O artigo relata una experiência de sala de aula, no 2.º ano de escolaridade, em que os alunos se envolvem com grande entusiasmo na exploração de cadeias numéricas de subtração

Lourenço, Guida

Veia, Luciano

Sapientia

37Janeiro | Fevereiro2011O desenvolvimento do sentido do número constitui um dos propósitos principais de ensino incluídos no Programa de Matemática do Ensino Básico (ME, 2007). Nos dois primeiros anos de escolaridade valoriza-se o cálculo numérico na repre-sentação horizontal e sugere-se que se proporcionem aos alunos situações diversas que lhes permitam desenvolver o cálculo mental. Recomenda-se a prática de rotinas de cálculo mental, podendo este ser apoiado por registos escritos, possibilitando que os alunos possam utilizar as suas estratégias de modo fl e-xível, seleccionando as mais efi cazes em cada situação. Como forma de desenvolver estratégias de cálculo mental Fosnot e Dolk (2001) sugerem a exploração de tarefas que permitam desenvolver um reportório de estratégias de cálculo baseadas Calculando em cadeiaGuida LourençoLuciano Veianuma compreensão profunda das relações numéricas e das ope-rações. Surge assim a ideia de cadeia matemática tendo como principal fi nalidade desenvolver nos alunos um cálculo mental efi ciente. O professor apresenta um conjunto de tarefas de cálculo relacionadas entre si procurando construir um sistema de relações numéricas que assentam no cálculo realizado nas linhas anteriores da cadeia.  No âmbito do Programa de Formação Contínua em Matemática, para Professores dos 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico, os formandos trabalharam várias cadeias matemáticas, discutiram as suas potencialidades e perspectivaram a sua exploração em sala de aula. Colocado o desafi o, o mesmo foi aceite por vários professores que decidiram implementar este 38 Educação e Matemática #111tipo de tarefas nas suas turmas. Numa turma do segundo ano de escolaridade a professora programou uma sequência de tarefas para exploração de cadeias numéricas, tendo indicado alguns objectivos de aprendizagem de onde se salientam «Desenvolver destrezas de cálculo numérico mental e escrito», «Praticar a escrita de cálculos em cadeia (subtrair, utilizando a representação horizontal e recorrendo a estratégias de cálculo mental e escrito)» e «Discutir resultados e ideias matemáticas». Tratava-se de uma estratégia de cálculo mental pouco utilizada na sua sala de aula, originando alguns receios da professora sobre a compreensão da tarefa matemática proposta por parte dos alunos. A turma apenas tinha trabalhado algumas cadeias numéricas, com recurso à adição e com números muito peque-nos. As tarefas que iremos analisar neste artigo, para além de envolverem números maiores, pretendiam explorar situações de subtracção.  A aula começou com uma pergunta da professora tentando conhecer o que os alunos entendiam por calcular em cadeia:P. «O que signifi ca calcular em cadeia?»A. «Fazemos um cálculo e depois na segunda conta pedimos ajuda à primeira.»Nesta aula a professora pretende trabalhar as duas cadeiras numéricas seguintes:  70 – 35  163 – 24   70 – 34  163 – 34   71 – 35  169 – 27   72 – 35  169 – 47   71 – 34  169 – 42 No quadro a professora escreve a primeira linha da cadeia numérica onde propõe a resolução da expressão 70 – 35. Foram vários os alunos que pretenderam dar o seu contributo forne-cendo indicações sobre a estratégia utilizada: «Eu fi z 70 – 30 = 40 e 40 – 5 = 35.» «Fiz 70 – 15 = 55, 55 – 15 = 40 e 40 – 5 = 35» «O dobro de 35 é 70 porque 35 + 35 = 70, por isso o resul-tado é 35». «Também podemos fazer 