Goranka Nogo

Saša Singer

Croatian

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

Prikaz cijelih brojeva u racˇunalu – predavanje s prve godine studijaGoranka Nogo1 , Sasˇa Singer 2Kolegij Programiranje 1 obvezni je kolegij za studente prve godine preddiplomskogsveucˇilisˇnog studija Matematika te izborni kolegij za studente preddiplomskogsveucˇilisˇnog studija Matematika; smjer: nastavnicˇki. Nakon polozˇenog kolegijastudenti, izme -du ostalog, mogu objasniti prikaz cijelih i realnih brojeva u racˇunalute su svjesni problema koji nastaju kao posljedica cˇinjenice da su prikazivi skupovibrojeva konacˇni. U ovom cˇlanku bit c´e prikazano jedno predavanje na kolegijuProgramiranje 1.Na pocˇetku, prisjetimo se osnovnog problema: standardni skupovi brojeva N , Zi R su beskonacˇni te ih stoga ne mozˇemo prikazati u racˇunalu. Umjesto toga, uracˇunalu mozˇemo prikazati samo neke konacˇne podskupove (modele) odgovarajuc´egmatematicˇkog skupa. Numericˇke tipove podataka mozˇemo podijeliti u tri grupe, premabeskonacˇnom skupu kojeg modeliramo:• “cijeli” brojevi bez predznaka – model za N0 = N ∪ {0}• “cijeli” brojevi s predznakom – model za Z• “realni” brojevi – model za R .Navodnici naglasˇavaju da su prikazivi skupovi brojeva konacˇni. Svaka grupa mozˇeimati nekoliko podgrupa ovisno o broju bitova predvi -denom za prikaz.Pretpostavimo da imamo n bitova za prikaz broja. Tipicˇne vrijednosti za n su 8,16, 32 i 64. U n bitova mozˇemo prikazati tocˇno 2n razlicˇitih podataka. Dakle, skupprikazivih brojeva ima najvisˇe 2n elemenata.Prikaz cijelih brojeva bez predznakaCijeli brojevi bez predznaka modeliraju skup N0 = N ∪ {0} . Dogovor je da se uracˇunalu prikazuje najvec´i pocˇetni komad tog skupa. Dakle, skup svih prikazivih cijelihbrojeva bez predznaka jednak je Z2n = {0, 1, 2, . . . , 2n − 2, 2n − 1}. Najvec´i prikazivicijeli broj bez predznaka jednak je 2n − 1. Vec´e brojeve ne mozˇemo prikazati koristec´in bitova. Tipicˇne vrijednosti za najvec´i prikazivi broj bez predznaka sun 2n − 18 25516 65 53532 4 294 967 29564 18 446 744 073 709 551 615Kako stvarno izgleda prikaz brojeva u tih n bitova? Prikaz (prikazivog) broja jedoslovna kopija prikaza tog broja u pozicionom zapisu u bazi 2, uz dopunu nulama“sprijeda” do n bitova. Pogledajmo sljedec´i primjer.1 Autorica je docent na MO PMF-a Sveucˇlisˇta u Zagrebu, e-posˇta: nogo@math.hr2 Autor je izvanredni profesor na MO PMF-a Sveucˇlisˇta u Zagrebu, e-posˇta: singer@math.hrMatematicˇko-fizicˇki list, LXV 2 (2014. – 2015.) 