Zvonko Benčić

Croatian

Benčić, Zvonko

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

Babilonska metoda rješavanja zadatakaiz analitičke geometrijeZvonko Benčić1Jeste li već čuli za Babilonsku metodu rješavanja zadataka iz analitičke geometrije?Naravno da niste. Metodi me je podučio moj unuk, a ja sam joj samo dao naziv.Ideja te metode je u pragmatizmu. Na testu je važno dobiti točan rezultat, anije važan način razmišljanja. “Za crtanje slike u koordinatnom sustavu nemamvremena”, bunio se unuk. Začudio sam se. Tako me nisu učili moji učitelji. Učilisu me da geometrijske probleme rješavam algebarskim metodama, a da algebarskeprobleme geometrijski predočujem u koordinatnom sustavu i da ih eventualno rješavamgeometrijskim konstrukcijama.Tu, Babilonsku metodu ilustrirat ću na primjeru rješavanja jednog zadatka u vezihiperbole. Bit metode je da se riješi zadatak ne crtajući krivulje u koordinatnom sustavu,tj. upotrebljavajući samo gramatičke manipulacije izme -du matematičkih formula, nerazmišljajući o njihovom geometrijskom značenju (pogledajte npr. knjigu: Željko PaušeMatematika i zdrav razum, Školska knjiga, 2007.).U moje učeničko doba često smo se opravdavali: “Ne znam formulu, ali je znamizvesti”. Danas je češće obratno: “Znam formulu, ali je ne znam izvesti”.Primjer Babilonske metodeEvo zadatka iz udžbenika za treći razred gimnazije. Linearni ekscentricitet hiperbolex2a2− y2b2= 1 iznosi 10, a pravac 4x + 3y = 0 je asimptota hiperbole. Na -di njezinujednadžbu.Unuk je razmišljao ovako. Nepoznanice su a i b . Trebam sustav od dvije jednadžbes dvije nepoznanice. Jedna je definicijska jednadžba za linearni ekscentricitet hiperbole:e2 = a2 + b2 (1)a druga je jednadžba asimptote hiperbole:y = ±bax. (2)Uvrštenjem e = 10 u (1) dobije se:102 = a2 + b2 (3)a usporedbom zadane jednadžbe asimptote1 Autor je redoviti profesor u miru na Fakultetu elektrotehnike i računarstva Sveučilišta u Zagrebu,e-pošta: zvonko.bencic@fer.hr204 Matematičko-fizički list, LXIV 3 (2013. – 2014.)y = −43x (4)s općom jednadžbom asimptote (2) dobije se:ba=43. (5)Rješavanjem sustava jednadžbi (3) i (5) dobivamoa = 6, b = 8. (6)Svakako treba napomenuti da se bez crtanja krivulja (i pravac je krivulja!) ukoordinatnom sustavu mogu lako riješiti samo neki zadaci.Odakle naziv Babilonska metoda?U prvi trenutak nisam mogao spoznajno prihvatiti da se ne crta slika u koordinatnomsustavu. A onda sam se sjetio knjige Science since Babylon koju je napisao Derek deSolla Price (Yale University Press, treće prošireno izdanje, 1978.), i koju sam davnopročitao.Babilonci su znali izračunati gibanje Sunca, Mjeseca i planeta na zvjezdanoj pozadini,ali nisu imali (koliko mi znamo) nikakvu geometrijsku sliku ili grafički prikaz gledenjihovog gibanja. Računali su s redovima monotono rastućih/ padajućih brojeva ilis redovima brojeva čija razlika monotono raste/ pada. Možda je najsličnija metodanjihovoj, u današnjoj matematici, Fourierova analiza, tj. rastavljanje periodičke funkcijeu red sinusnih funkcija.Heleni su imali profinjenu geometrijsku predodžbu gibanja nebeskih tijela, ali nisuznali tako točno odrediti položaj Sunca, Mjeseca i planeta kao što su to znali Babilonci.Nakon što je Aleksandar III. Veliki osvojio Babiloniju 331. pr. Kr. počelo je plodonosnome -dudjelovanje izme -du Babilonske numeričke matematike i Helenske geometrije. Tome -dudjelovanje rezultiralo je velebnim znanstvenim djelom starogrčke civilizacije,djelom od 13 knjiga naslova Veliki matematički sustav astronomije, poznatijem podnaslovom Almagest (znanost je umijeće modeliranja). Sastavio ga je Klaudije Ptolemejoko 140. godine. U Almagestu sjedinjene su na visokoj razini dvije prilično različiteznanstvene metode: jedna zasnovana na logici, geometriji i slici, a druga na brojevima ikvantitativnim izračunima.Evo što o tome piše Derek de Solla Price (1922.–1983.), engleski fizičar i povjesničarznanosti, u spomenutoj knjizi, na kraju prvog poglavlja:“Psihološka istraživanja Roberta Ornsteina (engleski psiholog i pisac, r. 1942.) supokazala da je razlika u načinima mišljenja u uskoj vezi s aktivnosti lijeve i desnepolutke ljudskog mozga. Lijeva polutka mozga upravlja desnom polovicom tijela i činise da je babilonska, a desna polutka mozga i lijeva polovica tijela da je grčka. Zar jemoguće da stare civilizacije tako jasno pokazuju dominaciju ili lijeve ili desne polutkemozga? Ako je tome tako, naša moderna civilizacija, svakako njezine posebne značajke,dobrano se zasnivaju na obrazovanju koje dovodi do me -dudjelovanja i uzajamne oplodnjedvije odvojene polutke mozga na osobnoj i društvenoj razini.”To je napisao Derek de Solla Price 1978. godine, dakle prije 35 godina. Njegovespoznaje potvr -duje i današnja znanost.Matematičko-fizički list, LXIV 3 (2013. – 2014.) 