35 × 2 = 70, logo o resultado é 35».O primeiro aluno decompõe o 35 em 30 + 5, começando por retirar 30 e completando com a retirada do 5, utilizando uma Figura 1 Figura 2estratégia decorrente da decomposição numérica de base dez. O segundo aluno parece decompor o 30 em 15 + 15, pelo que retira 15 duas vezes e depois retira 5 chegando a 35. Os alunos seguintes tiram partido do conhecimento do dobro de 35. Conhecidas (e discutidas) várias estratégias para calcular70 – 35, a segunda linha da cadeia propõe 70 – 34. Mais uma vez os alunos se envolvem entusiasticamente na explicação das suas estratégias:«Nesta expressão numérica, o número 35 passou a 34, por isso nós vamos tirar –1 que na conta anterior, logo o resultado é +1, porque se tiramos menos, sobra-nos mais. E… o resultado é 36.» (Figura 1)«Como o objectivo da tarefa é pedir ajuda à conta anterior, nesta conta o aditivo mantém-se e só muda o subtractivo (–1), logo o resultado é +1. Por exemplo, eu tenho 70 rebuçados e dou 34 a uma amiga, menos um rebuçado que tinha dado na conta anterior, ora se na conta anterior o resultado foi 35, nesta conta dei menos um rebuçado dos 70 que tinha inicialmente, por isso fi quei com mais um, (36)». É curiosa a argumentação desta aluna sentindo necessidade de se apoiar numa situação concreta como forma de ilustrar o seu raciocínio.  A utilização da operação inversa como forma de prova e o recurso à identidade fundamental da subtracção surgem nas justifi cações avançadas para responder a uma questão colocada pela professora: «E se nós quisermos confi rmar se o resultado está correcto?»  «Calculamos 35 + 36 e se o resultado for 71, logo está correcto» «Também podemos calcular 71 – 36 e se o resultado for 35, então o resultado está correcto».Nas linhas seguintes da cadeia os alunos continuam a avançar com argumentos muito convincentes:«Nesta conta (72 – 35) podemos pedir ajuda à conta anterior por-que damos a mesma quantidade (35) mas temos +1 que na ante-rior, logo o resultado é +1 porque 71 + 1 = 72 e dá-nos no resul-tado 36 + 1 = 37.»Este exemplo denota uma segurança de argumentação a propó-sito do sentido da adição e da ligação com a subtracção como operação inversa. 39Janeiro | Fevereiro2011Figura 3 Figura 4«Os números desta conta (71 – 34) aproximam-se da terceira conta da cadeia. Por isso, podemos pedir-lhe ajuda. A diferença está no subtractivo que é –1. Assim, o resultado aumenta, porque se damos mais, sobra menos e se damos menos, sobra mais. Neste caso, damos menos e sobra mais, logo o resultado é +1, ou seja 37.»Neste exemplo para além da compreensão do «equilíbrio» entre o adicionar uma unidade e subtrair uma unidade, a aluna gene-raliza esta regularidade através da apresentação de uma ideia matemática que estrutura todo o seu raciocínio. Revela um bom conhecimento do funcionamento da cadeia, procurando apoiar-se na expressão que mais se «aproxima» da situação que pretende trabalhar.  A Professora também participa no debate, generalizando os resultados: «Ao observar os resultados das expressões numéricas da cadeia, verifi co que algumas expressões têm números dife-rentes e o seu resultado é igual, apesar da operação ser a mesma. Porquê? Quem quer explicar?» «Porque ao alterarmos a mesma quantidade, em qualquer expressão numérica, tanto no aditivo como no subtractivo, o resultado é igual, por exemplo: 70 – 34 = 36; 71 – 35 = 36 e72 – 35 = 37; 71 – 34 = 37.» (Figura 2)A resposta a esta questão revela conhecimentos do modelo compensatório da subtracção, sendo que intervenções anterio-res confi rmam este conhecimento quando os alunos indicam que «o resultado aumenta, porque se damos mais, sobra menos e se damos menos, sobra mais». Estas ideias revelam um conheci-mento matemático que extravasa os procedimentos algorítmi-cos e origina uma aprendizagem signifi cativa da Matemática.  