В роботі представлені результати числового аналізу дифракції оптичних хвиль поперечної магнітної (ТМ) поляризації на гратках при наявності резонансу електромагнітного поля. Використано RCWA, в якому модифікована система рівнянь. Модифікація полягає в тому, що у системі диференціальних рівнянь змінені матриці Теплиця, які формуються на основі комплексних рядів Фур’є періодичної функції діелектричної проникності гратки та оберненої їй функції. Прямокутна функція зміни діелектричної проникності на періоді замінена на функцію трапеції, проте рельєф гратки лишається прямокутним. Така заміна функції діелектричної проникності точніше відповідає реальним граткам. Виявлено зменшення осциляцій коефіцієнтів відбивання та пропускання в залежності від кількості використаних зв’язаних хвиль та кращу збіжність результатів розрахунку для видозміненої системи рівнянь, особливо для металевих граток на діелектричних підкладках, в яких може спостерігатися резонанс локалізованих плазмонів, або резонанс електромагнітного поля в щілині гратки. Показано, що для діелектричних граток, розташованих на металевій підкладці, немає ні покращення ні погіршення збіжності при використанні модифікованої системи рівнянь в порівнянні з традиційним розкладом діелектричної проникності в ряд Фур’є. Для структури металева гратка на металевій підкладці досліджувався резонанс поверхневих плазмон-поляритонів, при виникненні якого коефіцієнт відбивання від гратки рівний нулю. Тут виникає особливо складна залежність коефіцієнта відбивання від кількості використаних зв’язаних хвиль при аналізі для обох модифікацій систем рівнянь. Спостерігаються сильні осциляції коефіцієнта відбивання від гратки при певних значеннях зв’язаних хвиль, які з їх ростом зменшуються.Results of a numerical analysis of the diffraction of optical waves of transverse magnetic (TM) polarization on gratings under the electromagnetic field resonance conditions are presented. Rigorous coupled wave analysis (RCWA) with modified equation system has been used. Modification is in change of the Toeplitz matrices in differential equation systems. These matrices are formed by complex Fourier series of a periodic function of the dielectric permittivity and its inversed function. Rectangular function of the dielectric permittivity per one period is changed by trapezoidal function; however, grating relief remains rectangular. Such replacement of the dielectric permittivity function more precisely corresponds to actual gratings. Oscillations of the reflectance and transmittance depending on the number of used coupled waves were reduced using modified equation system. Moreover, there is better convergence, especially in case of metallic gratings on the dielectric substrates, in which the localized plasmon resonance or the electromagnetic field resonance can occur in the grating slit. Any changes of the convergence with the use of modified systems of equations are not present in the case of dielectric gratings on the metallic substrates in comparison to the traditional expansion of the dielectric constant into a Fourier series. Surface plasmon-polariton resonance of a metal grating on metal substrate in case of which the reflectance from the grating is equal to zero was researched. There is a particularly complicated dependence of the reflectance on the number of coupled waves used in the analysis for both modifications of the equation system. Strong oscillations of the reflection coefficient from the grating are observed at certain values of coupled waves, which decrease with their growth
