Goranka Nogo

Ivo Ivanišević

Croatian

HRČAK - Portal of Croatian Scientific and Professional Journals

Rješavanje problema 2-particije multiskupaIvo Ivanišević1 , Goranka Nogo2UvodPretpostavimo da košarkaški trener iz skupa od deset košarkaša, čija je kvaliteta uigri izražena pridruženim brojem, želi načiniti dvije ekipe jednake snage (ili baremminimalne razlike), tj. želi da razlika zbroja brojeva koji su pridruženi košarkašima uprvoj i drugoj ekipi bude najmanja moguća. Tako je, na primjer, za skup košarkaša{2, 10, 3, 8, 5, 7, 9, 5, 3, 2}jedan od mogućih odabira ekipa:{10, 8, 5, 2, 2} i {9, 7, 5, 3, 3}pri čemu razlika u snazi iznosi 0 . No, i odabir{10, 7, 5, 3, 2} i {9, 8, 5, 3, 2}ima isto svojstvo tako da zaključujemo da rješenje problema ne mora biti jedinstveno.Primijetimo da su u skupu košarkaša neki od njih jednako dobri. To nas dovodido pojma multiskupa. Multiskup nalikuje skupu samo što kod ovog uzimamo u obzirponavljanja njegovih elemenata.U ovom radu prvo ćemo navesti jednu od ekvivalentnih definicija problema 2-particije multiskupa, a zatim ćemo opisati dva algoritma koji pronalaze jednu 2-particijumultiskupa, ne nužno minimalne razlike.Definicija problemaDefinicija problema pronalaženja 2-particije proizvoljnog multiskupa pozitivnih cijelihbrojeva je izuzetno jednostavna. Za dani multiskup A = {a1, a2, . . . , aN} pozitivnihcijelih brojeva treba pronaći particiju, to jest podskup A ⊂ {1, . . . , N} takav da jerazlikaΔ(A) =∣∣∑i∈Aai −∑i /∈Aai∣∣minimalna. Za particiju, takvu da je Δ = 0 (Δ = 1) i da je suma∑aj parna (neparna)kažemo da je savršena. Problem su prvi puta formulirali M. R. Garey i D. S. Johnsongodine 1967.Ova jednostavna formulacija problema, na prvi pogled skriva njegovu pravu težinu.Problem 2-particije multiskupa spada u klasu najteže rješivih problema, tj. spada u klasuNP-teških problema [2]. Problem je interesantan s praktičkog i teorijskog stajališta.Praktične primjene nalazimo npr. u raspore -divanju poslova u multiprocesorskom okru-ženju, dok je s teorijskog stajališta problem interesantan jer se koristi u dokazivanjuNP-potpunosti nekih drugih (kompliciranijih) problema.1 Student na PMF-u, Matematičkom odsjeku Sveučilišta u Zagrebu, e-pošta: ivo.ivanisevic@gmail.com2 Docent na PMF-u, Matematičkom odsjeku Sveučilišta u Zagrebu, e-pošta: nogo@math.hrMatematičko-fizički list, LXIII 1 (2012. – 2013.) 21Pohlepni algoritamOd velikog broja algoritama za rješavanje ovog problema zacijelo je najjednostavnijipohlepni (greedy) algoritam. Naziv pohlepni dolazi od toga što algoritam “sprema”naveći preostali broj iz multiskupa u “torbu” s manjom sumom. Tako za skup{19, 13, 17, 6, 9} imamo sljedeću tablicu koja prikazuje particioniranje našeg skupaprimjenom pohlepog pristupa.preostali brojevi parcijalna particija Δ{19, 13, 17, 6, 9} { } { } –{13, 17, 6, 9} {19} { } 19{13, 6, 9} {19} {17} 2{6, 9} {19} {17, 13} 11{6} {19, 9} {17, 13} 2{ } {19, 9, 4} {17, 13} 2Iz primjera je jasno vidljivo da pohlepni pristup ne daje optimalno rješenje pošto jeodstupanje jednako dva, dok je minimalno odstupanje jednako nuli za jedan primjersavršene particije {19, 13}{17, 9, 6} traženog skupa. Ideja pohlepnog pristupa prirješavanju problema 2-particije multiskupa je da se pri svakom koraku algoritmasmanjuje odstupanje podskupova. Prilikom rada algoritma može se dogoditi da prijezadnjeg koraka dva podskupa imaju jednake sume. U tom slučaju algoritam završavas razlikom jednakoj najmanjem elementu multiskupa. Budući da algoritam u svakomkoraku odabire najveći broj, prilikom implementacije algoritma je potrebno ulaznepodatke sortirati silazno da bi se ubrzalo izvo -denje.Karmarkar-Karpov diferencijski algoritamDiferencijski algoritam Karmarkara i Karpa (1982.) smatra se jednim od najboljihalgoritama za rješavanje problema 2-particije multiskupa. Razlog za to ponajviše leži učinjenici da daje rješenja jako blizu optimalnog, a uz to je i jako brz. Glavna ideja je dase smanji veličina brojeva u multiskupu i to na način da se dva najveća broja zamijenenjihovom razlikom. To znači da će svaka dva najveća broja ići u različit podskup, nobez odluke u koji će točno podskup svaki od brojeva ići. Na primjer, pogledajmo kakoizgleda particioniranje skupa {19, 