139Primjer 1. Jednostavnosti radi, pretpostavimo da je n = 8 i pogledajmo zapis broja59. Primijetimo da je broj 59 prikaziv jer je 59 < 255 = 28 − 1.59 = 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20.Nakon dopune nulama dobivamo:59 = 0 · 27 + 0 · 26 + 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20.Dakle, broj 59, kao cijeli broj bez predznaka, ima prikaz7 6 5 4 3 2 1 00 0 1 1 1 0 1 1ili, 59 = [0 0 1 1 1 0 1 1] .Aritmetika cijelih brojeva bez predznaka s n bitova za prikaz brojeva je tzv. modularnaaritmetika. To znacˇi da aritmeticˇke operacije + , − i · , na skupu Z2n cijelih brojeva bezpredznaka, daju rezultat koji je jednak ostatku rezultata pripadne cjelobrojne operacije(u skupu Z) pri dijeljenju s 2n . Zasˇto se aritmetika cijelih brojeva realizira na ovajnacˇin, tj. kao modularna aritmetika? Tehnicˇki gledano, ova realizacija je najlaksˇa i brza.U pozadini ove realizacije je klasicˇna algebarska struktura prstena ostataka modulo 2n(o tome c´ete ucˇiti kasnije).Vazˇna napomena. Ako je “pravi” cjelobrojni rezultat, npr. zbroj dva broja, prevelik(neprikaziv), racˇunalo ne javlja nikakvu gresˇku.Primijetite da dijeljenje do sada nismo spomenuli. Rezultat dijeljenja dva cijela brojane mora biti cijeli broj. Zamjena za to “obicˇno” dijeljenje u cijelim brojevima je tzv.dijeljenje s ostatkom. Uocˇite da cjelobrojno dijeljenje s ostatkom daje dva rezultata:cjelobrojni kvocijent i ostatak. Za cjelobrojni ostatak cˇesto se koristi oznaka div (uprogramskom jeziku C to je operator / ), a za cjelobrojni koeficijent oznaka mod(operator % u C-u). Dakle, operacije cjelobrojnog dijeljenja s ostatkom div i mod dajuiste rezultate kao da dijelimo u N0 .U programskom jeziku C cijelim brojevima bez predznaka odgovara tip koji se zoveunsigned int, ili, skrac´eno, unsigned. Ovaj tip, osim u standardnoj velicˇini, postoji iu velicˇinama short, long i long long, ovisno o broju bitova predvi -denih za prikaz.Primjer 2.#include <stdio.h>int main(void) {unsigned short i = 65535; /* n=16 */printf("%d\n", i / 10); /* 6553 */i = i + 3;printf("%d\n", i); /* 2: 65536+2 */return 0;}Primjer 3.#include <stdio.h>int main(void) {unsigned short i = 2, j = 4;i = i - j;printf("%d\n", i); /* 65534: 2+65536-4 */return 0;}Kod pridruzˇivanja vrijednosti i kod cˇitanja tako -der vrijedi modularna aritmetika.140 Matematicˇko-fizicˇki list, LXV 2 (2014. – 2015.)Zadac´a. Koju vrijednost c´e poprimiti varijabla i nakon izvrsˇavanja sljedec´ih naredbi:a) unsigned short i = 65546;b) unsigned short i = 1024*1024;c) unsigned short i;scanf("%d",&i); /* upišemo 65546 */Prikaz cijelih brojeva s predznakomCijeli brojevi s predznakom modeliraju skup Z . Me -du prikazivim brojevima morajubiti i neki negativni brojevi. Dogovor je da se u racˇunalu prikazuje najvec´i moguc´ipodskup uzastopnih brojeva iz Z koji je “skoro” simetricˇan oko 0. Dakle, prikazivihnegativnih brojeva ima podjednako mnogo kao i nenegativnih. Prisjetimo se: ako imamon bitova na raspolaganju za prikaz, onda skup svih prikazivih brojeva ima najvisˇe 2nelemenata. Ako zˇelimo da tocˇno polovina tih brojeva bude negativna, onda njih morabiti 2n/2 = 2n−1 . Dakle, skup svih prikazivih brojeva cijelih brojeva s predznakomjednak je Z−2n = {−2n−1,−2n−1+1, . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . , 2n−1−2, 2n−1−1}. Brojeveizvan tog skupa ne mozˇemo prikazati (kao cijele brojeve s predznakom) koristec´i samon bitova. Najmanji i najvec´i prikazivi cijeli broj s predznakom su, redom: −2n−1 ,2n−1 − 1. Tipicˇne vrijednosti za te brojeve sun −2n−1 2n−1 − 18 −128 12716 −32 768 32 76732 −2 147 483 648 2 147 483 64764 −9 223 372 036 854 775 806 9 223 372 036 854 775 805U programskom jeziku C cijelim brojevima s predznakom odgovara tip koji se zoveint. Ovaj tip, osim u standardnoj velicˇini, postoji i u velicˇinama short, long i longlong, ovisno o broju bitova predvi -denih za prikaz. U zaglavnoj datoteci limits.hdefinirane su cjelobrojne konstante za osnovne cjelobrojne tipove. Npr. SHRT_MIN jenajmanji prikazivi cijeli broj za tip short int, a INT_MAX najvec´i prikazivi cijeli brojza tip int.Kako stvarno izgleda prikaz brojeva u tih n bitova? Nenegativni brojevi imajuisti prikaz kao i cijeli brojevi bez predznaka. Stoga aritmetika za cijele brojeve spredznakom mora i dalje biti ista, tj. modularna aritmetika modulo 2n . No, sˇto jes prikazom negativnih brojeva? Pravilo za prikaz je vrlo jednostavno: iste prikazeimaju oni brojevi koji imaju isti “pravi” ostatak modulo 2n . Drugim rijecˇima, zaB = 1, 2, . . . , 2n−1• prikaz negativnog broja −B (s predznakom)• jednak je prikazu broja 2n − B (bez predznaka).Primjer 4. Neka je n = 3, tj. imamo samo 3 bita za prikaz. Prikazivih brojeva ima23 = 8. Prikazi cijelih brojeva bez predznaka iz Z8 i cijelih brojeva s predznakom izZ−8 su:Matematicˇko-fizicˇki list, LXV 2 (2014. – 2015.) 141B ∈ Z8 B ∈ Z−8 prikaz0 0 0001 1 0012 2 0103 3 0114 −4 1005 −3 1016 −2 1107 −1 111Primjer 5.• 2n−1 − 1 ←→ [0 1 1 1 1 1 1 1]• −1 ←→ 2n − 1 ←→ [1 1 1 1 1 1 1 1]• −2n−1 ←→ 2n − 2n−1 = 2n−1 ←→ [1 0 0 0 0 0 0 0] .Primjer 6.#include <stdio.h>int main(void) {short int i = 32766; /* n = 16 */i += 1;printf("%d\n", i); /* 32767 */i += 1;printf("%d\n", i); /* -32768, a ne 32768 */return 0;}Sljedec´i puta c´emo rec´i nesˇto o prikazu suprotnog broja preko komplementa te odijeljenju cijelih brojeva s predznakom. Za kraj, pogledajmo jedan primjer klasicˇnepogresˇke.Primjer 7. Racˇunanje n! u cjelobrojnoj aritmetici.Za prirodni broj n funkciju faktorijela definiramo na sljedec´i nacˇin:1! = 1, n! = n · (n − 1)! za n ≥ 2.Napisˇimo sada program koji u cjelobrojnoj aritmetici racˇuna n! .#include <stdio.h>int main(void) {int i, f50 = 1; /* n = 32 */for (i = 2; i <= 50; ++i)f50 *= i;printf("f50 = %d\n", f50); /* f50 = 0 */return 0;}Zasˇto je izlazna vrijednost f50=0? Tocˇna vrijednost je 50! = 3041409320171337804361260 81660 64768 84437 76415 68960 51200 00000 00000.50! = 247 · 322 · 512 · 78 · 114 · 133 · 172 · 192 · 232 · 29 · 31 · 37 · 41 · 43 · 47, odnosno50! = 0 mod 232 .142 Matematicˇko-fizicˇki list, LXV 2 (2014. – 2015.)

