Dans cet article, on étudie le processus avec mémoire défini par : [chi]n+1 = [florin]([alpha]xn + (1 − [alpha])[chi]n−1) où [florin] est l’application tente, 0 < [alpha] < 1 et
[chi]i ∈ [0,1]. On voit que dans le cas [alpha] = 1/2, tous les points sont de période
trois ou le seront éventuellement sauf pour deux points fixes. On termine en
présentant des conjectures énoncées par P. Góra dont certaines qui ne sont
pas prouvées actuellement pour [alpha (n'est) pas égal à] 1/2. [Symboles non conformes

Frappier, Mathieu

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 (Cahiers Mathématiques de l’Université de Sherbrooke)        Titre :    Itérations d’un processus avec mémoire défini par l’application tente  Auteur(s) :   Mathieu Frappier Revue :   CaMUS (Cahiers Mathématiques de l’Université de Sherbrooke) Volume :   6 Année :   2018 Pages :   1-11 Éditeur :   Université de Sherbrooke. Département de Mathématiques URI :   Repéré à : http://camus.math.usherbrooke.ca/revue.html    Page vide laissée intentionnellement  C US 6, 1 – 11Itérations d’un processus avec mémoiredéfini par l’application tenteMathieu FrappierReçu le 2016-06-27 et accepté le 2016-10-02Résumé Dans cet article, on étudie le processus avec mémoire défini par :xn+1 = f(αxn + (1 − α)xn−1) où f est l’application tente, 0 < α < 1 etxi ∈ [0,1]. On voit que dans le cas α =12, tous les points sont de périodetrois ou le seront éventuellement sauf pour deux points fixes. On termine enprésentant des conjectures énoncées par P. Góra dont certaines qui ne sontpas prouvées actuellement pour α Ó= 12.1 IntroductionL’étude des systèmes dynamiques intéresse les mathématiciens depuis le dix-septième siècle. Au départ, Isaac Newton s’y intéressait pour décrire des proces-sus qui évoluent dans le temps. Ils étaient souvent modélisés par des équationsdifférentielles. Au fil des siècles, certains mathématiciens ont fait des découvertesimportantes. Par exemple, en 1963 Edward Lorenz a modélisé des phénomènesmétéorologiques à l’aide d’un système d’équations différentielles. Il a découvertce que l’on appelle l’attracteur de Lorenz. Cet attracteur chaotique a donnénaissance à l’effet papillon. Ce concept n’a pas seulement été apprécié par lesmathématiciens mais par la population en général.Aujourd’hui, on peut rapidement calculer les itérations d’une fonction eton peut aussi visualiser facilement l’évolution d’un système avec les nouvellestechnologies. Bien qu’on possède ces outils, l’étude des systèmes dynamiques esttoujours pertinente : On peut y trouver des applications dans plusieurs domainesdont en physique, en écologie, en finance, etc.2 DéfinitionsCommençons par énoncer quelques définitions élémentaires tirées des livres deDevaney [Dev92], [Dev03] et reprises dans [Rob95].Je tiens à remercier le CRSNG pour son financement et M. Tomasz Kaczynski professeurà l’Université de Sherbrooke pour la supervision de mon stage de recherche et pour l’aide qu’ila apportée à la rédaction de cet article.c©Université de Sherbrooke2  	  			   