MORALES ESCOBAR SATURNINO JOB

Repositorio Institucional de la Universidad Autónoma del Estado de México

Carrera: Ingeniería en Sistemas y ComunicacionesUnidad de Aprendizaje Lógica MatemáticaUnidad de Competencia1. Introducción a la Lógica MatemáticaProfesor: Saturnino Job Morales EscobarElaboración: Septiembre de 20191S. Job Morales EscobarUniversidad Autónoma del Estado de MéxicoCentro Universitario UAEM Valle de México30/09/2019S. Job Morales Escobar 230/09/2019S. Job Morales Escobar 330/09/2019S. Job Morales Escobar 41. Introducción a la Lógica Matemática2. Lógica Proposicional3. Lógica de Predicados4. Programación LógicaEstructura de la Unidad de Aprendizaje 30/09/2019S. Job Morales Escobar 51.1. Teoría de conjuntos1.2. Funciones1.3 RelacionesLa presentación incluye material para los siguientes temas30/09/2019EVALUACIÓN DE LA UNIDAD DE COMPETENCIAExamen             50%Ejercicios         50%S. Job Morales Escobar 630/09/2019La teoría de conjuntos, se edificasólidamente sobre axiomas mediante lasleyes de la lógica.La teoría de conjuntos tiene esencialmentedos actividades: comparar conjuntos yconstruir nuevos conjuntos a partir de unosdados.30/09/2019 S. Job Morales Escobar 7Teoría de Conjuntos1. Conjunto2. Elemento3. Pertenenciahttps://www.google.com/search?q=conjuntos&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwifxqOR1_nkAhURVa0KHQyQBjAQ_AUIEigB&biw=1920&bih=969#imgrc=CaWj4jVruYgnpM:Los cuales no se definen, sedeterminan.30/09/2019 S. Job Morales Escobar 8Conceptos primarios30/09/2019 9 Job Morales EscobarDETERMINACIÓN DE CONJUNTOSPor extensión: proporcionando un listado de loselementos del conjunto.Por ejemplo A= {2, 4, 6 ,8 ,10}Por intención: indicando la propiedad que debencumplir los elementos del conjunto.Por ejemplo B= {x | x es un entero positivo par}30/09/2019 10 Job Morales EscobarPERTENENCIA• Cuando se tiene el listado de todos los elementos componentes delconjunto:Se comprueba si el elemento aparece en el mismo.• Cuando se conoce la propiedad que lo caracteriza:Se verifica si la cumple o no.Ser elemento de (relación de pertenencia), es una relación binariaentre dos objetos de la Teoría de Conjuntos.Para indicar que a es un elemento del conjunto A, se denota a  A y selee como a pertenece a A.Cuando no lo es, se escribe a  A.Esta notación permitirá determinar C= {2, 4, 6, 8}como C= {x | x A y x<10} o C= {x A | x<10}S. Job Morales Escobar 11Axiomas• Axioma (De existencia). Existe un conjunto.• Axioma (De igualdad). Dos conjuntos son iguales si,y solo si, contienen los mismos elementos.• De manera simbólica:A = B ⇔ ∀x(x ∈ A ↔ x ∈ B).Ejemplo. Es claro que {1, 2, 3} = {2, 3, 1} yaque los dos conjuntos tienen exactamente losmismos elementos. Mas aún, también se cumple{a, a} = {a} por la misma razón.30/09/2019S. Job Morales Escobar 12Cuando un conjunto esta contenido en otro y lollamamos subconjunto.Ejemplo. Un conjunto B es subconjunto de otroconjunto A, y se denota B ⊂ A, si todo elementode B es elemento de A. Es decir:B ⊂ A ⇔ ∀x(x ∈ B → x ∈ A)La igualdad es una doble inclusiónDos conjuntos son iguales si, y solo si, cada uno es subconjunto del otro, o bien:A = B ⇔ (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A).30/09/2019S. Job Morales Escobar 13El conjunto vacío es subconjunto de cualquierconjunto.Axioma (De la unión).Dada una familia de conjuntosF, la unión de la familia F es el conjunto formadoexactamente por los elementos de los conjuntos queestán en F.E = {x| ∃A ∈ F, x ∈ A}.Ejemplo. Sean los conjuntos X = {1, 2, 3} e Y ={3, 4, 5} y con ellos la familia F = {X, Y}.Entonces la unión de F es el conjunto E = {1, 2,3, 4, 5}.30/09/2019S. Job Morales Escobar 14El conjunto vacío es un conjunto que carece deelementos.Se suele llamar conjunto nulo y se le denota porel símbolo Ø o { }.Axioma (Del conjunto potencia). Dado un conjunto A,existe el conjunto cuyos elementos son lossubconjuntos de A, llamado conjunto potencia ydenotado P(A).Ejemplo. El conjunto potencia de A = {1, 2, 3} es P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}, {1, 2, 3}}. Si A tiene n elementos, entonces P(A) tiene 2n elementos. 30/09/2019Complemento• El complemento de un subconjunto A del conjuntoE es el conjunto de todos los elementos de E que noestán en A.• Se denota Ac y se describe comoAc = {x ∈ E | x  A}• Ejemplo. En el conjunto E = {1, 2, 3, 4, 5}, el complementodel conjunto A = {1, 2} es Ac = {3, 4, 5}.30/09/2019 S. Job Morales Escobar 15Unión• La unión de dos conjuntos A y B es el conjuntoformado por los elementos que están en A o están enB. Se denota A∪ B.• A∪ B = {x ∈ E |(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}.• Ejemplo. Dados los conjuntos A = {1, 2} y B = {2, 3} tenemos A ∪ B = {1, 2, 3} 30/09/2019 S. Job Morales Escobar 16Intersección • La intersección de dos conjuntos A y B es elconjunto formado por los elementos que están en Ay están en B. Se denota A ∩ B. A ∩ B = {x ∈ E |(x ∈A) ∧ (x ∈ B)}.• Ejemplo. Dados los conjuntos A = {1, 2} y B = {2, 3} tenemos A ∩ B = {2}.30/09/2019 S. Job Morales Escobar 17• La diferencia del conjunto A con el conjunto B es el conjunto formado por los elementos que están en A pero no en B. Se denota A\B. A \ B = {x ∈ E |(x ∈ A) ∧ (x  B)}. Ejemplo. Las diferencias de los conjuntos A = {1, 2} y B = {2, 3} son A \ B = {1}, B \ A = {3}.30/09/2019 S. Job Morales Escobar 18Diferencia30/09/2019 S. Job Morales Escobar 19Representación gráfica (A U B)’ están sin sombreado, A – B con sombreado en una dirección, B – A en la otra dirección y A ∩ B en ambas direcciones respectivamente.El conjunto (A ∩ B)’.Segunda identidad de De Morgan.30/09/2019 S. Job Morales Escobar 20Diagrama de Venn  de tres conjuntos Ac y Bc, sombreados de maneras distintas.A U (B – A)= A U (B ∩ Ac)   (por definición de la operación )= (A U B) ∩  (A U Ac)= (A U B) ∩ U= A U BA U B U C = { x | x  A o x  B o X  C}= { x | x es un elemento de por  lo menos uno de los conjuntos A, B y C}30/09/2019 S. Job Morales Escobar 21De manera general, si A1, A2,… son conjuntos, es posible escribir:• Para indicar el conjunto { x | x  Ai al menos para una i con 1 <= i <= n}; y ∞U Ai = {x |x  Ai al menos para una i >= 1 }i = 130/09/2019 S. Job Morales Escobar 22nU Aii = 1Mediante el uso de  la ley asociativa de la intersección es posible escribir:n∩ Ai = {x | x  Ai para para toda i con 1 <= i <=n }i = 1Y así sucesivamente. En forma todavía más general, si P(i) es una condición relacionada con i,  UAiP(i)Indica el conjunto {x | x  Ai al menos para una i que satisface P(i)}.30/09/2019 S. Job Morales Escobar 23Ejemplo:U δ (p , a)p  δ * (q , x)• Así U δ (p , a)= { x | x  δ (p , a) al menos para un pδ*(q , x)  p de δ*(q , x)}30/09/2019 S. Job Morales Escobar 24En particular, si δ* (q , x) = {r, s, t}, con esta fórmulase tendrá:δ(r , a) U δ(s , a) U δ(t , a).Los elementos de un conjunto también pueden serconjuntos, recordar que para cualquier conjunto A, elconjunto de todos los subconjuntos de A se llamaconjunto potencia de A y se denota con 2A.30/09/2019 S. Job Morales Escobar 25Producto cartesianoSean A y B conjuntos cualesquiera, se puedeconstruir un nuevo conjunto, llamado productocartesiano de A y B, denotado como A ×B y se lee “A por B”. Es el conjunto de pares ordenadosexpresado porA × B = { (a, b)| a  A y b  B}Ordenado significa que el par (a , b) difiere del par (b, a), salvo que a y b sean el mismo. 30/09/2019 S. Job Morales Escobar 26• Si A tiene n elementos y B tiene m elementos,entonces el conjunto A × B tiene exactamente n*melementos.Por ejemplo:{a, b} × {b, c, d} = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, b),(b, c), (b, d)}• En general, el conjunto de todas las “n-tuplasordenadas (a1, a2, … an), donde:ai  Ai para cada i, se denota como A1× A2× … An.30/09/2019 S. Job Morales Escobar 27S. Job Morales Escobar 28Las funciones son herramientas para asignar a cada elemento de un conjunto.Una función f del conjunto A al conjunto B es un subconjunto del producto cartesiano A×B en el que no hay dos parejas que tengan el mismo primer elemento. 30/09/2019Funciones• Ejemplo. Sea A = {a, b, c} y consideremos los subconjuntos de A × A, f = {(a, a),(b, b),(b, c)}, g = {(a, b),(b, c),(c, a)}, h = {(a, a),(b, a)}. Los tres conjuntos son relaciones en A, pero f no es una función porque el elemento b aparece como primer elemento en dos parejas. Sin embargo, g y h sí son funciones.Sea A y B conjuntos. Una función f de A en B es una asignación de exactamente un elemento de B a cada elemento de A. Se escribe f(a)= b, si b  es el único elemento de B asignado por la función al elemento a de A. Si f es una función de A en B, escribimos f : A → B.30/09/2019 S. Job Morales Escobar 29S. Job Morales Escobar 30Si f es una función de A en B.Decimos que A es el dominio de f y B es el codominio de f.Si f (a) = b, decimos que b es la imagen de a y a es una preimagende b.El rango o imagen de f es el conjunto de todas las imágenes deelementos de A.También decimos, si f es una función de A en B, que f transformaA en B.30/09/2019S. Job Morales Escobar 3130/09/2019FuncionesS. Job Morales Escobar 32Sean f1 y f2 funciones de A y R. Entonces f1 + f2 y f1 f2 sontambién funciones de A en R definidas por:( f1 + f2 )( x ) = f1( x ) + f2( x ).( f1 f2 )( x ) = f1( x ) f2( x ).Sea f una función de un conjunto A en un conjunto B y sea Sun subconjunto de A• La imagen de S es el subconjunto de B formado por todaslas imágenes de los elementos de S.• Denotamos por f(S) a la imagen de S, de tal forma quef ( S ) = { f ( s )|s є S }.30/09/2019S. Job Morales Escobar 33• Se dice que una función es inyectiva si, y sólo si,f (x) = f (y) implica que x = y para x e y en el dominio de f.Una función se dice que es una inyección si es inyectiva.• Una función f cuyo dominio y codominio son subconjuntosdel conjunto de los números reales se denominaestrictamente creciente si f (x) < f (y) siempre que x < y , y xe y estén en el dominio de f.