National audienceUne instance CSP binaire qui satisfait la propriété des triangles cassés (BTP) peut etre résolue en temps polynomial. Malheureusement, en pratique, peu d'ins-tances satisfont cette propriété. Nous montrons qu'une version locale de BTP permet de fusionner des valeurs dans les domaines d'instances binaires quelconques. Des expérimentations démontrent la diminution significative de la taille de l'instance pour certaines classes de pro-bì emes. Ensuite, nous proposons une généralisation de cette fusion a des contraintes d'arité quelconque. En-fin, une version orientée nous permet d'´ etendre la classe polynomiale BTP. Ce papier est un résumé de l'article M. C. Cooper, A. El Mouelhi, C. Terrioux et B. Zanuttini. On Broken Triangles In Proceedings of CP,LNCS 8656, 9–24, 2014

Cooper, Martin

El Mouelhi, Achref

Terrioux, Cyril

Zanuttini, Bruno

Scientific Publications of the University of Toulouse II Le Mirail

Autour des Triangles Cassés

HAL AMU

HAL - Normandie Université

Une instance CSP binaire qui satisfait la propriété  des triangles cassés (BTP) peut être résolue en temps  polynomial. Malheureusement, en pratique, peu d'instances satisfont cette propriété. Nous montrons qu'une version locale de BTP permet de fusionner des valeurs dans les domaines d'instances binaires quelconques. Des expérimentations sur des instances benchmarks démontrent la diminution significative de la taille de l'instance pour certaines classes de problèmes. Nous montrons que cette fusion peut être gén éralisée aux instances ayant des contraintes d'arité quelconque et nous  étudions les liens avec la résolution dans SAT. Une version orientée nous permet ensuite d'étendre la classe polynomiale BTP précédemment définie pour les CSP binaires. Ce papier est un résume de l'article M. C. Cooper,  A. El Mouelhi, C. Terrioux et B. Zanuttini. On Broken  Triangle In Proceedings of CP, LNCS 8656, 9-24, 2014

Cooper, Martin C.