Définition 2.1. Un système dynamique est un ensemble de composants en in-teraction. Il est souvent régi par un système d’équations différentielles décrivantleur mouvement.Dans notre cas, le système dynamique étudié est la suite d’itérations d’unefonction.Intéressons nous à la fonction F (x) = 2 cos(x + 3). Notons sa deuxièmeitération F 2(x) = 2 cos(2 cos(x + 3) + 3) et sa troisième itération F 3(x) =2 cos(2 cos(2 cos(x + 3) + 3) + 3). En général, on note F n(x) la n-ième itérationde F (x). Prendre note que l’exposant ne signifie pas que l’on prend la n-ièmepuissance de F (x) ni sa n-ième dérivée.Définition 2.2. Soit x0 ∈ R, on définit l’orbite de x0 sur F comme la suite depoints x0, x1 = F (x0), x2 = F2(x0), . . . , xn = Fn(x0), . . .Le point x0 est appelé la graine de l’orbite.Définition 2.3. Soit x0 ∈ R, x0 est un point fixe de F ⇔ F (x0) = x0.Définition 2.4. Soit x0 ∈ R, x0 est un point éventuellement fixe deF ⇔ ∃n ∈ N \ {0}tel queF n(x0) = Fn+1(x0).Définition 2.5. Un cycle est une orbite telle que pour x0 ∈ R, Fn(x0) = x0avec n > 0. La plus petite valeur de n est appelée la période.Exemple 2.6. Soit F (x) = −x2 +3x+4, on choisit x0 = −1. Calculons l’orbitede x0. x1 = F (x0) = 0, x2 = F (x1) = 4, x3 = F (x2) = 0. Donc ici, l’orbite dex0 est la suite -1, 0, 4, 0, 4, 0,. . . Elle devient cyclique de période deux.3 Étude du systèmeDans cette section, on présente la solution à un problème qui à été soumis parM. Pawel Góra, professeur à l’Université Concordia, lors de la réunion de laSociété mathématique du Canada en juin 2015. J’y ai travaillé lors d’un stagede recherche supervisé par M. Tomasz Kaczynski. M. Góra et ses collègues ontaussi apporté des solutions de leur côté [GBLP16]. Le problème est :Pour une certaine valeur 0 < α < 1, on considère le processus avec mémoiredéfini par xn+1 = f(αxn + (1 − α)xn−1). On dit que x0 est l’état initial. xn re-présente l’état actuel du processus, xn−1 représente sa plus récente valeur passéeet xn+1 représente sa prochaine valeur future. Plus précisément, on s’intéresseau cas où f est l’application tente.f(x) ={µx si x < 12µ(1 − x) si x ≥ 12M  3On choisi cette application car elle possède plusieurs propriétés intéressantesdans l’étude des systèmes dynamiques chaotiques. En particulier, on peut prou-ver qu’il existe des cycles de période n pour tout n ∈ N \ {0}. On prend µ = 2pour simplifier les calculs et on remarque que le système se comporte de manièretrès différente selon le paramètre α. La prochaine tâche est de montrer que pourα = 12 , la suite des itérations de xn sera éventuellement de période trois saufpour xn = 0 et xn =23 .Pour ce faire, on pose la fonction G et on regarde ses itérations.G : [0,1]2 → [0,1]2G(x,y) Ô→ (y, f(αy + (1 − α)x))(xn, yn) = G(xn−1, yn−1) ⇔ xn = yn−1etyn = f(αyn−1 + (1 − α)xn−1)= f(αxn + (1 − α)xn−1)maisxn+1 = yn ⇒ xn+1 = f(αxn + (1 − α)xn−1).Donc, le problème initial est équivalent aux itérations de l’application G. Ilsvont se comporter de manière semblable. L’avantage avec la fonction G est qu’ilest