Tese dout., Matemática, Inst. Superior Técnico, Univ. Técnica de Lisboa, 2007Nesta dissertação iremos analisar um modelo de computação analógica, baseado
em equações diferenciais polinomiais.
Começa-se por estudar algumas propriedades das equações diferenciais polinomiais, em
particular a sua equivalência a outro modelo baseado em circuitos analógicos (GPAC),
introduzido por C. Shannon em 1941, e que é uma idealização de um dispositivo físico, o
Analisador Diferencial.
Seguidamente, estuda-se o poder computacional do modelo. Mais concretamente,
mostra-se que ele pode simular máquinas de Turing, de uma forma robusta a erros, pelo
que este modelo é capaz de efectuar computações de Tipo-1. Esta simulação é feita em
tempo contínuo. Mais, mostramos que utilizando um enquadramento apropriado, o modelo
é equivalente à Análise Computável, isto é, à computação de Tipo-2.
Finalmente, estudam-se algumas limitações computacionais referentes aos problemas
de valor inicial (PVIs) definidos por equações diferenciais ordinárias. Em particular: (i)
mostra-se que mesmo que o PVI seja definido por uma função analítica e que a mesma,
assim como as condições iniciais, sejam computáveis, o respectivo intervalo maximal de
existência da solução não é necessariamente computável; (ii) estabelecem-se limites para
o grau de não-computabilidade, mostrando-se que o intervalo maximal é, em condições
muito gerais, recursivamente enumerável; (iii) mostra-se que o problema de decidir se o
intervalo maximal é ou não limitado é indecídivel, mesmo que se considerem apenas PVIs
polinomiais
