plusieurs études préalables ont été faites sur la modélisationet l’estimation des paramètres de ces nouvelles formes d’onde,mais à ce jour, aucun modèle analytique équivalent à celui exis-tant en altimétrie conventionnelle [1] n’a été proposé. Ce papierpropose et valide un modèle semi-analytique pour les échosSAR/Doppler. Des simulations effectuées sur signaux synthé-tiques et réels permettent d’apprécier les performances du mo-dèle proposé et de la méthode d’estimation associée. Une com-paraison avec les résultats de l’altimétrie conventionnelle meten évidence l’intérêt de l’altimétrie SAR/Doppler.1. Le nombre des fréquences Doppler obtenues est lié au nombre d’impul-sions corrélées émises. Dans le cas de l’altimètre de Cryosat-2, 64 impulsionsradar sont émises dans chaque paquet ce qui donne 64 bandes Doppler (voirFig. 1).FIGURE 1 – Configuration de l’altimètre SAR/Doppler etconstruction de la carte distance/Doppler.2 Altimétrie conventionnelleL’écho altimétrique conventionnel s’exprime à l’aide d’unedouble convolution comme suit [1]sc(t) = DP(t) ∗ RIRT (t) ∗ RIM(t) (1)oùDP(t) = 1√2πσsexp(−t22σ2s)RIRT (t) =∣∣∣∣ sin (π tT )π tT∣∣∣∣2 (2)avec σs = SWH2c et où c est la vitesse de la lumière, SWH est lahauteur moyenne des vagues et T est la période d’échantillon-nage. La RIM est obtenue par la somme de l’énergie réfléchiepar la surface observée, i.e., par l’intégrale suivante [1]RIM(t) =λ2(4π)3Lp∫R+×[0,2π[δ(t− 2rc)G2(ρ, φ)σ0r4ρdρdφ(3)où ρ, φ sont le rayon et l’angle des coordonnées polaires, λest la longueur d’onde, Lp est un coefficient de perte, G estle gain de l’antenne du radar, δ est l’impulsion de Dirac trans-mise, σ0 est le coefficient de réflectivité de la surface (supposéconstant dans la suite de l’article 2) et r =√ρ2 + h2 est la dis-tance entre le satellite et la surface observée avec h la hauteurdu satellite (voir Fig. 2). L’intégrale en fonction de ρ permetde lier ce paramètre au temps par la présence de la fonctionde Dirac. Ainsi, chaque instant temporel sera lié à un rayon depropagation ρ(t) et la RIM à un instant t0 sera donnée en som-mant l’énergie contenue dans le cercle de rayon ρ(t0), i.e., enintégrant φ entre [0, 2π] (voir Fig. 3). Après calculs, en faisantl’hypothèse d’une antenne non dépointée, on obtient la formulesuivante pour la RIM [1]RIM(t) = Pu exp[−4cγh(t−2hc)]U(t−2hc)(4)où Pu est l’amplitude de l’écho, γ est un paramètre lié à l’an-tenne et U(.) représente la fonction de Heaviside. L’échan-tillonnage de l’écho altimétrique sc(t) se fait avec t = tk =2. Ce coefficient peut varier dans la scène observée [3] mais sera considéréconstant pour simplifier l’étude.FIGURE 2 – Géométrie du radar pour une surface plate.FIGURE 3 – Cercles de propagation et bandes Doppler. L’inté-gration se fait sur tout le cercle en altimétrie conventionnelle.En altimétrie SAR/Doppler, l’intégration se fait à l’intersectionde chacune des bandes Doppler avec les cercles iso-distance.2hc+ kT − τ , pour k = 1, · · · ,K, où τ correspond à l’abs-cisse du point de puissance moitié de l’écho et K = 104 estle nombre d’échantillons ou portes 3. L’écho altimétrique sc(t)s’obtient alors par calcul de la double convolution (1) et s’ex-prime en fonction du vecteur θ = (SWH, τ, Pu)T constitué desparamètres permettant de caractériser l’état de la mer que l’oncherche à estimer à partir des échos mesurés.3 Modèle SAR/Doppler proposéL’altimétrie SAR/Doppler prend en compte une dimensionsupplémentaire constituée par la fréquence Doppler par rap-port à l’altimétrie conventionnelle. Ainsi, les échos associés àl’altimétrie SAR/Doppler s’expriment en fonction du temps etde la fréquence Doppler et s’écriventP (t, f) = DP(t) ∗ RIR(t, f) ∗ RIM(t, f) (5)avecRIR(t, f) = RIRT (t)RIRF (f), RIRF (f) =∣∣∣∣∣∣sin(π fF)π fF∣∣∣∣∣∣2(6)3. Une porte correspond à un intervalle temporel de largeur T , relié à larésolution spatiale qui est de cT/2 = 46 cm.où F est la résolution Doppler. Comme expliqué précédem-ment, l’altimétrie SAR/Doppler utilise l’information contenuedans les fréquences Doppler pour augmenter la résolution lelong de la trace [2]. Dans ce cas, l’intégration de l’énergie nese