Depois destas justifi cações a professora decide explorar uma segunda cadeia numérica colocando no quadro a primeira expressão 163 – 24. Passado algum tempo surgem as primeiras intervenções dos alunos com explicação das suas estratégias:«Eu fi z 63 – 20 = 43; 43 – 4 = 39 e 100 + 39 = 139». Outro aluno diz: «163 – 10 = 153; 153 – 10 = 143 e 143 – 4 = 139»O primeiro aluno começa por retirar 20 e depois 4, partindo da decomposição do 24 em 20 + 4 enquanto o segundo aluno vai retirando de 10 em 10, concluindo com 4. Neste caso, ambos os alunos, estruturam as suas estratégias de cálculo em torno da estrutura do sistema de numeração decimal. Explicada a resolução da primeira expressão da cadeia seguem-se as linhas seguintes. A exemplo de situações anteriores, os alunos mos-tram disponibilidade para avançar com as suas explicações:«Nesta expressão numérica (163 – 27) vamos dar +3 que na conta anterior, portanto o resultado fi nal é –3 que o resultado da ante-rior porque, como disse a Inês, se damos mais sobra-nos menos, ou seja, 139 – 3 = 136.»«Neste cálculo (169 – 27) vou pedir ajuda à conta anterior por-que dou a mesma quantidade (27), mas como tenho +6 que 163, ou seja, 169, eu fi co com +6 também no resultado fi nal, ora 136 + 6 = 142.» (Figura 3)«Nesta conta (169 – 47) a diferença que há, em relação à conta anterior, está na quantidade que dou (+20). Por isso, o resul-tado que fi co é de –20 que na anterior, ou seja, 122 porque122 + 47 = 169.»«Aqui (169 – 42) nós pedimos ajuda à conta anterior porque a diferença está no subtractivo (–5), por isso o resultado será +5, ou seja, 122 + 5 =127.»Nestas argumentações os alunos parecem seguir a estratégias já utilizadas por uma colega na resolução de uma expressão anterior com recurso a uma situação concreta (rebuçados) como suporte da sua explicação. Embora continuem a calcular mentalmente, com apoio na representação horizontal, os alu-nos sentem-se mais seguros em recorrer a situações familiares na resolução das tarefas. Na primeira justifi cação o aluno recorre à relação matemática identifi cada pela colega, decorrente da adopção de estratégias e ideias matemáticas construídas socialmente na sala de aula. Na refl exão que os alunos fazem sobre o trabalho realizado parece claro a compreensão dos objectivos deste tipo de tarefa, referindo o recurso a resoluções de expressões anteriores para encontrar de forma mais rápida e efi caz a resposta para as expressões seguintes.«Nós aprendemos a pedir ajuda à conta anterior para efectuar os cálculos. Nós temos de olhar para todas as contas para ver qual é a conta que nos pode ajudar a fazer o cálculo mais rápido. Os cálcu-los fi cam mais fáceis de fazer.» (Figura 4)Também a professora refere aspectos muito positivos sobre o desempenho dos alunos na resolução destas tarefas: «Durante a exploração das cadeias, através da comunicação dos alunos, pude constatar formas de raciocínio espontâneas, eviden-ciando uma certa organização mental, quando, por exemplo, os mesmos pediam ajuda à expressão numérica que lhes poderia facili-tar o cálculo de forma mais rápida, ou seja, aquela em que os núme-ros envolvidos se aproximavam do cálculo a efectuar e quando 40 Educação e Matemática #111contextualizavam as suas argumentações com situações práticas do dia-a-dia, tornando a tarefa mais signifi cativa.»Para além das capacidades de