National audienceCet article étudie la performance des estimateurs de temps d’arrivée de signaux de détresse qui sont définis par des formes d’onde ayant des transitions douces. Ces signaux sont utilisés dans le système de recherche et sauvetage par satellite Cospas-Sarsat. Nous proposons un modèle de signal basé sur des transitions sigmoïdales. Des expressions analytiques des bornes de Cramér-Rao modifiées associées aux paramètres de ce modèle sont déterminées. Les expressions obtenues sont faciles à interpréter, car elles dépendent analytiquement des paramètres du système. Des simulations effectuées avec des signaux réalistes concordent avec les résultats théoriques

Bissoli Nicolau, Victor

Calmettes, Thibaud

Coulon, Martial

Grégoire, Yoann

Tourneret, Jean-Yves

Cet article étudie la performance des estimateurs de temps d’arrivée de signaux de détresse qui sont définis par des formes d’onde ayant des transitions douces. Ces signaux sont utilisés dans le système de recherche et sauvetage par satellite Cospas-Sarsat. Nous proposons un modèle de signal basé sur des transitions sigmoïdales. Des expressions analytiques des bornes de Cramér-Rao modifiées associées aux paramètres de ce modèle sont déterminées. Les expressions obtenues sont faciles à interpréter, car elles dépendent analytiquement des paramètres du système. Des simulations effectuées avec des signaux réalistes concordent avec les résultats théoriques

Open Archive Toulouse Archive Ouverte

     Open Archive TOULOUSE Archive Ouverte (OATAO)  OATAO is an open access repository that collects the work of Toulouse researchers and makes it freely available over the web where possible.  This is an author-deposited version published in : http://oatao.univ-toulouse.fr/ Eprints ID : 12731  The contribution was presented at GRETSI 2013 : http://www.gretsi.fr/colloque2013/  To cite this version : Bissoli Nicolau, Victor and Coulon, Martial and Grégoire, Yoann and Calmettes, Thibaud and Tourneret, Jean-Yves Bornes de Cramér-Rao modifiées pour le temps d'arrivée et la période symbole. Application aux signaux de recherche et de sauvetage. (2013) In: Groupe de Recherche et d'Etudes du Traitement du Signal et des Images (GRETSI 2013), 3 September 2013 - 6 September 2013 (Brest, France). Any correspondance concerning this service should be sent to the repository administrator: staff-oatao@listes-diff.inp-toulouse.fr Borne de Cramér-Rao modifiée pour le temps d’arrivée et la périodesymbole. Application aux signaux de recherche et de sauvetage.Victor BISSOLI NICOLAU1,2, Martial COULON1, Yoan GRÉGOIRE3, Thibaud CALMETTES4, Jean-Yves TOURNERET11Université de Toulouse, INP-ENSEEIHT/IRIT, 2 rue Charles Camichel, BP 7122, 31071 Toulouse Cedex 7, France2TéSA, 14-16 Port Saint-Etienne, 31000 Toulouse, France 3CNES, 18 Av. Edouard Belin, 31401 Toulouse Cedex 9, France4Thales Alenia Space, 26 Av. Jean-François Champollion, 31037 Toulouse Cedex 1, France{victor.bissolinicolau, martial.coulon, jean-yves.tourneret}@enseeiht.fryoan.gregoire@cnes.fr, thibaud.calmettes@thalesaleniaspace.comRésumé – Cet article étudie la performance des estimateurs de temps d’arrivée de signaux de détresse qui sont définis par des formes d’ondeayant des transitions douces. Ces signaux sont utilisés dans le système de recherche et sauvetage par satellite Cospas-Sarsat. Nous proposons unmodèle de signal basé sur des transitions sigmoïdales. Des expressions analytiques des bornes de Cramér-Rao modifiées associées aux paramètresde ce modèle sont déterminées. Les expressions obtenues sont faciles à interpréter, car elles dépendent analytiquement des paramètres du système.Des simulations effectuées avec des signaux réalistes concordent avec les résultats théoriques.Abstract – This paper focuses on the performance of time of arrival estimators for distress beacon signals which are defined by pulses withsmooth transitions. These signals are used in the satellite-based search and rescue Cospas-Sarsat system. We propose a signal model based onsigmoidal functions. Closed-form expressions for the modified Cramér-Rao bounds associated with the parameters of this model are derived.The obtained expressions are easy to interpret since they analytically depend on the system parameters. Simulations conducted on realistic searchand rescue signals show good agreement with the theoretical results.1 IntroductionLe système de recherche et sauvetage Cospas-Sarsat [1] aété conçu pour localiser des balises de détresse, en utilisant dessatellites en orbite basse et le traitement Doppler. La constella-tion actuelle est en cours de remplacement par des satellites enorbite moyenne qui