possible de passer d’un problème de degré deux dans R à un problème dedegré un dans R2.Par la suite, posons : α = 12 , v0 = (x0, y0) avec v0 ∈ [0,1]2. Notons v1 = G(v0),v2 = G(v1) = G2(v0), . . . , vn = (xn, yn) = Gn(v0). On constate que si xi +yi < 1,on prend f(x) = 2x dans l’application tente. Sinon on choisit f(x) = 2(1 − x).Remarquons aussi que (0,0) est un point fixe. C’est-à-dire que pour v = (0,0),on a G(v) = (0,0). Commençons par montrer les propositions suivantes.Proposition 3.1. Si xi + yi ≥ 1, alors xi+n + yi+n ≥ 1 ∀n ∈ N.Démonstration. Si xi + yi ≥ 1, on axi+yi2 ≥12⇒ G(vi) =(yi, f(12yi +12xi))= (yi, 2 − (xi + yi))⇒ xi+1 + yi+1 = yi + 2 − (xi + yi)= 2 − xi≥ 1.Proposition 3.2. Soit v0 Ó= (0, 0) et n ∈ N \ {0}. Si xn + yn < 1 et 1 ≤ i ≤ nalors xi + yi < xi+1 + yi+1.4  	  			   Démonstration. Soit v0 Ó= (0, 0) tel que xi + yi < 1 ∀i = 0, 1, . . . , n. On a que[xi+1yi+1]=[0 11 1] [xiyi]pour i = 0, 1, . . . , npar la définition de G lorsque xi + yi < 1. Donc, on a que[xi+1yi+1]=[0 11 1]i+1 [x0y0]pour i = 0, 1, . . . , n.On observe par récurrence que[0 11 1]i+1=[Fi Fi+1Fi+1 Fi+2]pour i = 0, 1, . . . , n.Où Fi est le i-ième terme de la suite de Fibonacci. On rappelle que la suite deFibonacci est définie comme étant :Fi+2 = Fi+1 + Fi, F0 = 0, F1 = 1, i ≥ 0.Pour i = 1, le résultat est trivial. On suppose que c’est vérifié pour tout i telque i = 0, 1, . . . , n. On a[0 11 1](i+1)+1=[Fi Fi+1Fi+1 Fi+2] [0 11 1]=[Fi+1 F(i+1)+1F(i+1)+1 F(i+1)+2].Ainsi,[xi+1yi+1]=[Fi Fi+1Fi+1 Fi+2]pour i = 0, 1, . . . , n.Donc,(xi+1 + yi+1) − (xi + yi) = Fix0 + Fi+1y0.D’où(xi+1 + yi+1) − (xi + yi) > 0 ∀i = 0, 1, . . . , n si y0 > 0et(xi+1 + yi+1) − (xi + yi) > 0 ∀i = 1, . . . , n si y0 = 0car dans ce cas x0 > 0.Remarque 3.3. Pour la proposition 3.2, on doit prendre i ≥ 1 car dans le cas oùy0 = 0, on obtientG(v0) = G((x0, 0))=(0, f(12x0))= (0, x0)= v1.Alors, x0 + y0 = x1 + y1 = x0. Par contre, dès la prochaine itération on a bienx1 + y1 < x2 + y2.M  5Proposition 3.4. Pour tout v0 Ó= (0, 0), il existe n ∈ N tel que xn + yn ≥ 1Démonstration. Le résultat est trivial par la Proposition 3.2. La suite de Fibo-nacci tend vers l’infini, alors on prend n aussi grand qu’on veut.Remarque 3.5. Lorsqu’on atteint n tel que xn + yn ≥ 1, il n’est plus possible dese servir de la suite de Fibonacci pour définir xn+1.Les Figures 1 et 2 montrent qu’après un certain nombre d’itérations le sys-tème passe au-dessus de la droite x + y = 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1  0  0.20.40.60.81  F   Itérations du point (0,12 ; 0,06). Après quatre itérations le système passeau-dessus de la droite x + y = 1. 0.2 0.4 0.6 0.8 1  0  0.20.40.60.81  F !  