• De forma similar, f se dice que es estrictamente decreciente sif (x) > f (y) siempre que x < y, y x e y estén en el dominio def.30/09/2019Funciones Inyectivas y SobreyectivasS. Job Morales Escobar 34• Una función f de A a B es sobreyectiva, o sobre, si, y sólo si,para todo elemento b є B hay un elemento a є A tal quef (a) = b.• Una función f es una sobreyección si es sobreyectiva.• La función f es una biyección o función biyectiva si es tantoinyectiva como sobreyectiva.30/09/2019S. Job Morales Escobar 3530/09/2019Funciones Inyectivas y Sobreyectivas30/09/2019 S. Job Morales Escobar 36Funciones Inyectivas y SobreyectivasS. Job Morales Escobar 3730/09/2019Gráfica de una Función30/09/2019 S. Job Morales Escobar 38Gráfica de una FunciónS. Job Morales Escobar 3930/09/2019RelacionesSean A y B dos conjuntos. Una relación binaria de A en B es un subconjunto de A ×B.S. Job Morales Escobar 40Una relación en un conjunto A es una relación de A en A.30/09/2019Relaciones en un conjuntoPropiedades de las relaciones30/09/2019 S. Job Morales Escobar 41Se dice que una relación R en un conjunto A es reflexivasi( a, a ) є R para cada elemento a є A.Una relación R en un conjunto A es simétrica si paracualesquiera a, b є A se tiene que ( b, a ) є R siempre que ( a, b )є R.Una relación R en un conjunto A es antisimétrica si paracualesquiera a, b є A se tiene que ( a, b ) є R y( b, a ) є R sólo si a = b.S. Job Morales Escobar 4230/09/2019Se dice que una relación R en un conjunto A estransitiva si para cualesquiera a, b, c є A tales que( a, b ) є R y ( b, c ) є R se tiene que ( a, c ) є R.NOTA: Con este tema se concluye la presentación de losconceptos básicos sobre conjuntos, funciones yrelaciones.Bibliografía• Kenneth H. Rosen (204). Matemática Discreta y sus aplicaciones, Ed.  Mc Graw Hill• Patrick Suppes(1998). Introducción a la Lógica Matemática. Editorial Reverte,S.A• Eliot Mendelson(2015).Introduction tomathematical logic. D Van Nostrand Company.• Pascual Julian Irazno,Maria Al Puente(2007) Programación lógica: teoría y práctica.Pearson.S. Job Morales Escobar 4330/09/2019BibliografíaComplementaria• Allen Tucker, Robert Noonan (2011). Lenguajesde programación principios y paradigmas.Spanish Edition.• R. Korfhage (1990). Lógica y algoritmos, conaplicaciones a las ciencias de la computación einformación. Limusa.S. Job Morales Escobar 4430/09/2019Guión Explicativo• Este material está desarrollado como apoyo al cursopresencial de la unidad de competencia Introducción a laLógica Matemática de la UDA “Lógica Matemática”,correspondiente a la carrera de Ingeniería en Sistemas yComunicaciones.• Esta unidad de competencia introduce conceptos básico quese requieren en todos los temas que conforman la unidad deaprendizaje.• Se recomienda estudiar el tema antes de la sesión presencial.S. Job Morales Escobar 4530/09/2019Guión Explicativo• Se recomienda seguir la secuencia en la que se presenta elmaterial para mayor comprensión de los temas.• Los temas se pueden consultar en extenso en las referenciasproporcionadas en la bibliografía.• Se recomienda realizar ejercicios adicionales paracomplementar lo visto en clase y el material presentado.S. Job Morales Escobar 4630/09/2019

INTRODUCCION A LA LOGICA MATEMATICA

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