couvrent de plus grandes zones de la sur-face de la Terre permettant des alertes quasi instantanées [2].Toutefois, en raison des orbites plus élevées, les signaux reçusseront plus faibles et l’effet Doppler moins important. Dans cescénario, des méthodes d’estimation basées sur les temps d’ar-rivée (ou TOA pour Time of Arrival), ou en utilisant aussi lesfréquences d’arrivée, sont actuellement étudiées [3].Le but de ce travail est d’étudier la performance des estima-teurs des temps d’arrivée des signaux issus du système Cospas-Sarsat. Nous introduisons des fonctions sigmoïdales pour mo-déliser les transitions de ces signaux. Nous calculons ensuiteles bornes de Cramér-Rao modifiées (ou MCRBs pour Modi-fied Cramér-Rao Bounds) [4] pour les paramètres du modèle.Cet article est structuré comme suit : la Section 2 introduitle modèle de signal proposé dont les transitions sont des fonc-tions sigmoïdales. Dans la Section 3, les MCRBs pour les es-timateurs de TOA et de la période symbole sont déterminées.La Section 4 montre les résultats de simulation, avec un bonaccord par rapport aux bornes théoriques obtenues. Les conclu-sions sont présentées dans la Section 5.Les auteurs souhaitent remercier Thales Alenia Space et le CNES pour lesconseils techniques et le financement.2 Modèle de signal Cospas-SarsatSuivant les spécifications des balises de détresse [5], le signalde recherche et sauvetage utilisé pour le système Cospas-Sarsatpeut être modélisé parr(t) = s(t) + w(t) (1)avecs(t) = A exp{j[2piνt+ βN−1∑n=0bn g(t− nT − τ)]}(2)où le terme w(t) est un bruit blanc gaussien dont les partiesréelle et imaginaire ont chacune une densité spectrale de puis-sance égale à N0, A est un facteur d’amplitude, ν est le résidude la porteuse, N est le nombre de symboles, β est l’indice demodulation, b = {bn} est une suite de variables aléatoires demoyennes nulles, indépendantes et identiquement distribuées(iid) associées aux bits d’information, T est la largeur symboleet τ est le délai de transmission. La Fig. 1(a) montre la phaseφ(t) du signal et la Fig. 1(b) illustre le plan complexe, où sR(t)et sI(t) sont les parties réelles et imaginaires de s(t). Afin detenir compte des transitions continues de phase entre −β et β,nous proposons la fonction suivante pour modéliser la mise enforme de Manchester g(t)g(t) =12fα(t)− fα(t− T/2) + 12fα(t− T ) (3)où fα(t) est une fonction sigmoïde définie comme suitfα(t) = erf(αt) =2√pi∫ αt0e−x2dx. (4)b2=−1b1=1b0=1φ(t)t.0 T 2T 3T−β0β(a) Phase de s(t) pour b = (1, 1,−1).bn=−1bn=1βsI(t)sR(t)−A 0 A−A0A(b) Plan complexe.FIGURE 1 – Phase (a) et plan complexe (b) du signal s(t).  Tr=50 µsTr=150 µsTr=250 µsg(t)t[ms].0 0.625 1.25 1.875 2.5−1−0.500.51FIGURE 2 – Impulsion de Manchester g(t) pour différents Tr.La motivation pour utiliser (4) est que sa dérivée est une im-pulsion gaussienne dont la transformée de Fourier est simple.Cette caractéristique est importante pour obtenir une expres-sion analytique des MCRBs d’intérêt. Le paramètre α permetde régler le temps de montée du signal, noté Tr. Dans le casdu signal Cospas-Sarsat, Tr est défini comme le temps comprispar la phase pour passer de 10% à 90% [5], c’est-à-dire, pourque fα(t) change son amplitude de −0.9 à 0.9. Ainsiα =2 erf−1(0.9)Tr≈ 2.3262Tr(5)où erf−1(·) est la fonction d’erreur inverse. La forme de l’im-pulsion g(t) est illustrée sur la Fig. 2 pour des temps de montéeminimum (Tr = 50 µs), nominal (Tr = 150 µs) et maximum(Tr=250 µs) suivant les spécifications du système [5].3 Calcul des MCRBsL’estimation du TOA τ est liée à la connaissance précise dela période symbole, qui varie selon le rythme symbole, Rs =1/T = 400 bps ± 1%, selon [5]. Cette section développe lesMCRBs pour l’estimation conjointe du vecteur de paramètresλ = (T, τ)T . La matrice de covariance d’un estimateur de λ,dénotée Cλ̂(où λ̂ = (T̂ , τ̂)T ), est telle que [6]Cλ̂− I−1M (λ)  0 (6)où IM (λ) représente la matrice d’information de Fisher mo-difiée (MFIM), ici de dimension 2 × 2, et  0 signifie que lamatrice est semi-définie positive. En suivant les calculs menésdans [7], les éléments de la MFIM sont donnés par[IM (λ)]ij = Er,u[∂ ln p(r|u,λ)∂λi∂ ln p(r|u,λ)∂λj](7)où r est le vecteur des données, u = (A, ν,b)T est le vecteurdes paramètres indésirables et p(r|u,λ) est la densité de pro-babilité du vecteur d’observation. Il est habituel d’utiliser unformalisme basé sur des signaux à temps continu. Selon [8, p.292], à la limite, quand les dimensions de r tendent vers l’in-fini, p(r|u,λ) peut s’exprimer commep(r|u,λ) = exp[− 12N0∫T0|r(t)− s(t)|2dt](8)où T0 est la durée du signal. Avec (8) et (7), suivant les déve-loppements de [4], les éléments de la