Prikaz cijelih brojeva u računalu – predavanje s prve godine studija

HRČAK - Portal of Croatian Scientific and Professional Journals

Prikaz cijelih brojeva u računalu – predavanje s prve godine studijaGoranka Nogo1 , Saša Singer 2Kolegij Programiranje 1 obvezni je kolegij za studente prve godine preddiplomskogsveučilišnog studija Matematika te izborni kolegij za studente preddiplomskogsveučilišnog studija Matematika; smjer: nastavnički. Nakon položenog kolegijastudenti, izme -du ostalog, mogu objasniti prikaz cijelih i realnih brojeva u računalute su svjesni problema koji nastaju kao posljedica činjenice da su prikazivi skupovibrojeva konačni. U ovom članku bit će prikazano jedno predavanje na kolegijuProgramiranje 1.Na početku, prisjetimo se osnovnog problema: standardni skupovi brojeva N , Zi R su beskonačni te ih stoga ne možemo prikazati u računalu. Umjesto toga, uračunalu možemo prikazati samo neke konačne podskupove (modele) odgovarajućegmatematičkog skupa. Numeričke tipove podataka možemo podijeliti u tri grupe, premabeskonačnom skupu kojeg modeliramo:• “cijeli” brojevi bez predznaka – model za N0 = N ∪ {0}• “cijeli” brojevi s predznakom – model za Z• “realni” brojevi – model za R .Navodnici naglašavaju da su prikazivi skupovi brojeva konačni. Svaka grupa možeimati nekoliko podgrupa ovisno o broju bitova predvi -denom za prikaz.Pretpostavimo da imamo n bitova za prikaz broja. Tipične vrijednosti za n su 8,16, 32 i 64. U n bitova možemo prikazati točno 2n različitih podataka. Dakle, skupprikazivih brojeva ima najviše 2n elemenata.Prikaz cijelih brojeva bez predznakaCijeli brojevi bez predznaka modeliraju skup N0 = N ∪ {0} . Dogovor je da se uračunalu prikazuje najveći početni komad tog skupa. Dakle, skup svih prikazivih cijelihbrojeva bez predznaka jednak je Z2n = {0, 1, 2, . . . , 2n − 2, 2n − 1}. Najveći prikazivicijeli broj bez predznaka jednak je 2n − 1. Veće brojeve ne možemo prikazati koristećin bitova. Tipične vrijednosti za najveći prikazivi broj bez predznaka sun 2n − 18 25516 65 53532 4 294 967 29564 18 446 744 073 709 551 615Kako stvarno izgleda prikaz brojeva u tih n bitova? Prikaz (prikazivog) broja jedoslovna kopija prikaza tog broja u pozicionom zapisu u bazi 2, uz dopunu nulama“sprijeda” do n bitova. Pogledajmo sljedeći primjer.1 Autorica je docent na MO PMF-a Sveučlišta u Zagrebu, e-pošta: nogo@math.hr2 Autor je izvanredni profesor na MO PMF-a Sveučlišta u Zagrebu, e-pošta: singer@math.hrMatematičko-fizički list, LXV 2 (2014. – 2015.) 139Primjer 1. Jednostavnosti radi, pretpostavimo da je n = 8 i pogledajmo zapis broja59. Primijetimo da je broj 59 prikaziv jer je 59 < 255 = 28 − 1.59 = 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20.Nakon dopune nulama dobivamo:59 = 0 · 27 + 0 · 26 + 1 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20.Dakle, broj 59, kao cijeli broj bez predznaka, ima prikaz7 6 5 4 3 2 1 00 0 1 1 1 0 1 1ili, 59 = [0 0 1 1 1 0 1 1] .Aritmetika cijelih brojeva bez predznaka s n bitova za prikaz brojeva je tzv. modularnaaritmetika. To znači da aritmetičke operacije + , − i · , na skupu Z2n cijelih brojeva bezpredznaka, daju rezultat koji je jednak ostatku rezultata pripadne cjelobrojne operacije(u skupu Z) pri dijeljenju s 2n . Zašto se aritmetika cijelih brojeva realizira na ovajnačin, tj. kao modularna aritmetika? Tehnički gledano, ova realizacija je najlakša i brza.U pozadini ove realizacije je klasična algebarska struktura prstena ostataka modulo 2n(o tome ćete učiti kasnije).Važna napomena. Ako je “pravi” cjelobrojni rezultat, npr. zbroj dva broja, prevelik(neprikaziv), računalo ne javlja nikakvu grešku.Primijetite da dijeljenje do sada nismo spomenuli. Rezultat dijeljenja dva cijela brojane mora biti cijeli broj. Zamjena za to “obično” dijeljenje u cijelim brojevima je tzv.dijeljenje s ostatkom. Uočite da cjelobrojno dijeljenje s ostatkom daje dva rezultata:cjelobrojni kvocijent i ostatak. Za cjelobrojni ostatak često se koristi oznaka div (uprogramskom jeziku C to je operator / ), a za cjelobrojni koeficijent oznaka mod(operator % u C-u). Dakle, operacije cjelobrojnog dijeljenja s ostatkom div i mod dajuiste rezultate kao da dijelimo u N0 .U programskom jeziku C cijelim brojevima bez predznaka odgovara tip koji se zoveunsigned int, ili, skraćeno, unsigned. Ovaj tip, osim u standardnoj veličini, postoji iu veličinama short, long i long long, ovisno o broju bitova predvi -denih za prikaz.Primjer 2.