Open Archive Toulouse Archive Ouverte

     Open Archive TOULOUSE Archive Ouverte (OATAO)  OATAO is an open access repository that collects the work of Toulouse researchers and makes it freely available over the web where possible.  This is an author-deposited version published in : http://oatao.univ-toulouse.fr/ Eprints ID : 15301 The contribution was presented at JFPC 2015:  http://jfpc2015.labri.fr/  To cite this version : Cooper, Martin and El Mouelhi, Achref and Terrioux, Cyril and Zanuttini, Bruno Autour des Triangles Cassés. (2015) In: 11eme Journees Francophones de Programmation par Contraintes (JFPC 2015), 22 June 2015 - 24 June 2015 (Bordeaux, France). Any correspondence concerning this service should be sent to the repository administrator: staff-oatao@listes-diff.inp-toulouse.fr Autour des Triangles Casse´s ∗Martin C. Cooper1 Achref El Mouelhi2 Cyril Terrioux2 Bruno Zanuttini31 IRIT, Universite´ de Toulouse III, 31062 Toulouse, France2 LSIS, Aix-Marseille Universite´, 13397 Marseille, France3 GREYC, Normandie Universite´, 14032 Caen, Francecooper@irit.fr {achref.elmouelhi, cyril.terrioux}@lsis.orgbruno.zanuttini@unicaen.frRe´sume´Une instance CSP binaire qui satisfait la proprie´te´des triangles casse´s (BTP) peut eˆtre re´solue en tempspolynomial. Malheureusement, en pratique, peu d’ins-tances satisfont cette proprie´te´. Nous montrons qu’uneversion locale de BTP permet de fusionner des valeursdans les domaines d’instances binaires quelconques. Desexpe´rimentations de´montrent la diminution significativede la taille de l’instance pour certaines classes de pro-ble`mes. Ensuite, nous proposons une ge´ne´ralisation decette fusion a` des contraintes d’arite´ quelconque. En-fin, une version oriente´e nous permet d’e´tendre la classepolynomiale BTP.Ce papier est un re´sume´ de l’article M. C. Cooper,A. El Mouelhi, C. Terrioux et B. Zanuttini. On BrokenTriangles. In Proceedings of CP,LNCS 8656, 9–24, 2014.AbstractA binary CSP instance satisfying the broken-triangleproperty (BTP) can be solved in polynomial time. Unfor-tunately, in practice, few instances satisfy the BTP. Weshow that a local version of the BTP allows the mergingof domain values in arbitrary instances of binary CSP.Experimental trials demonstrate a significant decreasein instance size for certain classes of problems. Thenwe propose a generalization of this merging to instanceswith constraints of arbitrary arity. Finally, a directionalversion allows us to extend the BTP tractable class .This is a summary of the paper M. C. Cooper, A.El Mouelhi, C. Terrioux et B. Zanuttini. On Broken Tri-angles. In Proceedings of CP,LNCS 8656, 9–24, 2014.1 Fusion de valeurs pour les CSP binairesNous conside´rons ici une nouvelle ope´ration de re´-duction de domaines, qui au lieu d’e´liminer des valeurs∗Ce travail est soutenu par l’Agence Nationale de la Re-cherche dans le cadre du projet TUPLES (ANR-2010-BLAN-0210).comme le ferait une ope´ration classique comme la co-he´rence d’arc ou la substitution de voisinage, fusionnedes valeurs issues d’un meˆme domaine d’un CSP bi-naire. Nous rappelons qu’un CSP binaire est de´fini parun ensemble X de n variables, un domaine D(x) devaleurs possibles pour chaque variable x ∈ X et unerelation Rxy ⊆ D(x)×D(y) pour chaque couple de va-riables distinctes x, y ∈ X, qui repre´sente l’ensembledes couples (a, b) de valeurs compatibles pour (x, y).La fusion de deux valeurs a, b ∈ D(x) d’un CSPbinaire consiste a` remplacer a et b dans D(x) parune nouvelle valeur c qui est compatible avec toutesles valeurs des autres variables compatibles avec a oub. Une condition de fusion de valeurs pour les va-leurs a, b ∈ D(x) d’une instance I est une proprie´te´P (x, a, b) calculable en temps polynomial telle que, sila proprie´te´ est vraie, alors l’instance I ′ obtenue a` par-tir de I en fusionnant a, b ∈ D(x) est satisfiable ssi Iest satisfiable.Nous de´finissons une condition de fusion de valeursbase´e sur la proprie´te´ BTP [1]. Un triangle casse´ surdeux valeurs a, b ∈ D(x) se de´finit par un couple devaleurs d ∈ D(y), e ∈ D(z) de deux variables diffe´-rentes y, z ∈ X \{x} tel que (a, d) /∈ Rxy, (b, d) ∈ Rxy,(a, e) ∈ Rxz, (b, e) /∈ Rxz et (d, e) ∈ Ryz (voir figure 1).