MFIM sont donnés par[IM (λ)]ij =1N0Eu[∫T0It(λi, λj) dt](9)oùIt(λi, λj) =∂sR(t)∂λi∂sR(t)∂λj+∂sI(t)∂λi∂sI(t)∂λj. (10)Dans la suite de cette section, les éléments hors diagonaux dela MFIM sont calculés pour λ = (T, τ)T . Avec les notationsφν(t) = 2piνt et φg(t) = β∑N−1n=0 bn g(t− nT − τ), sR(t) etsI(t) peuvent se réécrire comme sR(t) = A cos[φν(t)+φg(t)]et sI(t) = A sin[φν(t) + φg(t)]. Ainsi It(T, τ) devientIt(T, τ) = A2∂φg(t)∂T∂φg(t)∂τ. (11)En calculant les dérivées partielles de φg(t) par rapport à T etτ , on obtientIt(T, τ) =A2β2N−1∑n=0N−1∑m=0bnbmpn,T (t)pm,τ (t) (12)où pn,T (t) = ∂g(t− nT − τ)/∂T et pm,τ (t) = ∂g(t−mT −τ)/∂τ . Comme les symboles bn et bm sont indépendants pourn 6=m, E[bnb∗m]=δnm (où δnm est le delta de Kronecker), d’où[IM (λ)]12 =A2β2N0N−1∑n=0∫T0pn,T (t) pn,τ (t) dt. (13)L’intégrale∫T0pn,T (t) pn,τ (t)dt (notéeEp,n) peut être évaluéedans le domaine fréquentiel en considérant la largeur de bandeB et l’impulsion de Manchester sigmoïdaleEp,n =∫T0pn,T (t) p∗n,τ (t)dt =∫ B/2−B/2Pn,T (f)P∗n,τ (f)df. (14)Suivant les calculs détaillés en Annexe, Ep,n devientEp,n =3α√2pi(2n+ 1) (15)où B ≥ α√2. En remplaçant l’expression de Ep,n dans (13),les éléments extradiagonaux de la MFIM deviennent[IM (λ)]12 =3√2pi(αA2β2N0)N2 (16)où B ≥ α√2. Les élément diagonaux de la MFIM sont cal-culés de façon similaire avec λi = λj = T pour [IM (λ)]11 etλi=λj=τ pour [IM (λ)]22. La MFIM IM (λ) s’écrit alorsIM (λ) = 3√2pi(αA2β2N0)[N33N22N22N]. (17)Cette expression peut être utilisée pour calculer la MCRB con-jointe pour l’estimation de (T, τ), pour l’estimation de τ (avecT connu) et pour l’estimation de T (avec τ connu). Ces résul-tats sont présentés dans les sections suivantes.  √MCRBRMSE√MCRBcRMSEc√MCRBetRMSE[µs]C/N0[dB Hz]Estimation de TEstimation de τ30 40 50 60 7010−310−210−1100101102(a) Tr = 50 µs.  √MCRBRMSE√MCRBcRMSEc√MCRBetRMSE[µs]C/N0[dB Hz]Estimation de TEstimation de τ30 40 50 60 7010−310−210−1100101102(b) Tr = 250 µs.FIGURE 3 – Performance d’estimation du TOA et de T pour les temps de montée minimum (a) et maximum (b) autorisés.3.1 Estimation conjointe de (T, τ)La diagonale de I−1M (λ) définit les MCRBs de T et de τ dansle cas de l’estimation conjointe de ces paramètres. À partir deI−1M (λ) = 4√pi2(N0αA2β2N3)[1 −N2−N2N23](18)on obtient, pour B ≥ α√2,MCRBc(T ) = 4√pi21αβ2(CN0)N3, (19)MCRBc(τ) =43√pi21αβ2(CN0)N(20)où C = A2 et l’indice c indique une estimation conjointe deT et de τ . Ces expressions montrent qu’un plus grand rapportC/N0 donne des résultats plus précis. De plus, en augmentantα (en réduisant le temps de montée), où en augmentant β (l’am-plitude de l’impulsion en phase), on obtient des impulsions plusabruptes et de meilleures estimations. La MCRB de T est in-versement proportionnelle à N3, ce qui est classique pour unrythme symbole [9, 10]. La MCRB pour τ est inversement pro-portionnelle à N , ce qui est aussi un résultat classique (voir desbornes similaires dans [4]).3.2 Estimation de T pour τ connuL’inversion de [IM (λ)]11 dans (17) donne la borne modifiéepour un estimateur de T pour une valeur de τ connueMCRB(T ) =√pi21αβ2(CN0)N3(21)où B ≥ α√2. Par rapport à (19), on note une perte de perfor-mance de l’estimation de T lorsque τ est estimé, soit :MCRBc(T ) = 4MCRB(T ). (22)3.3 Estimation de τ pour T connuL’inversion de [IM (λ)]22 dans (17) donne la borne modifiéepour un estimateur de τ pour une valeur de T connueMCRB(τ) =13√pi21αβ2(CN0)N(23)où B ≥ α√2. En comparaison avec (20), la perte de perfor-mance liée à l’estimation de τ lorsque T est estimée estMCRBc(τ) = 4MCRB(τ) (24)qui sera vérifiée dans la partie suivante dédiée aux simulations.4 Résultats de simulationDans cette partie, les bornes déterminées dans la section pré-cédente sont comparées avec les erreurs quadratiques moyen-nes d’estimateurs calculées à partir de 1000 messages de dé-tresse simulés. L’estimation de T et de τ est réalisée par uneméthode de rééchantillonnage adaptée de [11], en exploitant lacyclostationnarité du signal et la symétrie de l’impulsion g(t).Plus précisément, l’intégration d’une séquence d’impulsions deManchester produit une somme de fonctions triangulaires si-tuées aux instants kT , k = 1, . . . , N , qui sont concaves ouconvexes suivant la valeur de bits d’information bn. Ceci estréalisé pour différents valeurs de τ et de T suivant une grillepré-spécifiée avec une résolution suffisante (40 valeurs pour Tet 40 valeurs pour τ ) afin d’assurer une bonne performanced’estimation. Puis, la valeur de λ = (T, τ)T qui maximiseune fonction de contraste définie dans [11] est retenue pourconstruire λ̂.Les paramètres de simulation correspondant aux spécifica-tions du système [5] sont