cálculo são também salienta-das as capacidades de comunicação. Na planifi cação da aula a professora já evidenciava preocupações com a criação de condições para permitir o desenvolvimento desta capacidade quando refere «a necessidade de criar um ambiente de sala de aula propício à comunicação e argumentação, para que a tarefa se torne desafi ante e signifi cativa, contribuindo, dessa forma, para uma maior motivação por parte dos alunos.» As intervenções dos alunos constituem excelentes testemu-nhos das potencialidades deste tipo de tarefas no desenvolvi-mento de estratégias fl exíveis de cálculo e na procura de formas matemáticas «mais rápidas e efi cazes» em consonância com as quantidades numéricas. O desenvolvimento de relações numé-ricas e uma maior compreensão da operação subtracção mere-cem particular destaque. A resolução de situações de subtracção com empréstimo surgiu com grande naturalidade, contrariando práticas lectivas anteriores que não permitiam a resolução de vários problemas sem um bom conhecimento deste algoritmo. O recurso ao modelo compensatório e à identidade fundamental constituem excelentes exemplos de como explorar estes con-ceitos num contexto de resolução de problemas. A exploração deste tipo de tarefas permite também evidenciar a naturalidade com que os alunos aderem a estas situações e a sua disponi-bilidade para encontrar processos signifi cativos, constituindo excelentes exemplos da possibilidade dos alunos do segundo ano de escolaridade se sentirem confortáveis em trabalhar com números «maiores» e da recompensa que a professora recebeu pela ousadia de experimentar situações «novas».ReferênciasFosnot, C & Dolk, M. (2001). Young mathematicians at work: Construc-ting multiplication and division. Portsmouth, NH: Heinemann.ME. (2007). Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: Ministé-rio da Educação (DGIDC).Projecto DSN. (2005). Desenvolvendo o sentido de número. Materiais para o educador e para o professor do 1.º ciclo. Lisboa: APM.Guida LourençoEB1 D. Manuel I, TaviraLuciano VeiaEscola Superior de Educação e Comunicação da Universidade do AlgarveENCONTROSEncontro «A Matemática nos primeiros anos»Pela 14ª ocasião, especifi camente dedicado ao ensino e apren-dizagem da Matemática na parte inicial da história pré-escolar e escolar, volta a realizar-se este encontro, nos dias 15 e 16 de Abril, regressando a Viseu onde já tinha estado em 1998, depois de passar por todo o país, de Viana do Castelo a Faro. Assumindo sempre, mas com mais veemência neste encontro os primeiros anos como aqueles que se estendem do pré-escolar até ao fi m do 2º ciclo do ensino básico, o encontro refl ete as preocupações decorrentes do início da generalização de um novo programa de Matemática, dedicando várias sessões de natureza diversa aos temas associados a esse programa. A conferência de abertura, da responsabilidade de uma equipa de investigadores que avaliaram as diversas etapas de passagem ao terreno do novo programa de Matemática, vai permitir a partilha de recomendações, refl exões e inferências avaliativas, de interesse evidente para todos os que estão já a lidar com a generalização do programa. No seguimento dos dois dias do encontro, serão realizadas outras conferências sobre vários assuntos que incluem «temas matemáticos» e «capacida-des transversais» do programa, sessões práticas que permitirão a participação ativa na realização e discussão de propostas concretas, alem de outras realizações com formatos diversos.Para todos os participantes, deseja-se uma experiência enrique-cedora, num ambiente de cooperação solidária.