✎✍☞✌•✎✍☞✌•✎✍☞✌••❤❤❤❤❤❤❆❆❆❆xabydze ✜✜✜✜✜Figure 1 – Un triangle casse´ sur deux valeurs a, bd’une variable x donne´e.Proposition 1 L’absence de triangle casse´ sur a et best une condition de fusion de valeurs.La re`gle de fusion de´finie par la proposition 1 ge´ne´-ralise la substitution de voisinage [3] et l’interchangea-bilite´ virtuelle [4]. Par ailleurs, en plus de conserver lasatisfiabilite´, elle permet de reconstruire en temps po-lynomial toutes les solutions de I a` partir des solutionsd’une instance If obtenue en appliquant a` I une suitede fusions. A` noter que la reconstruction d’une solu-tion de I a` partir d’une solution de If peut s’effectueren temps line´aire dans la taille de l’instance I.Des expe´rimentations mene´es sur plus de 2 300 ins-tance de la compe´tition 1 de solvers de 2008 ont montre´que pour 10 % des instances, cette re`gle s’ave`re tre`sefficace avec au moins 40 % de valeurs fusionne´es.2 Extension aux CSP d’arite´ quelconqueNous ge´ne´ralisons maintenant la fusion de valeursaux CSP d’arite´ quelconque. Une instance CSP d’arite´quelconque I est de´finie par un ensemble X de n va-riables, un domaine D(x) de valeurs possibles pourchaque variable x ∈ X et un ensemble NoGoods(I)de tuples incompatibles. La fusion de deux valeursa, b ∈ D(x) d’un CSP d’arite´ quelconque consiste a`remplacer a et b dans D(x) par une nouvelle valeurc qui est compatible avec tout tuple compatible aveca ou b. L’ensemble de nogoods de l’instance I ′ ainsiobtenue est donc de´fini par :NoGoods(I ′) = {t ∈NoGoods(I) | 〈x, a〉, 〈x, b〉 /∈ t}∪ {t ∪ {〈x, c〉} | t ∪ {〈x, a〉} ∈NoGoods(I) ∧∃t′ ∈NoGoods(I) t.q. t′ ⊆ t ∪ {〈x, b〉}}∪ {t ∪ {〈x, c〉} | t ∪ {〈x, b〉} ∈NoGoods(I) ∧∃t′ ∈NoGoods(I) t.q. t′ ⊆ t ∪ {〈x, a〉}}.Nous pouvons alors de´finir une condition de fusionde valeurs base´e sur une ge´ne´ralisation des trianglescasse´s. Un triangle casse´ d’arite´ ge´ne´rale sur deux va-leurs a, b ∈ D(x) est de´fini par un couple de tuplest, u ne contenant pas d’affectation de la variable x etsatisfaisant les conditions suivantes :1. Good(I, t ∪ u) ∧ Good(I, t ∪ {〈x, a〉}) ∧Good(I, u ∪ {〈x, b〉})2. t ∪ {〈x, b〉} ∈ NoGoods(I) ∧ u ∪ {〈x, a〉} ∈NoGoods(I)ou` Good(I, t) est un pre´dicat qui est vrai ssi t necontient pas deux affectations diffe´rentes d’une meˆmevariable et ∄t′ ⊆ t tel que t′ ∈ NoGoods(I).Proposition 2 L’absence de triangle casse´ d’arite´ ge´-ne´rale sur a et b est une condition de fusion de valeurs.Comme dans le cas binaire, une solution de I peuteˆtre calcule´e en temps line´aire a` partir d’une solutiond’une instance If obtenue en appliquant a` I une suitede fusions.Notons qu’il existe un lien the´orique entre la fusionde valeurs ne posse`dant pas de triangle casse´ d’arite´quelconque et la re´solution exploite´e dans SAT.1. http://www.cril.univ-artois.fr/CPAI083 Une nouvelle classe polynomialeA` l’image de la proprie´te´ BTP dans le cas des CSPbinaires, nous pouvons conside´rer la notion de trianglecasse´ d’arite´ ge´ne´rale selon un ordre total < sur les va-riables. Un triangle casse´ directionnel d’arite´ ge´ne´ralesur deux valeurs a, b ∈ D(x) d’une instance I est uncouple de tuples t, u ne contenant pas d’affectation dela variable x et satisfaisant les conditions suivantes :1. t<x et u<x ne sont pas vides2. Good(I, t<x ∪ u<x) ∧ Good(I, t<x ∪ {〈x, a〉})∧ Good(I, u<x ∪ {〈x, b〉})3. ∃t′ t.q. V ars(t′) = V ars(t) ∧ (t′)<x = t<x ∧t′ ∪ {〈x, a〉} /∈ NoGoods(I)4. ∃u′ t.q. V ars(u′) = V ars(u) ∧ (u′)<x = u<x ∧u′ ∪ {〈x, b〉} /∈ NoGoods(I)5. t ∪ {〈x, b〉} ∈ NoGoods(I) ∧ u ∪ {〈x, a〉} ∈NoGoods(I)avec t<x le tuple restreint aux variables pre´ce´dant xdans l’ordre < et V ars(t) l’ensemble des variables surlesquelles porte t. I satisfait la proprie´te´ des trianglescasse´s directionnels d’arite´ quelconque (DGABTP) se-lon l’ordre sur les variables < s’il n’existe aucun tri-angle casse´ directionnel sur a, b pour tout couple a, bde n’importe quelle variable x.Cette proprie´te´ permet de de´finir une nouvelle classepolynomiale quand l’ordre sur les variables est connu.The´ore`me 1 Le proble`me de satisfiabilite´ est polyno-mial pour les instances CSP satisfaisant la proprie´te´DGABTP selon un ordre fourni avec la donne´e du pro-ble`me.La reconnaissance de la classe DGABTP requiertdonc de de´terminer s’il existe un ordre sur les variablesselon lequel l’instance CSP conside´re´e satisferait laproprie´te´ DGABTP. Si dans le cas des CSP binaires,ce proble`me peut se re´soudre en temps polynomial, ildevient malheureusement NP-complet dans les cas desCSP d’arite´ quelconque.Enfin, nous pouvons de´montrer que les classesDGABTP et DBTP (pour Dual Broken Triangle Pro-perty [2]) sont incomparables.Re´fe´rences[1] M. C. Cooper, P. G. Jeavons, et A. Z. Salamon. Genera-lizing constraint satisfaction on trees : Hybrid tractabilityand variable elimination. Artificial Intelligence, 174(9-10),570–584, 2010.[2] A. El Mouelhi, P. Je´gou et C. Terrioux. A Hybrid TractableClass for Non-Binary CSPs. In ICTAI, 947–954, 2013.[3] E. C. Freuder. Eliminating interchangeable values inconstraint satisfaction problems. In AAAI, 227–233, 1991.[4] C. Likitvivatanavong et R. H.C. Yap. Eliminating redun-dancy in CSPs through merging and subsumption of do-main values. ACM SIGAPP Applied Computing Review,13(2), 2013.

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