regroupés dans le Tableau 1. La Fi-gure 3 compare la racine carrée des MCRBs avec celle deserreurs quadratiques moyennes (ou RMSE pour Root MeanSquare Errors) de τ et T pour Tr = 50 µs et Tr = 250 µsTABLE 1 – Paramètres de la simulationParamètre Symbole Valeur UnitéRythme Symbole Rs 404 symboles/sNombre de symboles N 144 symbolesIndice de modulation β 1.1 radiansLargeur de bande B α√2 Hz(valeurs minimum et maximum permises pour le signal de dé-tresse). Comme prévu, des résultats plus précis sont obtenuspour un Tr plus court (Fig. 3(a)). Les RMSEs des estimateurssont proches des bornes correspondantes, ce qui signifie unebonne performance. Ces courbes sont utiles pour évaluer la per-formance du système pour différentes valeurs des paramètres.5 ConclusionDans cet article, nous avons déterminé des expressions ana-lytiques pour les bornes de Cramér-Rao modifiées de la pé-riode symbole et du temps d’arrivée d’un signal de détressedu système Cospas-Sarsat modélisé à l’aide de transitions sig-moïdales. Ces bornes fournissent une référence pour les erreursquadratiques moyennes des estimateurs et peuvent être utiliséespour ajuster certains paramètres du système. Une meilleure pré-cision peut être obtenue, par exemple, en augmentant le nombrede symboles, ou en limitant le temps de montée. Les travauxfuturs pourraient être orientés vers l’estimation des fréquencesd’arrivée, ainsi que de la position de la balise de détresse, entenant compte des paramètres déjà estimés.6 AnnexeDans cette Annexe, nous calculons Ep,n en utilisant (14).À l’aide des transformées de Fourier Pn,T (f) et Pn,τ (f) depn,T (t) et pn,τ (t), on obtientPn,T (f)P∗n,τ (f) = e− 2pi2f2α2[6n+ 3− (4n+ 1)ejpifT− (4n+3)e−jpifT+nej2pifT+(n+1)e−j2pifT ]. (25)Puisque la partie imaginaire de (25) est composée de fonctionsimpaires, son intégrale sur l’intervalle [−B,B] est nulle, doncEp,n= (2n+1)∫ B/2−B/2e−2pi2f2α2 [3−4 cos(pifT )+cos(2pifT )]df.(26)En utilisant l’identité suivante, [12, p. 108]∫ B2−B2e−2pi2f2α2 cos(2pifx)df=αe−x2α22√2piRe[erf(piB+jxα2α√2)](27)l’expression (26) devientEp,n = (6n+3)α√2piRe[erf(piBα√2)](28)− (8n+4) α√2pie−T 2α28 Re[erf(piB + j(T/2)α2α√2)]+ (2n+1)α√2pie−T 2α22 Re[erf(piB+jTα2α√2)].Une approximation peut alors être utilisée. En effet, en consi-dérant la valeur de Tr du signal modulé et les spécifications durythme symbole, on ae−T 2α28∣∣∣Tr=250 µsT=0.0025 s= 4.2163× 10−30. (29)En conséquence, les deux termes e−T2α22 et e−T2α28 dans (28)peuvent être négligés, conduisant au résultatEp,n ≈ (6n+3) α√2piRe[erf(piBα√2)]. (30)D’autre part, pour B ≥ α√2, on a erf(Bpiα√2)∈ [erf(pi), 1].Puisque erf(pi) = 99.9991%, on obtient l’approximation finaleEp,n =3α√2pi(2n+ 1), B ≥ α√2. (31)Références[1] Cospas-Sarsat Council, “Cospas-Sarsat 406 MHz MEOSARImplementation Plan,” Tech. Rep. R.012, Issue 1, COSPAS-SARSAT, Oct. 2011.[2] A. Mehta, “The Int. Cospas-Sarsat Programme : Taking the"search" out of search and rescue,” in Proc. of the Marine Safety& Security Council, 2011, vol. 68, pp. 12–15.[3] P. C. Gomez, C. F. Prades, J. A. F. Rubio, G. S. Granados,and I. Stojkovic, “Design of Local User Terminals for Searchand Rescue Systems with MEO Satellites,” in Proc. of the 2ndESA Workshop on Satellite Navigation User Equipment Tech-nologies (NAVITEC), Noordwijk, The Netherlands, Dec. 2004,ESA/ESTEC.[4] U. Mengali and A. N. D’Andrea, Synchronization Techniquesfor Digital Receivers, Applications of Communications Theory.Plenum Press, 1997.[5] Cospas-Sarsat Council, “Specification for Cospas-Sarsat 406MHz distress beacons,” Tech. Rep. T.001, Issue 3, COSPAS-SARSAT, Oct. 2011.[6] S. M. Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing : Es-timation theory, Prentice Hall, 1993.[7] A. N. D’Andrea, U. Mengali, and R. Reggiannini, “The mo-dified Cramér-Rao bound and its application to synchronizationproblems,” IEEE Trans. Commun., vol. 42, no. 234, pp. 1391–1399, Feb. 1994.[8] J. G. Proakis and M. Salehi, Digital Communications, Mc-GrawHill, Boston, 5th edition, 2008.[9] Y. T. Chan, J. W. Plews, and K. C. Ho, “Symbol rate estimationby the wavelet transform,” in Int. Conf. Circuits and Systems,June 1997, vol. 1, pp. 177–180.[10] Z.-M. Deng and Y. Liu, “Modified Cramér-Rao lower bound forsymbol width estimation from a phase-shift-keying signal,” J.on Commun., vol. 30, no. 2, pp. 117–121, Sept. 2009.[11] S. Houcke, A. Chevreuil, and P. Loubaton, “Blind equalization- Case of an Unknown Symbol Period,” IEEE Trans. SignalProcess., vol. 51, no. 3, pp. 781 – 793, March 2003.[12] I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik, A. Jeffrey, and D. Zwillinger,Table of Integrals, Series and Products, Academic Press, 2007.