fait plus sur des cercles comme dans le cas conventionnel(φ ∈ [0, 2π]) mais plutôt sur des bandes rectangulaires liéesaux fréquences Doppler [4] (voir Fig. 3). Après calculs, la RIMrésultante s’écritRIM(t, n) =Puπ(2htc)3exp{−4γ[1−(2htc)2]}×(φt,n+1 − φt,n)U(t−2hc), (7)pour n = 1, · · · , 64M , M étant le coefficient de sur- échan-tillonnage fréquentiel et oùφt,n = Re[arctan(yn√ρ2(t)− y2n)](8)avec ρ =√(tc2)2− h2, yn = hλ2vs fn est l’ordonnée de la nièmebande Doppler, fn = [n− (32M + 0.5)] FM est la nième va-leur de la fréquence Doppler, vs est la vitesse du satellite etRe(x) est la partie réelle de x. La double convolution (5) estensuite calculée numériquement pour obtenir le modèle semi-analytique proposé de P (t, f) qui dépend du même vecteur pa-ramètre θ que dans le cas de l’altimétrie conventionnelle.3.1 Echo SAR/DopplerLe signal résultant de la formule (5) est composé de deux di-mensions, le temps (ou distance) et la fréquence. Ce signal ap-pelé carte distance/Doppler (delay/Doppler map) présente uneallure elliptique (voir Fig. 1) qu’il faut corriger par une “mi-gration en distance” qui consiste à ramener le début des contri-butions des bandes Doppler à la même porte temporelle (voir[2, 5] pour plus de détails). L’écho SAR/Doppler est alors ob-tenu en sommant les signaux des bandes Doppler migrés endistance. Ces traitements sont décrits par l’expression sd(t) =∑64n=1 P (t− δtn, fn), où δtn est la migration des distancesexprimée en secondes. La figure 4 montre deux échos, conven-tionnel et SAR/Doppler, obtenus pour les mêmes paramètresaltimétriques. L’écho SAR/Doppler est plus étroit du fait del’application de la migration en distance.4 Estimation paramétriqueLes échos altimétriques sont affectés d’un bruit multiplicatifde scintillement (speckle). Dans le cas de l’altimétrie conven-tionnelle, ce bruit est réduit par moyennage de Lc = 100 échosdécorrélés successifs. Dans le cas de l’altimétrie SAR/Doppler,la carte distance/Doppler est moyennée par Ld ≃ 4 pour ré-duire le bruit. L’écho SAR/Doppler est ensuite obtenu en som-mant les 64 bandes Doppler de cette carte. Les échos observés(conventionnels ou SAR/Doppler) sont donc obtenus après unmoyennage d’un grand nombre de signaux et le bruit les affec-tant peut être considéré comme étant Gaussien.FIGURE 4 – Echos SAR/Doppler et conventionnel pour lesmêmes paramètres altimétriques (Pu = 1, τ = 31 portes etSWH = 2 m).Ce papier propose d’estimer les paramètres altimétriques parla méthode des moindres carrés. Le critère à minimiser s’écritC = argminθ12∑Kk=1 g2k(θ), où gk(θ) = yk − sk(θ) est lekième résidu, y = (y1, · · · , yK)T est l’écho observé bruité ets = (s1, · · · , sK)T est l’écho théorique (sc ou sd) qui dé-pend du vecteur θ. L’obtention d’une expression analytique deθˆ est impossible du fait de la complexité de C, d’où la nécessitéde l’utilisation d’une technique d’optimisation numérique pourdéterminer l’estimateur des moindres carrés. On propose danscet article de résoudre ce problème à l’aide de l’algorithme deLevenberg-Marquardt [6].5 RésultatsCette section introduit les critères utilisés pour évaluer laqualité de l’estimation des paramètres altimétriques. Pour deséchos synthétiques, où les paramètres réels sont connus, la ra-cine de l’erreur quadratique moyenne (REQM) peut être utili-sée pour évaluer la qualité de l’estimation. Ce critère est donnépar REQM (θi) =√1n∑nℓ=1[θi − θˆi(ℓ)]2, où θi et θˆi(ℓ) sontles paramètres réel et estimé du ℓème écho et n est le nombred’échos synthétiques générés avec le même vecteur paramètreθ = (θ1, θ2, θ3)T et différentes réalisations du bruit. L’écart-type de l’estimateur donné par STD (θi) =√1n∑nℓ=1[θˆi(ℓ)− θi]2avec θi = 1n∑nj=1 θˆi(j) peut aussi être utilisé pour évaluer lesperformances de l’estimation d’échos réels (échos convention-nels ou SAR/Doppler).5.1 Echos synthétiquesCette section s’intéresse à l’estimation des paramètres deséchos altimétriques synthétiques associés à l’altimétrie conven-tionnelle et l’altimétrie SAR/Doppler. Ces échos ont été géné-rés avec les paramètres Pu = 1, τ = 31 portes et SWH variantdans l’intervalle [1, 8] mètres. La figure 5 montre les REQMsdes paramètres altimétriques en fonction de SWH. Les REQMsdes paramètres SWH et τ sont nettement meilleures dans le casde l’altimétrie SAR/Doppler sauf pour l’estimation de SWHdans le cas de faibles hauteurs de vagues. L’amplitude Pu estmieux estimée par l’altimétrie conventionnelle car l’écho estplus large ce qui réduit la sensibilité de l’amplitude au bruit.