Calculando em cadeia

Universidade do Algarve

37Janeiro | Fevereiro2011
O desenvolvimento do sentido do número constitui um dos 
propósitos principais de ensino incluídos no Programa de 
Matemática do Ensino Básico (ME, 2007). Nos dois primeiros 
anos de escolaridade valoriza-se o cálculo numérico na repre-
sentação horizontal e sugere-se que se proporcionem aos alunos 
situações diversas que lhes permitam desenvolver o cálculo 
mental. Recomenda-se a prática de rotinas de cálculo mental, 
podendo este ser apoiado por registos escritos, possibilitando 
que os alunos possam utilizar as suas estratégias de modo fl e-
xível, seleccionando as mais efi cazes em cada situação. Como 
forma de desenvolver estratégias de cálculo mental Fosnot e 
Dolk (2001) sugerem a exploração de tarefas que permitam 
desenvolver um reportório de estratégias de cálculo baseadas 
Calculando em cadeia
Guida Lourenço
Luciano Veia
numa compreensão profunda das relações numéricas e das ope-
rações. Surge assim a ideia de cadeia matemática tendo como 
principal fi nalidade desenvolver nos alunos um cálculo mental 
efi ciente. O professor apresenta um conjunto de tarefas de 
cálculo relacionadas entre si procurando construir um sistema 
de relações numéricas que assentam no cálculo realizado nas 
linhas anteriores da cadeia. 
 No âmbito do Programa de Formação Contínua em 
Matemática, para Professores dos 1.º e 2.º Ciclos do Ensino 
Básico, os formandos trabalharam várias cadeias matemáticas, 
discutiram as suas potencialidades e perspectivaram a sua 
exploração em sala de aula. Colocado o desafi o, o mesmo foi 
aceite por vários professores que decidiram implementar este 
38 Educação e Matemática #111
tipo de tarefas nas suas turmas. Numa turma do segundo ano 
de escolaridade a professora programou uma sequência de 
tarefas para exploração de cadeias numéricas, tendo indicado 
alguns objectivos de aprendizagem de onde se salientam 
«Desenvolver destrezas de cálculo numérico mental e escrito», 
«Praticar a escrita de cálculos em cadeia (subtrair, utilizando a 
representação horizontal e recorrendo a estratégias de cálculo 
mental e escrito)» e «Discutir resultados e ideias matemáticas». 
Tratava-se de uma estratégia de cálculo mental pouco utilizada 
na sua sala de aula, originando alguns receios da professora 
sobre a compreensão da tarefa matemática proposta por parte 
dos alunos. A turma apenas tinha trabalhado algumas cadeias 
numéricas, com recurso à adição e com números muito peque-
nos. As tarefas que iremos analisar neste artigo, para além de 
envolverem números maiores, pretendiam explorar situações de 
subtracção. 
 A aula começou com uma pergunta da professora tentando 
conhecer o que os alunos entendiam por calcular em cadeia:
P. «O que signifi ca calcular em cadeia?»
A. «Fazemos um cálculo e depois na segunda conta pedimos 
ajuda à primeira.»
Nesta aula a professora pretende trabalhar as duas cadeiras 
numéricas seguintes:
  70 – 35  163 – 24 
  70 – 34  163 – 34 
  71 – 35  169 – 27 
  72 – 35  169 – 47 
  71 – 34  169 – 42 
No quadro a professora escreve a primeira linha da cadeia 
numérica onde propõe a resolução da expressão 70 – 35. Foram 
vários os alunos que pretenderam dar o seu contributo forne-
cendo indicações sobre a estratégia utilizada:
 «Eu fi z 70 – 30 = 40 e 40 – 5 = 35.»
 «Fiz 70 – 15 = 55, 55 – 15 = 40 e 40 – 5 = 35»
 «O dobro de 35 é 70 porque 35 + 35 = 70, por isso o resul-
tado é 35».
 «Também podemos fazer 35 × 2 = 70, logo o resultado é 
35».
O primeiro aluno decompõe o 35 em 30 + 5, começando por 
retirar 30 e completando com a retirada do 5, utilizando uma 
Figura 1 Figura 2
estratégia decorrente da decomposição numérica de base dez. 
O segundo aluno parece decompor o 30 em 15 + 15, pelo que 
retira 15 duas vezes e depois retira 5 chegando a 35. Os alunos 
seguintes tiram partido do conhecimento do dobro de 35.