17, 13, 9, 6} . Ukoliko stavimo broj 19 u prvi podskupi broj 17 u drugi, tada je to ekvivalentno tome da stavimo broj 2 u prvi podskup.Nadalje, ukoliko odlučimo 19 staviti u drugi podskup a 17 u prvi, tada je to ekvivalentnostavljanju broja 2 u drugi podskup. Zaključujemo da ukoliko odlučimo da 19 i 17 iduu različite podskupove, tada ih je dovoljno zamijeniti njihovom razlikom. Zatim, na istinačin, particioniramo skup {13, 9, 6, 2} .Algoritam zasnovan na diferencijama se izvodi u dvije faze, pod uvjetom da jemultiskup sortiran silazno. U prvoj se fazi dva najveća broja (prva dva s lijeve strane)zamjenjuju njihovom razlikom. Postupak ponavljamo dok ne dobijemo samo jedan broj,koji zapravo odre -duje razliku suma podskupova. U drugoj fazi se vraćamo unatrag te izniza diferencijskih odluka generiramo particiju zamjenjujući broj koji predstavlja razlikudva broja s pripadnim brojevima koji generiraju tu razliku. Ukoliko je pročitani brojelement početnog multiskupa on se fiksira u jedan od podskupova. Pri tome se većibroj pridjeljuje onom podskupu s manjom trenutnom sumom. Hod algoritma za skup{19, 17, 13, 9, 6} vidimo u sljedećoj tablici.22 Matematičko-fizički list, LXIII 1 (2012. – 2013.)skup za particioniranje razlika prvi podskup drugi podskup odstupanje19 17 13 9 6 2 13 19 17 9 6 013 9 6 2 4 13 2 9 6 06 4 2 2 4 2 6 02 2 0 2 2 00 0 0Vidimo da algoritam za ovaj skup generira savršenu particiju, no lako se pokaže dadiferencijski algoritam ne daje uvjek optimalna rješenja. Jasno je da za skup čijasavršena particija u jednom podskupu sadrži oba najveća elementa ovaj algoritam negenerira optimalno rješenje, jer ih on “sprema” u različite podskupove.Modificirani Karmakar-Karpov diferencijski algoritam je zasnovan na modifikacijidiferencijskog algoritma na način da se u svakom koraku algoritma redom zamjenjuju podva elementa njihovom razlikom. Time se u svakom koraku algoritma dobiva smanjenjeveličine multiskupa za faktor dva i veličine brojeva skupa. Hod algoritma na većpoznatom skupu {19, 17, 13, 9, 6} opisuje sljedeća tablica.skup za particioniranje razlika prvi podskup drugi podskup odstupanje19 17 13 9 6 2 4 19 13 17 9 6 06 4 2 2 4 2 6 02 2 0 2 2 00 0 0O težini problemaOpisani algoritmi daju optimalno rješenje u mnogim slučajevima. Zbog toga i zbogjednostavne formulacije, za problem 2-particije multiskupa se koristi i naziv najlakšiteški problem.Kao što smo prilikom definiranja naveli, problem 2-particije multiskupa je težak.No, nije sasvim jasno pod kojim uvjetima opisani problem postaje uistinu težak. Zamultiskupove od stotinjak tisuća prirodnih brojeva ne većih od 100 algoritmi gotovouvijek pronalaze optimalno tješenje, dok je za multiskupove od 10-ak prirodnih brojevavećih od 210 gotovo nemoguće pronaći savršenu particiju ukoliko ona postoji.Dva faktora utječu na veličinu problema: koliko imamo brojeva u multiskupu ikolika je njihova veličina (broj bitova u binarnom prikazu). Preciznije rečeno, veličinaproblema zavisi o broju bitova potrebnih za njegovu reprezentaciju, a to pak zavisi obroju n pozitivnih cijelih brojeva u multiskupu i o broju m bitova u binarnom prikazunajvećeg od njih. Moglo bi se pretpostaviti da i težina problema raste kako rastu brojevin i m , no pokazuje se da pravu informaciju o težini problema daje omjermn.Ako je n  m neće biti problematično naći savršenu particiju. No, ako je m  nrješavanje problema postaje izuzetno nezahvalna zadaća. Prijelaz izme -du lako i teškorješivih instanci problema doga -da se kada jemn≈ 1. Otvoreno je pitanje točnogodre -divanja točke prijelaza.Literatura[1] THOMAS H. CORMEN, CHARLES E. LEIESERSON, RONALD L. RIVEST, CLIFORD STEIN,Introduction to Algorithms, The MIT press, 2009.[2] BRIAN HAYES, The Easiest Hard Problem, (2002),http://www.americanscientist.org/issues/pub/the-easiest-hard-problem/5.[3] STEPHAN MARTENS, The Easiest Hard Problem: Number Partitioning, (2003),http://arxiv.org/ftp/cond-mat/papers/0310/0310317.pdf.Matematičko-fizički list, LXIII 1 (2012. – 2013.) 23

Rješavanje problema 2-particije multiskupa

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

HRČAK - Portal of Croatian Scientific and Professional Journals

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia