We propose a dynamic measure of extremal connectedness across investment styles
of hedge funds. Using multivariate extreme value regression techniques, we estimate
this measure conditional on factors reflecting the economic uncertainty and the state
of the  financial markets, and derive several systemic risk indicators. Empirically,
we study the dynamics of tail dependencies between investment strategies in the
HFR database. We show that during crisis periods, some pairs of strategies display
an increase in their extremal connectedness. Our results highlight that a proactive
regulatory framework should account for the dynamic nature of the tail dependence
and its link with financial stres

Hambuckers, Julien

Lambert, Marie

Mhalla, Linda

Russian

Open Repository and Bibliography - Liège

Extremal connectedness and systemic risk of hedge funds

Гилевский, С. В.

Коржуков, П. П.

Электронная библиотека БГУ

С. В. ГИЛЕВСКИЙ, П. П. КОРЖУКОВ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРЕНДА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМОВ
Работа сложных динамических систем различной физической приро­
ды (особенно силовых агрегатов продукции машиностроения) сопровож­
дается, как правило, стохастическими процессами, которые характери­
зуют их состояние. На сегодняшний момент известны модели и методы, 
которые описывают наблюдаемые процессы в машиностроении (шумы и 
вибрации), в медицине (электрокардиограммы и электроэнцефалограм­
мы), в геофизике (сейсмограммы) и др. Проведено много работ по созда­
нию аппаратных и программных средств диагностирования состояния 
таких сложных систем в указанных областях. Однако полученные теоре­
тические и практические результаты применимы лишь для ограниченно­
го класса диагностических процессов при условии их стационарности, в 
то время как именно нестационарные процессы характеризуют моменты 
наступления тех или иных отклонений в состоянии контролируемой сис­
темы.
На сегодняшний день не существует единой методики, в рамках 
которой можно анализировать нестационарный случайный процесс 
любого типа, пользуясь единичной его реализацией. Потому для анализа 
нестационарных процессов приходится разрабатывать специальные 
методы, применимые только к отдельным классам нестационарных 
процессов [1, 2, 3].
Важным этапом анализа нестационарных случайных процессов 
является определение тренда [1, 2]. Под трендом обычно понимают ад­
дитивную составляющую процесса, период которой сравним с длиной 
реализации. Во многих случаях исключение тренда из исходных данных 
является необходимым требованием для получения неискаженных 
данных при последующем анализе. Кроме того, существует ряд задач, в 
которых знание тренда желательно само по себе. В некоторых случаях 
исходные данные для анализа могут содержать посторонние случайные 
тренды. Обычными источниками таких трендов служат дрейф нуля 
регистрирующей аппаратуры и операции интегрирования сигнала. 
Соответственно, при последующей обработке данных в оценках 
корреляционных функций и спектральных характеристик могут быть 
внесены сильные искажения. В частности, совершенно недостоверной 
окажется оценка спектральной плотности на низких частотах.
Классическим способом определения тренда является метод наи­
меньших квадратов [1,2]. Так, еслиДх) -  функция исследуемого процес­
67
са, заданная на промежутке (а, Ь), то в методе наименьших квадратов она 
представляется следующей приближающей функцией:
рк ( х ) = □ CkOk’
k =О
где базисные функции j jk = x k .
Выполнение условия равенства нулю разницы исследуемого сигнала и 
приближающей функции для любого значения х невозможно в силу ко­
нечного значения степени аппроксимирующего полинома К. Тем не ме­
нее, коэффициенты с* подбирают таким образом, чтобы сумма квадратов 
отклонений искомого полинома от значений аппроксимируемой функ­
ции во всех точках промежутка (а, Ь) была насколько возможно меньше. 
Приближение многочленами дает систему линейных алгебраических 
уравнений, а, увеличивая степень аппроксимирующего многочлена К, 
необходимо пересчитывать все коэффициенты. Приближение другими 
функциями, отличными от полиномов, приводит к решению нелинейных 
алгебраических и трансцендентных уравнений, что влечет за собой в 
практическом аспекте большие вычислительные затраты.
Процедура определения тренда нестационарного процесса методом 
наименьших квадратов значительно упрощается, когда система функций 
Ш х) ортогональна. Приближающая функция тогда имеет вид 
FK(x) = Щ (х )  + ... +hKUK(x),
ь
где hk = ^ y  (x)0k (х)p(x )dx , р(х)~  весовая функция разложения;
а
hk-  значения коэффициентов ск, для которых квадрат разности значений 
исходной и приближающей функций достигает минимума.
Преимущество использования системы ортогональных полиномов за­
ключается в том, что не требуется пересчитывать коэффициенты при 
улучшении аппроксимации путем увеличения степени аппроксимирую­
щего полинома К.
Система полиномов g„(x) (п=0, 1, 2, ...) называется ортогональной в 
промежутке (а ,Ь) с весом р(х), если при всяком т [] п имеет место сле­
дующее равенство:
ъ
\ y ( x ) g m(x)g„(x)dx = О,
а
где р(х) -  некоторая фиксированная неотрицательная функция, не зави­
сящая от индексов т и п .  Среди систем ортогональных полиномов обыч­
но рассматриваются системы, называемые классическими, к числу кото­
68
рых чаще всего относятся полиномы: Чебышева, Лежандра, Якоби, Ла- 
герра, Эрмита [4-9].
Система полиномов Чебышева первого рода на промежутке (-1,1) оп­
ределяется дифференциальным весом
р(х) = l/V lQ x 2 .
Положив Т„(х) = cos(п arcos(x)), ортонормированная система полиномов 
Чебышева первого рода задается равенствами
т0( х ) = ( 1 / 4 а ш х ) ,
Тп (х) = -Jl/OТп (х) = -J2/0 cos(warccosx), п=  1 ,2 ,. ..  .
Рекуррентное соотношение, связывающее три последовательных по­
линома Чебышева:
Тп+i(x) = 2x7; (х) □ Тп[]1(х ) .
Это равенство может быть использовано для последовательного вычис­
ления рассматриваемых полиномов.
Система полиномов Чебышева второго рода определяется на том же
промежутке (-1, 1), но с весом р(х) = л/l П х 2 , и задается равенством
тт sin(w + l)arccos(x)
п( ) = ----------i = r -------- ’ « - 0 , 1 , 2 , . . . .
V 1 □ х
Заметим, что полиномы U„(x) являются, не считая постоянных множи­
телей, производными от полиномов T„+i(x):
и п ( х ) = —Ц-7Д-1 ( х ) = А ----- [о  + Vx2 D1)”+1 □ (х □ л/х2 □ 1)и+1 ].
« + 1 2л/х Q 1
Полиномы и„(х) удовлетворяют тому же рекуррентному соотношению, 
что и полиномы Т„(х) первого рода.
Полиномы Лежандра на интервале ортогональности: (-1, 1) с весом 
р(х) = 1 для любых вещественных или комплексных значений перемен­
ной х определяются при помощи формулы
Х п(х) = ^ г - ^ — (х2т)" ,  п =  0 , 1 , 2 , . . . .
2 п\ ах
Откуда получается общее выражение для полинома и-го порядка:
Х п(х) =
«□
?1 ггт*
□
(D1) (2п[]2к)\ Xn\xik
к=о 2пк(п П к)\(п П 2к)\ 
где обозначение \JJ] -  целая часть числа О-
69
Имеет место следующее рекуррентное соотношение:
2п + 1 п
Х П+1W  = — —г х Х п(х) □ —— Х и[]1(х ). 
п + 1 п + 1
Ортонормированная система полиномов Лежандра определяется фор­
мулой
Для изучения точности определения тренда использовались прибли­
жающие полиномы от нулевой до десятой степени при длине реализации 
нестационарного процесса N=  1024 дискретных отсчета. Проведенные 
исследования на моделях нестационарных процессов с различными ви­
дами тренда (низкочастотный, синусоидальный и экспоненциальный) 
показали, что метод наименьших квадратов дает достаточно хорошее 
приближение как при использовании обыкновенных, так и ортогональ­
ных полиномов. При этом среднее значение ошибки определения тренда 
практически не зависит от степени аппроксимирующего полинома 
при К  > 5, а дисперсия ошибки растет с увеличением степени 
аппроксимирующего полинома. Поэтому при определении тренда 
методом наименьших квадратов не рекомендуется использовать большие 
степени (больше 8) приближающих многочленов.
Проведен анализ вычислительных затрат на процесс при определении 
тренда методом наименьших квадратов с обыкновенными и 
ортогональными полиномами. Поскольку операции сложения занимают 
сравнительно мало процессорного времени и существенно на общую 
картину не влияют, статистика по ним не учитывалась. На рис. 1 
приведено количество операций умножения в зависимости от степени 
приближающего полинома для четырех видов полиномов. Видно, что 
начиная с первой степени число операций умножения для метода 
наименьших квадратов как с обыкновенными, так и с ортогональными 
полиномами растет линейно. Но уже при переходе к пятой степени 
апроксимация обыкновенными полиномами требует значительно больше 
операций умножения, чем использование ортогональных полиномов. 
Заметим, что практически одинаково работают полиномы Чебышева 
второго рода и полиномы Лежандра. Чем больше степень 
аппроксимирующего полинома, тем больше разница между количеством 
операций умножения метода наименьших квадратов с обыкновенными и 
ортогональными полиномами. Однако следует учитывать, что при 
увеличении степени полиномов растет дисперсия ошибки определения 
тренда процесса.
70
Рис. 1. Количество операций умножения в зависимости от степени прибли­
жающего полинома для обычных полиномов МНК (7), Чебышева 1 рода (2), 
Чебышева 2 рода (3) и Лежандра (4)
Проведенное сравнение вычислительных затрат доказывает, что 
использование в методе наименьших квадратов ортогональных 
полиномов, практически не изменяя статистических характеристик опре­
деления тренда, значительно уменьшает количество операций 
умножения, что имеет важное практическое применение, так как позво­
ляет увеличить диапазон реального масштаба времени при обработке не­
стационарных процессов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бепдат Дж., Пирсон А. X. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир, 
1974. 464 с.
2. Бепдат Дж., Пирсон А. X. Прикладной анализ случайных данных. М.: Мир, 1989. 
540 с.
3. Цветков Э. И. Нестационарные случайные процессы и их анализ. М.: Энергия, 
1973. 129 с.
4. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. М.: Мир, 
1980. 608 с.
5. Кори Г. А., Кори Т. М. Справочник по математике для научных работников и ин­
женеров. М.: Наука, 1974. 832 с.
6. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. М .-Л .: Физматгиз, 1963. 
358 с.
7. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математиче­
скими таблицами. Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.
8. ГероиимусЯ. Л. Теория ортогональных многочленов. М.: Гостехиздат, 1950. 164 с.
9. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 с.
71