Bornes de Cramér-Rao modifiées pour le temps d'arrivée et la période symbole. Application aux signaux de recherche et de sauvetage

Scientific Publications of the University of Toulouse II Le Mirail

Bornes de Crame´r-Rao modifie´es pour le tempsd’arrive´e et la pe´riode symbole. Application aux signauxde recherche et de sauvetageVictor Bissoli Nicolau, Martial Coulon, Yoann Gre´goire, Thibaud Calmettes,Jean-Yves TourneretTo cite this version:Victor Bissoli Nicolau, Martial Coulon, Yoann Gre´goire, Thibaud Calmettes, Jean-YvesTourneret. Bornes de Crame´r-Rao modifie´es pour le temps d’arrive´e et la pe´riode symbole.Application aux signaux de recherche et de sauvetage. Groupe de Recherche et d’Etudes duTraitement du Signal et des Images (GRETSI 2013), Sep 2013, Brest, France. pp. 1-5, 2013.<hal-01217209>HAL Id: hal-01217209https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01217209Submitted on 19 Oct 2015HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. 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Application aux signaux de recherche et de sauvetage. (2013) In: Groupe de Recherche et d'Etudes du Traitement du Signal et des Images (GRETSI 2013), 3 September 2013 - 6 September 2013 (Brest, France). Any correspondance concerning this service should be sent to the repository administrator: staff-oatao@listes-diff.inp-toulouse.fr Borne de Cramér-Rao modifiée pour le temps d’arrivée et la périodesymbole. Application aux signaux de recherche et de sauvetage.Victor BISSOLI NICOLAU1,2, Martial COULON1, Yoan GRÉGOIRE3, Thibaud CALMETTES4, Jean-Yves TOURNERET11Université de Toulouse, INP-ENSEEIHT/IRIT, 2 rue Charles Camichel, BP 7122, 31071 Toulouse Cedex 7, France2TéSA, 14-16 Port Saint-Etienne, 31000 Toulouse, France 3CNES, 18 Av. Edouard Belin, 31401 Toulouse Cedex 9, France4Thales Alenia Space, 26 Av. Jean-François Champollion, 31037 Toulouse Cedex 1, France{victor.bissolinicolau, martial.coulon, jean-yves.tourneret}@enseeiht.fryoan.gregoire@cnes.fr, thibaud.calmettes@thalesaleniaspace.comRésumé – Cet article étudie la performance des estimateurs de temps d’arrivée de signaux de détresse qui sont définis par des formes d’ondeayant des transitions douces. Ces signaux sont utilisés dans le système de recherche et sauvetage par satellite Cospas-Sarsat. Nous proposons unmodèle de signal basé sur des transitions sigmoïdales. Des expressions analytiques des bornes de Cramér-Rao modifiées associées aux paramètresde ce modèle sont déterminées. Les expressions obtenues sont faciles à interpréter, car elles dépendent analytiquement des paramètres du système.Des simulations effectuées avec des signaux réalistes concordent avec les résultats théoriques.Abstract – This paper focuses on the performance of time of arrival estimators for distress beacon signals which are defined by pulses withsmooth transitions. These signals are used in the satellite-based search and rescue Cospas-Sarsat system. We propose a signal model based onsigmoidal functions. Closed-form expressions for the modified Cramér-Rao bounds associated with the parameters of this model are derived.The obtained expressions are easy to interpret since they analytically depend on the system parameters. Simulations conducted on realistic searchand rescue signals show good agreement with the theoretical results.1 IntroductionLe système de recherche et sauvetage Cospas-Sarsat [1] aété conçu pour localiser des balises de détresse, en utilisant dessatellites en orbite basse et le traitement Doppler. La constella-tion actuelle est en cours de remplacement par des satellites enorbite moyenne qui couvrent de plus grandes zones de la sur-face de la Terre permettant des alertes quasi instantanées [2].Toutefois, en raison des orbites plus élevées, les signaux reçusseront plus faibles et l’effet Doppler moins important. Dans cescénario, des méthodes d’estimation basées sur les temps d’ar-rivée (ou TOA pour Time of Arrival), ou en utilisant aussi lesfréquences d’arrivée, sont actuellement étudiées [3].Le but de ce travail est d’étudier la performance des estima-teurs des temps d’arrivée des signaux issus du système Cospas-Sarsat. Nous introduisons des fonctions sigmoïdales pour mo-déliser les transitions de ces signaux. Nous calculons ensuiteles bornes de Cramér-Rao modifiées (ou MCRBs pour Modi-fied Cramér-Rao Bounds) [4] pour les paramètres du modèle.Cet article est structuré comme suit : la Section 2 introduitle modèle de signal proposé dont les transitions sont des fonc-tions sigmoïdales. Dans la Section 3, les MCRBs pour les es-timateurs de TOA et de la période symbole sont déterminées.La Section 4 montre les résultats de simulation, avec un bonaccord par rapport aux bornes théoriques obtenues. Les conclu-sions sont présentées dans la Section 5.Les auteurs souhaitent remercier Thales Alenia Space et le CNES pour lesconseils techniques et le financement.2 Modèle de signal Cospas-SarsatSuivant les spécifications des balises de détresse [5], le signalde recherche et sauvetage utilisé pour le système Cospas-Sarsatpeut être modélisé parr(t) = s(t) + w(t) (1)avecs(t) = A exp{j[2piνt+ βN−1∑n=0bn g(t− nT − τ)]}(2)où le terme w(t) est un bruit blanc gaussien dont les partiesréelle et imaginaire ont chacune une densité spectrale de puis-sance égale à N0, A est un facteur d’amplitude, ν est le résidude la porteuse, N est le nombre de symboles, β est l’indice demodulation, b = {bn} est une suite de variables aléatoires demoyennes nulles, indépendantes et identiquement distribuées(iid) associées aux bits d’information, T est la largeur symboleet τ est le délai de transmission. La Fig. 1(a) montre la phaseφ(t) du signal et la Fig. 1(b) illustre le plan complexe, où sR(t)et sI(t) sont les parties réelles et imaginaires de s(t). Afin detenir compte des transitions continues de phase entre −β et β,nous proposons la fonction suivante pour modéliser la mise enforme de Manchester g(t)g(t) =12fα(t)− fα(t− T/2) + 12fα(t− T ) (3)où fα(t) est une fonction sigmoïde définie comme suitfα(t) = erf(αt) =2√pi∫ αt0e−x2dx. (4)b2=−1b1=1b0=1φ(t)t.0 T 2T 3T−β0β(a) Phase de s(t) pour b = (1, 1,−1).bn=−1bn=1βsI(t)sR(t)−A 0 A−A0A(b) Plan complexe.FIGURE 1 – Phase (a) et plan complexe (b) du signal s(t).  Tr=50 µsTr=150 µsTr=250 µsg(t)t[ms].0 0.625 1.25 1.875 2.5−1−0.500.51FIGURE 2 – Impulsion de Manchester g(t) pour différents Tr.La motivation pour utiliser (4) est que sa dérivée est une im-pulsion gaussienne dont la transformée de Fourier est simple.Cette caractéristique est importante pour obtenir une expres-sion analytique des MCRBs d’intérêt. Le paramètre α permetde régler le temps de montée du signal, noté Tr. Dans le casdu signal Cospas-Sarsat, Tr est défini comme le temps comprispar la phase pour passer de 10% à 90% [5], c’est-à-dire, pourque fα(t) change son amplitude de −0.9 à 0.9. Ainsiα =2 erf−1(0.9)Tr≈ 2.3262Tr(5)où erf−1(·) est la fonction d’erreur inverse. La forme de l’im-pulsion g(t) est illustrée sur la Fig. 2 pour des temps de montéeminimum (Tr = 50 µs), nominal (Tr = 150 µs) et maximum(Tr=250 µs) suivant les spécifications du système [5].3 Calcul des MCRBsL’estimation du TOA τ est liée à la connaissance précise dela période symbole, qui varie selon le rythme symbole, Rs =1/T = 400 bps ± 1%, selon [5]. Cette section développe lesMCRBs pour l’estimation conjointe du vecteur de paramètresλ = (T, τ)T . La matrice de covariance d’un estimateur de λ,dénotée Cλ̂(où λ̂ = (T̂ , τ̂)T ), est telle que [6]Cλ̂− I−1M (λ)  0 (6)où IM (λ) représente la matrice d’information de Fisher mo-difiée (MFIM), ici de dimension 2 × 2, et  0 signifie que lamatrice est semi-définie positive. En suivant les calculs menésdans [7], les éléments de la MFIM sont donnés par[IM (λ)]ij = Er,u[∂ ln p(r|u,λ)∂λi∂ ln p(r|u,λ)∂λj](7)où r est le vecteur des données, u = (A, ν,b)T est le vecteurdes paramètres indésirables et p(r|u,λ) est la densité de pro-babilité du vecteur d’observation. Il est habituel d’utiliser unformalisme basé sur des signaux à temps continu. Selon [8, p.292], à la limite, quand les dimensions de r tendent vers l’in-fini, p(r|u,λ) peut s’exprimer commep(r|u,λ) = exp[− 12N0∫T0|r(t)− s(t)|2dt](8)où T0 est la durée du signal. Avec (8) et (7), suivant les déve-loppements de [4], les éléments de la MFIM sont donnés par[IM (λ)]ij =1N0Eu[∫T0It(λi, λj) dt](9)oùIt(λi, λj) =∂sR(t)∂λi∂sR(t)∂λj+∂sI(t)∂λi∂sI(t)∂λj. (10)Dans la suite de cette section, les éléments hors diagonaux dela MFIM sont calculés pour λ = (T, τ)T . Avec les notationsφν(t) = 2piνt et φg(t) = β∑N−1n=0 bn g(t− nT − τ), sR(t) etsI(t) peuvent se réécrire comme sR(t) = A cos[φν(t)+φg(t)]et sI(t) = A sin[φν(t) + φg(t)]. Ainsi It(T, τ) devientIt(T, τ) = A2∂φg(t)∂T∂φg(t)∂τ. (11)En calculant les dérivées partielles de φg(t) par rapport à T etτ , on obtientIt(T, τ) =A2β2N−1∑n=0N−1∑m=0bnbmpn,T (t)pm,τ (t) (12)où pn,T (t) = ∂g(t− nT − τ)/∂T et pm,τ (t) = ∂g(t−mT −τ)/∂τ . Comme