 Conhecidas (e discutidas) várias estratégias para calcular
70 – 35, a segunda linha da cadeia propõe 70 – 34. Mais uma 
vez os alunos se envolvem entusiasticamente na explicação das 
suas estratégias:
«Nesta expressão numérica, o número 35 passou a 34, por isso 
nós vamos tirar –1 que na conta anterior, logo o resultado é +1, 
porque se tiramos menos, sobra-nos mais. E… o resultado é 36.» 
(Figura 1)
«Como o objectivo da tarefa é pedir ajuda à conta anterior, nesta 
conta o aditivo mantém-se e só muda o subtractivo (–1), logo o 
resultado é +1. Por exemplo, eu tenho 70 rebuçados e dou 34 a 
uma amiga, menos um rebuçado que tinha dado na conta anterior, 
ora se na conta anterior o resultado foi 35, nesta conta dei menos 
um rebuçado dos 70 que tinha inicialmente, por isso fi quei com 
mais um, (36)». 
É curiosa a argumentação desta aluna sentindo necessidade de 
se apoiar numa situação concreta como forma de ilustrar o seu 
raciocínio. 
 A utilização da operação inversa como forma de prova e o 
recurso à identidade fundamental da subtracção surgem nas 
justifi cações avançadas para responder a uma questão colocada 
pela professora: «E se nós quisermos confi rmar se o resultado 
está correcto?» 
 «Calculamos 35 + 36 e se o resultado for 71, logo está 
correcto»
 «Também podemos calcular 71 – 36 e se o resultado for 35, 
então o resultado está correcto».
Nas linhas seguintes da cadeia os alunos continuam a avançar 
com argumentos muito convincentes:
«Nesta conta (72 – 35) podemos pedir ajuda à conta anterior por-
que damos a mesma quantidade (35) mas temos +1 que na ante-
rior, logo o resultado é +1 porque 71 + 1 = 72 e dá-nos no resul-
tado 36 + 1 = 37.»
Este exemplo denota uma segurança de argumentação a propó-
sito do sentido da adição e da ligação com a subtracção como 
operação inversa. 
39Janeiro | Fevereiro2011
Figura 3 Figura 4
«Os números desta conta (71 – 34) aproximam-se da terceira conta 
da cadeia. Por isso, podemos pedir-lhe ajuda. A diferença está no 
subtractivo que é –1. Assim, o resultado aumenta, porque se damos 
mais, sobra menos e se damos menos, sobra mais. Neste caso, damos 
menos e sobra mais, logo o resultado é +1, ou seja 37.»
Neste exemplo para além da compreensão do «equilíbrio» entre 
o adicionar uma unidade e subtrair uma unidade, a aluna gene-
raliza esta regularidade através da apresentação de uma ideia 
matemática que estrutura todo o seu raciocínio. Revela um 
bom conhecimento do funcionamento da cadeia, procurando 
apoiar-se na expressão que mais se «aproxima» da situação que 
pretende trabalhar. 
 A Professora também participa no debate, generalizando os 
resultados: «Ao observar os resultados das expressões numéricas 
da cadeia, verifi co que algumas expressões têm números dife-
rentes e o seu resultado é igual, apesar da operação ser a mesma. 
Porquê? Quem quer explicar?» 
«Porque ao alterarmos a mesma quantidade, em qualquer 
expressão numérica, tanto no aditivo como no subtractivo, 
o resultado é igual, por exemplo: 70 – 34 = 36; 71 – 35 = 36 e
72 – 35 = 37; 71 – 34 = 37.» (Figura 2)
A resposta a esta questão revela conhecimentos do modelo 
compensatório da subtracção, sendo que intervenções anterio-
res confi rmam este conhecimento quando os alunos indicam 
que «o resultado aumenta, porque se damos mais, sobra menos e 
se damos menos, sobra mais». Estas ideias revelam um conheci-
mento matemático que extravasa os procedimentos algorítmi-
cos e origina uma aprendizagem signifi cativa da Matemática. 