#include <stdio.h>int main(void) {unsigned short i = 65535; /* n=16 */printf("%d\n", i / 10); /* 6553 */i = i + 3;printf("%d\n", i); /* 2: 65536+2 */return 0;}Primjer 3.#include <stdio.h>int main(void) {unsigned short i = 2, j = 4;i = i - j;printf("%d\n", i); /* 65534: 2+65536-4 */return 0;}Kod pridruživanja vrijednosti i kod čitanja tako -der vrijedi modularna aritmetika.140 Matematičko-fizički list, LXV 2 (2014. – 2015.)Zadaća. Koju vrijednost će poprimiti varijabla i nakon izvršavanja sljedećih naredbi:a) unsigned short i = 65546;b) unsigned short i = 1024*1024;c) unsigned short i;scanf("%d",&i); /* upišemo 65546 */Prikaz cijelih brojeva s predznakomCijeli brojevi s predznakom modeliraju skup Z . Me -du prikazivim brojevima morajubiti i neki negativni brojevi. Dogovor je da se u računalu prikazuje najveći mogućipodskup uzastopnih brojeva iz Z koji je “skoro” simetričan oko 0. Dakle, prikazivihnegativnih brojeva ima podjednako mnogo kao i nenegativnih. Prisjetimo se: ako imamon bitova na raspolaganju za prikaz, onda skup svih prikazivih brojeva ima najviše 2nelemenata. Ako želimo da točno polovina tih brojeva bude negativna, onda njih morabiti 2n/2 = 2n−1 . Dakle, skup svih prikazivih brojeva cijelih brojeva s predznakomjednak je Z−2n = {−2n−1,−2n−1+1, . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . , 2n−1−2, 2n−1−1}. Brojeveizvan tog skupa ne možemo prikazati (kao cijele brojeve s predznakom) koristeći samon bitova. Najmanji i najveći prikazivi cijeli broj s predznakom su, redom: −2n−1 ,2n−1 − 1. Tipične vrijednosti za te brojeve sun −2n−1 2n−1 − 18 −128 12716 −32 768 32 76732 −2 147 483 648 2 147 483 64764 −9 223 372 036 854 775 806 9 223 372 036 854 775 805U programskom jeziku C cijelim brojevima s predznakom odgovara tip koji se zoveint. Ovaj tip, osim u standardnoj veličini, postoji i u veličinama short, long i longlong, ovisno o broju bitova predvi -denih za prikaz. U zaglavnoj datoteci limits.hdefinirane su cjelobrojne konstante za osnovne cjelobrojne tipove. Npr. SHRT_MIN jenajmanji prikazivi cijeli broj za tip short int, a INT_MAX najveći prikazivi cijeli brojza tip int.Kako stvarno izgleda prikaz brojeva u tih n bitova? Nenegativni brojevi imajuisti prikaz kao i cijeli brojevi bez predznaka. Stoga aritmetika za cijele brojeve spredznakom mora i dalje biti ista, tj. modularna aritmetika modulo 2n . No, što jes prikazom negativnih brojeva? Pravilo za prikaz je vrlo jednostavno: iste prikazeimaju oni brojevi koji imaju isti “pravi” ostatak modulo 2n . Drugim riječima, zaB = 1, 2, . . . , 2n−1• prikaz negativnog broja −B (s predznakom)• jednak je prikazu broja 2n − B (bez predznaka).Primjer 4. Neka je n = 3, tj. imamo samo 3 bita za prikaz. Prikazivih brojeva ima23 = 8. Prikazi cijelih brojeva bez predznaka iz Z8 i cijelih brojeva s predznakom izZ−8 su:Matematičko-fizički list, LXV 2 (2014. – 2015.) 141B ∈ Z8 B ∈ Z−8 prikaz0 0 0001 1 0012 2 0103 3 0114 −4 1005 −3 1016 −2 1107 −1 111Primjer 5.• 2n−1 − 1←→ [0 1 1 1 1 1 1 1]• −1←→ 2n − 1←→ [1 1 1 1 1 1 1 1]• −2n−1 ←→ 2n − 2n−1 = 2n−1 ←→ [1 0 0 0 0 0 0 0] .Primjer 6.#include <stdio.h>int main(void) {short int i = 32766; /* n = 16 */i += 1;printf("%d\n", i); /* 32767 */i += 1;printf("%d\n", i); /* -32768, a ne 32768 */return 0;}Sljedeći puta ćemo reći nešto o prikazu suprotnog broja preko komplementa te odijeljenju cijelih brojeva s predznakom. Za kraj, pogledajmo jedan primjer klasičnepogreške.Primjer 7. Računanje n! u cjelobrojnoj aritmetici.Za prirodni broj n funkciju faktorijela definiramo na sljedeći način:1! = 1, n! = n · (n − 1)! za n ≥ 2.Napišimo sada program koji u cjelobrojnoj aritmetici računa n! .#include <stdio.h>int main(void) {int i, f50 = 1; /* n = 32 */for (i = 2; i <= 50; ++i)f50 *= i;printf("f50 = %d\n", f50); /* f50 = 0 */return 0;}Zašto je izlazna vrijednost f50=0? Točna vrijednost je 50! = 3041409320171337804361260 81660 64768 84437 76415 68960 51200 00000 00000.50! = 247 · 322 · 512 · 78 · 114 · 133 · 172 · 192 · 232 · 29 · 31 · 37 · 41 · 43 · 47, odnosno50! = 0 mod 232 .142 Matematičko-fizički list, LXV 2 (2014. – 2015.)

Prikaz cijelih brojeva u računalu – predavanje s prve godine studija

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

HRČAK - Portal of Croatian Scientific and Professional Journals