les symboles bn et bm sont indépendants pourn 6=m, E[bnb∗m]=δnm (où δnm est le delta de Kronecker), d’où[IM (λ)]12 =A2β2N0N−1∑n=0∫T0pn,T (t) pn,τ (t) dt. (13)L’intégrale∫T0pn,T (t) pn,τ (t)dt (notéeEp,n) peut être évaluéedans le domaine fréquentiel en considérant la largeur de bandeB et l’impulsion de Manchester sigmoïdaleEp,n =∫T0pn,T (t) p∗n,τ (t)dt =∫ B/2−B/2Pn,T (f)P∗n,τ (f)df. (14)Suivant les calculs détaillés en Annexe, Ep,n devientEp,n =3α√2pi(2n+ 1) (15)où B ≥ α√2. En remplaçant l’expression de Ep,n dans (13),les éléments extradiagonaux de la MFIM deviennent[IM (λ)]12 =3√2pi(αA2β2N0)N2 (16)où B ≥ α√2. Les élément diagonaux de la MFIM sont cal-culés de façon similaire avec λi = λj = T pour [IM (λ)]11 etλi=λj=τ pour [IM (λ)]22. La MFIM IM (λ) s’écrit alorsIM (λ) = 3√2pi(αA2β2N0)[N33N22N22N]. (17)Cette expression peut être utilisée pour calculer la MCRB con-jointe pour l’estimation de (T, τ), pour l’estimation de τ (avecT connu) et pour l’estimation de T (avec τ connu). Ces résul-tats sont présentés dans les sections suivantes.  √MCRBRMSE√MCRBcRMSEc√MCRBetRMSE[µs]C/N0[dB Hz]Estimation de TEstimation de τ30 40 50 60 7010−310−210−1100101102(a) Tr = 50 µs.  √MCRBRMSE√MCRBcRMSEc√MCRBetRMSE[µs]C/N0[dB Hz]Estimation de TEstimation de τ30 40 50 60 7010−310−210−1100101102(b) Tr = 250 µs.FIGURE 3 – Performance d’estimation du TOA et de T pour les temps de montée minimum (a) et maximum (b) autorisés.3.1 Estimation conjointe de (T, τ)La diagonale de I−1M (λ) définit les MCRBs de T et de τ dansle cas de l’estimation conjointe de ces paramètres. À partir deI−1M (λ) = 4√pi2(N0αA2β2N3)[1 −N2−N2N23](18)on obtient, pour B ≥ α√2,MCRBc(T ) = 4√pi21αβ2(CN0)N3, (19)MCRBc(τ) =43√pi21αβ2(CN0)N(20)où C = A2 et l’indice c indique une estimation conjointe deT et de τ . Ces expressions montrent qu’un plus grand rapportC/N0 donne des résultats plus précis. De plus, en augmentantα (en réduisant le temps de montée), où en augmentant β (l’am-plitude de l’impulsion en phase), on obtient des impulsions plusabruptes et de meilleures estimations. La MCRB de T est in-versement proportionnelle à N3, ce qui est classique pour unrythme symbole [9, 10]. La MCRB pour τ est inversement pro-portionnelle à N , ce qui est aussi un résultat classique (voir desbornes similaires dans [4]).3.2 Estimation de T pour τ connuL’inversion de [IM (λ)]11 dans (17) donne la borne modifiéepour un estimateur de T pour une valeur de τ connueMCRB(T ) =√pi21αβ2(CN0)N3(21)où B ≥ α√2. Par rapport à (19), on note une perte de perfor-mance de l’estimation de T lorsque τ est estimé, soit :MCRBc(T ) = 4MCRB(T ). (22)3.3 Estimation de τ pour T connuL’inversion de [IM (λ)]22 dans (17) donne la borne modifiéepour un estimateur de τ pour une valeur de T connueMCRB(τ) =13√pi21αβ2(CN0)N(23)où B ≥ α√2. En comparaison avec (20), la perte de perfor-mance liée à l’estimation de τ lorsque T est estimée estMCRBc(τ) = 4MCRB(τ) (24)qui sera vérifiée dans la partie suivante dédiée aux simulations.4 Résultats de simulationDans cette partie, les bornes déterminées dans la section pré-cédente sont comparées avec les erreurs quadratiques moyen-nes d’estimateurs calculées à partir de 1000 messages de dé-tresse simulés. L’estimation de T et de τ est réalisée par uneméthode de rééchantillonnage adaptée de [11], en exploitant lacyclostationnarité du signal et la symétrie de l’impulsion g(t).Plus précisément, l’intégration d’une séquence d’impulsions deManchester produit une somme de fonctions triangulaires si-tuées aux instants kT , k = 1, . . . , N , qui sont concaves ouconvexes suivant la valeur de bits d’information bn. Ceci estréalisé pour différents valeurs de τ et de T suivant une grillepré-spécifiée avec une résolution suffisante (40 valeurs pour Tet 40 valeurs pour τ ) afin d’assurer une bonne performanced’estimation. Puis, la valeur de λ = (T, τ)T qui maximiseune fonction de contraste définie dans [11] est retenue pourconstruire λ̂.Les paramètres de simulation correspondant aux spécifica-tions du système [5] sont regroupés dans le Tableau 1. La Fi-gure 3 compare la racine carrée des MCRBs avec celle deserreurs quadratiques moyennes (ou RMSE pour Root MeanSquare Errors) de τ et T pour Tr = 50 µs et Tr = 250 µsTABLE 1 – Paramètres de la simulationParamètre Symbole Valeur UnitéRythme Symbole Rs 404 symboles/sNombre de symboles N 144 symbolesIndice de modulation β 1.1 radiansLargeur de bande B α√2 Hz(valeurs minimum et maximum permises pour le signal