 Depois destas justifi cações a professora decide explorar uma 
segunda cadeia numérica colocando no quadro a primeira 
expressão 163 – 24. Passado algum tempo surgem as primeiras 
intervenções dos alunos com explicação das suas estratégias:
«Eu fi z 63 – 20 = 43; 43 – 4 = 39 e 100 + 39 = 139». Outro aluno 
diz: «163 – 10 = 153; 153 – 10 = 143 e 143 – 4 = 139»
O primeiro aluno começa por retirar 20 e depois 4, partindo da 
decomposição do 24 em 20 + 4 enquanto o segundo aluno vai 
retirando de 10 em 10, concluindo com 4. Neste caso, ambos 
os alunos, estruturam as suas estratégias de cálculo em torno 
da estrutura do sistema de numeração decimal. Explicada a 
resolução da primeira expressão da cadeia seguem-se as linhas 
seguintes. A exemplo de situações anteriores, os alunos mos-
tram disponibilidade para avançar com as suas explicações:
«Nesta expressão numérica (163 – 27) vamos dar +3 que na conta 
anterior, portanto o resultado fi nal é –3 que o resultado da ante-
rior porque, como disse a Inês, se damos mais sobra-nos menos, ou 
seja, 139 – 3 = 136.»
«Neste cálculo (169 – 27) vou pedir ajuda à conta anterior por-
que dou a mesma quantidade (27), mas como tenho +6 que 163, 
ou seja, 169, eu fi co com +6 também no resultado fi nal, ora 136 + 
6 = 142.» (Figura 3)
«Nesta conta (169 – 47) a diferença que há, em relação à conta 
anterior, está na quantidade que dou (+20). Por isso, o resul-
tado que fi co é de –20 que na anterior, ou seja, 122 porque
122 + 47 = 169.»
«Aqui (169 – 42) nós pedimos ajuda à conta anterior porque a 
diferença está no subtractivo (–5), por isso o resultado será +5, ou 
seja, 122 + 5 =127.»
Nestas argumentações os alunos parecem seguir a estratégias 
já utilizadas por uma colega na resolução de uma expressão 
anterior com recurso a uma situação concreta (rebuçados) 
como suporte da sua explicação. Embora continuem a calcular 
mentalmente, com apoio na representação horizontal, os alu-
nos sentem-se mais seguros em recorrer a situações familiares 
na resolução das tarefas.
 Na primeira justifi cação o aluno recorre à relação matemática 
identifi cada pela colega, decorrente da adopção de estratégias e 
ideias matemáticas construídas socialmente na sala de aula.
 Na refl exão que os alunos fazem sobre o trabalho realizado 
parece claro a compreensão dos objectivos deste tipo de tarefa, 
referindo o recurso a resoluções de expressões anteriores para 
encontrar de forma mais rápida e efi caz a resposta para as 
expressões seguintes.
«Nós aprendemos a pedir ajuda à conta anterior para efectuar os 
cálculos. Nós temos de olhar para todas as contas para ver qual é a 
conta que nos pode ajudar a fazer o cálculo mais rápido. Os cálcu-
los fi cam mais fáceis de fazer.» (Figura 4)
Também a professora refere aspectos muito positivos sobre o 
desempenho dos alunos na resolução destas tarefas: 
«Durante a exploração das cadeias, através da comunicação dos 
alunos, pude constatar formas de raciocínio espontâneas, eviden-
ciando uma certa organização mental, quando, por exemplo, os 
mesmos pediam ajuda à expressão numérica que lhes poderia facili-
tar o cálculo de forma mais rápida, ou seja, aquela em que os núme-
ros envolvidos se aproximavam do cálculo a efectuar e quando 
40 Educação e Matemática #111
contextualizavam as suas argumentações com situações práticas do 
dia-a-dia, tornando a tarefa mais signifi cativa.»