Itérations du point (0,06 ; 0,44). Ici, après deux itérations le système passeau-dessus de la droite x + y = 1.Jusqu’à maintenant, on sait que tous les points sous la droite x + y = 1 dans[0,1]2 atteindront celle-ci ou passeront au-dessus après un nombre d’itérationsassez grand sauf pour le cas du point (0, 0). De plus, une fois au-dessus de ladroite il est impossible qu’une itération retourne sous celle-ci. Il ne reste plusqu’à itérer les points (xi, yi) ∈ [0,1]2 tels que xi + yi ≥ 1.6  	  			   Soit v0 = (x0, y0) tel que x0 + y0 ≥ 1.v1 = G(v0) = (y0, 2 − (x0 + y0))v2 =(2 − (x0 + y0), f(2 − x02))= (2 − (x0 + y0), x0)v3 =(x0, f(2 − y02))= (x0, y0)= v0.On vérifie que 3 est le plus petit n tel que Gn(v0) = v0.v0 = G(v0) ⇔ (x0, y0) = (y0, 2 − (x0 + y0))⇔{x0 = y0y0 = 2 − (x0 + y0)⇔{x0 = y0x0 = 2(1 − y0)⇔ x0 = y0 =23⇒ v0 =(23,23)est un point fixe.v0 = G2(v0) ⇔ (x0, y0) = (2 − (x0 + y0), x0)⇔{y0 = x0x0 = 2 − (x0 + y0)⇔ x0 = y0 =23.Donc les points au-dessus de la droite x + y = 1 sont tous de périodes troissauf pour le point fixe(23 ,23).La Figure 3 montre un exemple de point qui une fois que le système passeau-dessus de la droite x + y = 1, il devient de période trois.Proposition 3.6. Les seuls points éventuellement fixes à(23 ,23)sont(23 ,0)et(0, 23).M  7" 0.2 0.4 0.6 0.8 1  0  0.20.40.60.81  F #  Dans la Figure 2, on itère deux fois le point x0 = (0,06; 0,44) et on termine aupoint (0,5; 0,94). Ici, on itère trois fois de plus et on termine encore au point (0,5; 0,94).Démonstration. Soit v = (x, y).Cas x + y ≥ 1 :G(v) = (y, 2 − (x + y)) =(23,23)⇔{y = 232 − (x + y) = 23⇔ x = y =23⇒ Pas de point éventuellement fixepour x + y ≥ 1.Cas x + y < 1 :G(v) = (y, x + y) =(23,23)⇔{y = 23x + y = 23⇔ v =(0,23).Préimage de(0, 23):G(v) =(0,23)⇔{y = 0x + y = 23⇔ v =(23,0).8  	  			   Préimage de(23 , 0):G(v) =(23, 0)⇔{y = 23x + y = 0⇔ v =(−23,23).Ce qui est une contradiction car v ∈ [0,1]2.4 ConclusionComme on a montré au début que la fonction G et le système initial défini parxn+1 = f(αxn + (1 − α)xn−1) sont équivalents, on en tire la même conclusion.Pour α = 12 , on a deux uniques points fixes en (0, 0) et(23 ,23). On a deux pointséventuellement fixes à(23 ,23)soient(0, 23)et(23 , 0). Tous les autres points(x, y) ∈ [0,1]2 sont de période trois ou le seront éventuellement.D’autres conjectures pour α Ó= 12 ne sont toujours pas démontrées et certainesl’ont été [GBLP16]. D’abord, avant de les énoncer, nous devons observer quelquesdéfinitions tirées de [Bog07].Définition 4.1. Une tribu ou σ-algèbre A sur un ensemble X est un ensembletel que :1. A Ó= ∅2. ∀B ∈ A, Bc ∈ A, où B ∈ X et Bc est le complémentaire de B dans X3. si ∀n ∈ N, Bn ∈ A alors⋃n∈NBn ∈ A.Définition 4.2. Une paire (X,A) telle que X est un ensemble et A est uneσ-algèbre des sous-ensembles de X est un espace mesurable.Définition 4.3. Soit (X,A), un espace mesurable. Une application µ à valeursdans R+ est une mesure si :1. µ(∅) = 02. µ est σ-additive. C’est-à-dire que si E1, E2, . . . est une famille dénombrablede parties de X appartenant à A et si ces parties sont deux à deux dis-jointes, alors on a µ(∞⋃i=1Ei)=∞∑i=1µ(Ei).Définition 4.4. Soient µ et ν deux mesures sur un espace mesurable (X, A).On dit que ν est absolument continue par rapport à µ si et seulement si pourtout A tel que A est une partie de X et A ∈ A on a µ(A) = 0 ⇒ ν(A) = 0.M  9Remarque 4.5. Si X est une partie de R2, ce qui est le cas ici, la