de dé-tresse). Comme prévu, des résultats plus précis sont obtenuspour un Tr plus court (Fig. 3(a)). Les RMSEs des estimateurssont proches des bornes correspondantes, ce qui signifie unebonne performance. Ces courbes sont utiles pour évaluer la per-formance du système pour différentes valeurs des paramètres.5 ConclusionDans cet article, nous avons déterminé des expressions ana-lytiques pour les bornes de Cramér-Rao modifiées de la pé-riode symbole et du temps d’arrivée d’un signal de détressedu système Cospas-Sarsat modélisé à l’aide de transitions sig-moïdales. Ces bornes fournissent une référence pour les erreursquadratiques moyennes des estimateurs et peuvent être utiliséespour ajuster certains paramètres du système. Une meilleure pré-cision peut être obtenue, par exemple, en augmentant le nombrede symboles, ou en limitant le temps de montée. Les travauxfuturs pourraient être orientés vers l’estimation des fréquencesd’arrivée, ainsi que de la position de la balise de détresse, entenant compte des paramètres déjà estimés.6 AnnexeDans cette Annexe, nous calculons Ep,n en utilisant (14).À l’aide des transformées de Fourier Pn,T (f) et Pn,τ (f) depn,T (t) et pn,τ (t), on obtientPn,T (f)P∗n,τ (f) = e− 2pi2f2α2[6n+ 3− (4n+ 1)ejpifT− (4n+3)e−jpifT+nej2pifT+(n+1)e−j2pifT ]. (25)Puisque la partie imaginaire de (25) est composée de fonctionsimpaires, son intégrale sur l’intervalle [−B,B] est nulle, doncEp,n= (2n+1)∫ B/2−B/2e−2pi2f2α2 [3−4 cos(pifT )+cos(2pifT )]df.(26)En utilisant l’identité suivante, [12, p. 108]∫ B2−B2e−2pi2f2α2 cos(2pifx)df=αe−x2α22√2piRe[erf(piB+jxα2α√2)](27)l’expression (26) devientEp,n = (6n+3)α√2piRe[erf(piBα√2)](28)− (8n+4) α√2pie−T 2α28 Re[erf(piB + j(T/2)α2α√2)]+ (2n+1)α√2pie−T 2α22 Re[erf(piB+jTα2α√2)].Une approximation peut alors être utilisée. En effet, en consi-dérant la valeur de Tr du signal modulé et les spécifications durythme symbole, on ae−T 2α28∣∣∣Tr=250 µsT=0.0025 s= 4.2163× 10−30. (29)En conséquence, les deux termes e−T2α22 et e−T2α28 dans (28)peuvent être négligés, conduisant au résultatEp,n ≈ (6n+3) α√2piRe[erf(piBα√2)]. (30)D’autre part, pour B ≥ α√2, on a erf(Bpiα√2)∈ [erf(pi), 1].Puisque erf(pi) = 99.9991%, on obtient l’approximation finaleEp,n =3α√2pi(2n+ 1), B ≥ α√2. (31)Références[1] Cospas-Sarsat Council, “Cospas-Sarsat 406 MHz MEOSARImplementation Plan,” Tech. Rep. R.012, Issue 1, COSPAS-SARSAT, Oct. 2011.[2] A. Mehta, “The Int. Cospas-Sarsat Programme : Taking the"search" out of search and rescue,” in Proc. of the Marine Safety& Security Council, 2011, vol. 68, pp. 12–15.[3] P. C. Gomez, C. F. Prades, J. A. F. Rubio, G. S. Granados,and I. Stojkovic, “Design of Local User Terminals for Searchand Rescue Systems with MEO Satellites,” in Proc. of the 2ndESA Workshop on Satellite Navigation User Equipment Tech-nologies (NAVITEC), Noordwijk, The Netherlands, Dec. 2004,ESA/ESTEC.[4] U. Mengali and A. N. D’Andrea, Synchronization Techniquesfor Digital Receivers, Applications of Communications Theory.Plenum Press, 1997.[5] Cospas-Sarsat Council, “Specification for Cospas-Sarsat 406MHz distress beacons,” Tech. Rep. T.001, Issue 3, COSPAS-SARSAT, Oct. 2011.[6] S. M. Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing : Es-timation theory, Prentice Hall, 1993.[7] A. N. D’Andrea, U. Mengali, and R. Reggiannini, “The mo-dified Cramér-Rao bound and its application to synchronizationproblems,” IEEE Trans. Commun., vol. 42, no. 234, pp. 1391–1399, Feb. 1994.[8] J. G. Proakis and M. Salehi, Digital Communications, Mc-GrawHill, Boston, 5th edition, 2008.[9] Y. T. Chan, J. W. Plews, and K. C. Ho, “Symbol rate estimationby the wavelet transform,” in Int. Conf. Circuits and Systems,June 1997, vol. 1, pp. 177–180.[10] Z.-M. Deng and Y. Liu, “Modified Cramér-Rao lower bound forsymbol width estimation from a phase-shift-keying signal,” J.on Commun., vol. 30, no. 2, pp. 117–121, Sept. 2009.[11] S. Houcke, A. Chevreuil, and P. Loubaton, “Blind equalization- Case of an Unknown Symbol Period,” IEEE Trans. SignalProcess., vol. 51, no. 3, pp. 781 – 793, March 2003.[12] I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik, A. Jeffrey, and D. Zwillinger,Table of Integrals, Series and Products, Academic Press, 2007.

http://oatao.univ-toulouse.fr/12731/1/bissoli_12731.pdf

Bornes de Cramér-Rao modifiées pour le temps d'arrivée et la période symbole. Application aux signaux de recherche et de sauvetage

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