À noter aussi que REQM (SWH) croît en fonction de SWHen altimétrie conventionnelle alors qu’elle présente un niveauquasiment constant dans le cas SAR/Doppler.FIGURE 5 – REQMs des paramètres en fonction de SWH avecPu = 1 et τ = 31 portes pour des échos conventionnels etSAR/Doppler.5.2 Echos RéelsOn s’intéresse dans cette section à l’estimation des para-mètres d’échos réels obtenus par le satellite Cryosat-2. Leséchos traités ont été obtenus durant le mois d’août 2011 etnous ont été fournis par le centre national d’études spatiales(CNES) [7]. La figure 6 montre la superposition d’un écho réelCryosat-2 et du modèle (5) reconstruit à partir des paramètresestimés sur l’écho par le modèle proposé dans cet article. Cetexemple permet de visualiser la bonne adéquation du modèleproposé (et de la méthode d’estimation des paramètres) avecles formes d’onde réelles. En effet, on observe une différencemaximale de l’ordre de 6% entre les deux échos ce qui est engrande partie due au bruit affectant l’écho observé. La figureFIGURE 6 – Exemple d’un écho Cryosat-2 et de son estimé parle modèle proposé.7 montre la variation des écart-types de SWH et τ en fonctionde SWH. Ces erreurs ont la même forme que dans le cas del’étude synthétique et sont meilleures dans le cas de l’altimé-trie SAR/Doppler.FIGURE 7 – Ecart-types en fonction de SWH des paramètresSWH et τ pour l’altimétrie conventionnelle et SAR/Doppler.6 ConclusionsCe papier a introduit un nouveau modèle pour l’altimétrieSAR/Doppler. Le modèle proposé est basé sur une approchegéométrique pour le calcul de la réponse impulsionnelle d’unemer plate. La formule analytique obtenue est ensuite convo-luée numériquement avec la densité de probabilité de la hauteurdes points de dispersion et la réponse impulsionnelle du radar.L’estimation des paramètres altimétriques est effectuée à l’aidede la méthode des moindres carrés en utilisant l’algorithmede Levenberg-Marquardt. Les simulations effectuées à l’aided’échos synthétiques ont montré une amélioration de la qualitédes paramètres estimés par rapport à l’altimétrie convention-nelle. Cette amélioration a été confirmée par l’analyse d’échosréels issus du satellite Cryosat-2. Nos travaux futurs s’intéres-seront à la généralisation du modèle SAR/Doppler en considé-rant de nouveaux paramètres tel que le dépointage de l’antenne.Références[1] G. Brown, “The average impulse response of a rough surface andits applications,” IEEE Trans. Antennas and Propagation, vol. 25,no. 1, pp. 67–74, jan 1977.[2] R. K. Raney, “The delay/Doppler radar altimeter,” IEEE Trans.Geosci. and Remote Sensing, vol. 36, no. 5, pp. 1578–1588, sep1998.[3] J. Tournadre, B. Chapron, and N. Reul, “High-resolution imagingof the ocean surface backscatter by inversion of altimeter wave-forms,” Journal of Atmospheric and Oceanic Technology, vol. 28,no. 8, pp. 1050–1062, aug 2011.[4] A. Halimi, C. Mailhes, J.-Y. Tourneret, P. Thibaut, and F. Boy, “Asemi-analytical model for delay/Doppler altimetry and its estima-tion algorithm,” 2012, submitted.[5] D. Wingham, L. Phalippou, C. Mavrocordatos, and D. Wallis,“The mean echo and echo cross product from a beamforming in-terferometric altimeter and their application to elevation measure-ment,” IEEE Trans. Geosci. and Remote Sensing, vol. 42, no. 10,pp. 2305 – 2323, oct. 2004.[6] D. P. Bertsekas, Nonlinear programming. Belmont, Massachu-setts : Athena Scientific, 1995.[7] F. Boy, J.-D. Desjonqueres, and N. Picot, “Cryosat LRM, TRKand SAR processing,” in Ocean Surface Topography ScienceTeam Meeting, San Diego, California, October 2011.

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Modèle semi-analytique pour l'altimétrie SAR/Doppler sur océan

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