mesure µ pardéfaut est la mesure de Lebesgue qui compte l’aire de surface d’un ensemble[Bog07]. Alors, une autre mesure ν sur X est dite absolument continue si elleest absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue.Définition 4.6. Soit (X,A) un espace mesurable et f : X → X une fonctionmesurable. Une mesure µ sur (X,A) est dite invariante sur f si pour tout A telque A est une partie de X et A ∈ A on a µ(f−1(A)) = µ(A). Donc, une mesureest invariante si elle est préservée par une fonction.Après ces quelques définitions, tout est en place pour pouvoir énoncer d’au-tres conjectures sur le système étudié.1. Pour 0 < α < 12 l’application G conserve une mesure invariante absolumentcontinue.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1  0  0.20.40.60.81  F $  25 itérations du point (0,06; 0,44) avec α = 0,3.2. Pour 12 < α <34 , le point(23 ,23)est un attracteur global.% 0.2 0.4 0.6 0.8 1  0  0.20.40.60.81  % 0.2 0.4 0.6 0.8 1  0  0.20.40.60.81  1&& itérations avec α = 0,52 10 itérations avec α = 0,7.Figure 5 – Itérations du point (0,06; 0,44) avec 12< α < 34.1&  	  			   Cette conjecture a été prouvée.Les tests effectués avec d’autres points choisis au hasard semblent aussivouloir montrer que la convergence est plus rapide lorsque α est proche de34 .3. Pour α = 34 , tous les points sur la droite x + y =43 sont de période deuxsauf pour le point fixe(23 ,23). Tous les autres points (x,y) ∈ [0,1]2 tels quex + y Ó= 43 et (x,y) Ó= (0,0) sont attirés vers cette droite.Cette conjecture a aussi été prouvée.' 0.2 0.4 0.6 0.8 1  0  0.20.40.60.81  F (  10 itérations du point (0,06; 0,44) avec α = 0,75.4. Pour 34 < α < 1, l’application G préserve une mesure SRB [You02] quin’est pas absolument continue. Le concept de mesure appellée SRB, d’aprèsSinai, Ruelle et Bowen, est une formulation rigoureuse de ce qu’il faut àune mesure invariante pour être significative du point de vue de la physique[Wil08].% 0.2 0.4 0.6 0.8 1  0  0.20.40.60.81  % 0.2 0.4 0.6 0.8 1  0  0.20.40.60.81  2&  	   α = 0,8. 25 itérations avec α = 0,95.Figure 7 – Itérations du point (0,06; 0,44) avec 34< α < 1.M  11Références[Bog07] Vladimir Igorevich Bogachev : Measure Theory, volume 1. Springer,2007.[Dev92] Robert L. Devaney : A First course in Chaotic Dynamical Systems.Westview Press, 1992.[Dev03] Robert L. Devaney : An Introduction to Chaotic Dynamical systems.Westview Press, second edition, 2003.[GBLP16] Pawel Góra, Abraham Boyarsky, Zhenyang Li et Harald Proppe :Statistical and deterministic dynamics of maps with memory. arXiv[math.DS], 2016.[Rob95] Clark Robinson : Dynamical Systems: Stability Symbolic Dynamicsand Chaos. CRC Press, 1995.[Wil08] Amie Wilkinson : Smooth ergodic theory. arXiv [math.DS], 2008.[You02] Lai-Sang Young : What are SRB measures, and which dynamicalsystems have them? Journal of Statistical Physics, 108(516), 2002.Mathieu FrappierDépartement de mathématiques, Université de SherbrookeCourriel: Mathieu.Frappier@USherbrooke.ca

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