Para além das capacidades de cálculo são também salienta-
das as capacidades de comunicação. Na planifi cação da aula 
a professora já evidenciava preocupações com a criação de 
condições para permitir o desenvolvimento desta capacidade 
quando refere «a necessidade de criar um ambiente de sala de 
aula propício à comunicação e argumentação, para que a tarefa 
se torne desafi ante e signifi cativa, contribuindo, dessa forma, 
para uma maior motivação por parte dos alunos.»
 As intervenções dos alunos constituem excelentes testemu-
nhos das potencialidades deste tipo de tarefas no desenvolvi-
mento de estratégias fl exíveis de cálculo e na procura de formas 
matemáticas «mais rápidas e efi cazes» em consonância com as 
quantidades numéricas. O desenvolvimento de relações numé-
ricas e uma maior compreensão da operação subtracção mere-
cem particular destaque. A resolução de situações de subtracção 
com empréstimo surgiu com grande naturalidade, contrariando 
práticas lectivas anteriores que não permitiam a resolução de 
vários problemas sem um bom conhecimento deste algoritmo. 
O recurso ao modelo compensatório e à identidade fundamental 
constituem excelentes exemplos de como explorar estes con-
ceitos num contexto de resolução de problemas. A exploração 
deste tipo de tarefas permite também evidenciar a naturalidade 
com que os alunos aderem a estas situações e a sua disponi-
bilidade para encontrar processos signifi cativos, constituindo 
excelentes exemplos da possibilidade dos alunos do segundo 
ano de escolaridade se sentirem confortáveis em trabalhar com 
números «maiores» e da recompensa que a professora recebeu 
pela ousadia de experimentar situações «novas».
Referências
Fosnot, C & Dolk, M. (2001). Young mathematicians at work: Construc-
ting multiplication and division. Portsmouth, NH: Heinemann.
ME. (2007). Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: Ministé-
rio da Educação (DGIDC).
Projecto DSN. (2005). Desenvolvendo o sentido de número. Materiais 
para o educador e para o professor do 1.º ciclo. Lisboa: APM.
Guida Lourenço
EB1 D. Manuel I, Tavira
Luciano Veia
Escola Superior de Educação e Comunicação da Universidade do Algarve
ENCONTROS
Encontro «A Matemática nos primeiros anos»
Pela 14ª ocasião, especifi camente dedicado ao ensino e apren-
dizagem da Matemática na parte inicial da história pré-escolar 
e escolar, volta a realizar-se este encontro, nos dias 15 e 16 de 
Abril, regressando a Viseu onde já tinha estado em 1998, depois 
de passar por todo o país, de Viana do Castelo a Faro.
 Assumindo sempre, mas com mais veemência neste encontro 
os primeiros anos como aqueles que se estendem do pré-escolar 
até ao fi m do 2º ciclo do ensino básico, o encontro refl ete as 
preocupações decorrentes do início da generalização de um 
novo programa de Matemática, dedicando várias sessões de 
natureza diversa aos temas associados a esse programa.
 A conferência de abertura, da responsabilidade de uma 
equipa de investigadores que avaliaram as diversas etapas de 
passagem ao terreno do novo programa de Matemática, vai 
permitir a partilha de recomendações, refl exões e inferências 
avaliativas, de interesse evidente para todos os que estão já 
a lidar com a generalização do programa. No seguimento dos 
dois dias do encontro, serão realizadas outras conferências sobre 
vários assuntos que incluem «temas matemáticos» e «capacida-
des transversais» do programa, sessões práticas que permitirão 
a participação ativa na realização e discussão de propostas 
concretas, alem de outras realizações com formatos diversos.
Para todos os participantes, deseja-se uma experiência enrique-
cedora, num ambiente de cooperação solidária.


https://sapientia.ualg.pt/bitstream/10400.1/3046/1/_EM111_pp37-40_Calculando_em_cadeia.pdf

Calculando em cadeia

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