205Današnja znanost o funkcionalnoj organizaciji mozgaLijeva moždana polutka (analitička strana mozga) većine ljudi odgovorna je za logičkorazmišljanje, govorenje, čitanje i pisanje te za programiranje i izvo -denje motoričkihobrazaca. Desna moždana polutka (kreativna strana mozga) odgovorna je za kreativnorazmišljanje, umjetničko izražavanje, prostornu predodžbu i imaginaciju te za intuiciju(Vida Demarin, Mozart efekt, knjiga radova sa 7. znanstvenog skupa Medicina, znanosti umjetnost, Zagreb, 2006.; članak Mozak, Hrvatska enciklopedija, Leksikografski zavodMiroslav Krleža, sv. 7, 2005., str. 487). U brojnim slučajevima se pokazalo da dominacijalijeve moždane polutke suprimira kreativno mišljenje (Demarin, u navedenom članku).Me -dutim, obje polutke mozga zajedno omogućuju spoznajne sposobnosti i djeluju uprepoznavanju značenja osjetnih informacija.Funkcionalna organizacija mozga(http//medikus.hr/psiha/648-desna-ili-lijeva-strana-mozga.html)Primjerice, za percepciju glazbe potrebna je aktivnost centara u obje moždane polutke.Ispitivanjem se ustanovilo da se u neglazbenika tijekom slušanja glazbe aktiviraju samopodručja u desnoj polutki mozga (kreativnoj strani mozga), a u glazbenika da seaktiviraju i područja u lijevoj polutki (analitička strana mozga, percepcija i analizaskladbe). Jakost aktivacije centara u lijevoj polutki bila je razmjerna proteklomvremenu od početka glazbene edukacije. Mnogi znanstvenici su bili vrsni glazbenici.Glasovir su svirali: Alexander Graham Bell (1847.–1922.), izumitelj telefona; ThomasEdison (1847.–1931.), nositelj više od 1000 patenata i utemeljitelj prvog istraživačkogindustrijskog laboratorija. Violinu je svirao Donald Glaser (1926.–2013.), izumiteljkomore na mjehuriće (engl. bubble chamber), a violinu i glasovir Albert Einstein(1879.–1955.), utemeljitelj teorije relativnosti i gravitacije. Orgulje je svirao FranjoDugan st. (1874.–1948.), profesor fizike i matematike.Ispitni testovi guše kreativno mišljenjePrema istraživanjima Instituta za društvena istraživanja u Zagrebu, povremene ilistalne instrukcije uzima polovica gimnazijalaca. U drugom razredu čak njih 77.3%uzima instrukcije iz matematike, trećina iz fizike, a dvadesetak posto iz kemije (Mirela206 Matematičko-fizički list, LXIV 3 (2013. – 2014.)Lilek, Dosta je skupih instrukcija, učenici traže dopunsku nastavu, Vjesnik, 10. siječnja2011.).Zašto je tome tako? U srednjoj školi osnovni kriterij uspješnosti je ocjena testa.Činjenica ima previše, pa učenik traži od roditelja, prijatelja roditelja ili instruktorada mu identificira činjenice potrebne za rješavanje testnih zadataka i da s njime riješinekoliko tipičnih testnih zadataka. Tako se ostaje na rutinskom znanju i ne shvati se duhznanstvene discipline koji omogućuje samostalno rješavanje bitnih zadataka.Nastavnici i profesori! Zašto potičete učenike da uče za test? Tako odustajete odvišeg ljudskog cilja, od intelektualnog razvoja učenika. Poticanjem učenika da uče zatest djelujete na njegov način razmišljanja. Što će biti na testu? Da li mogu neštopreskočiti? Kako se računa konačna ocjena? Valjda nije jedini cilj završiti školu, dobitiposao i zaraditi novac. Razgovarajte s učenicima da bi ih naučili kreativnom mišljenju!Provjerite da li razumiju naučeno i da li naučeno znaju primijeniti, primjerice mjesecdana nakon testa. Kreativno mišljenje je proces povezivanja pojmova i stvari na nov inepoznat način, zamjenom veza izme -du pojava i stvari koje nisu uvijek očite (definicijaiz članka Kreativnost, Hrvatska enciklopedija, Leksikografski zavod Miroslav Krleža, sv.6, 2004., str. 241). Da bi se mogli povezivati pojmovi na nov i nepoznat način, potrebnoje imati dugoročna znanja iz temeljnih disciplina (npr. iz matematike, fizike, logike,teorijskih osnova struke). Jednostavnije rečeno, u svakoj temeljnoj disciplini potrebno jepoznavati njezine načine razmišljanja i metode (tzv. duh discipline). Možemo zamislitida načini razmišljanja i metode tvore mrežu na koju su pričvršćene činjenice (kratkoročnaznanja). Mreža povezuje činjenice u jednu logičku cjelinu. Činjenica ne smije bitipreviše; upravo toliko, koliko je potrebno da se shvati duh znanstvene discipline.Pogrešno bi bilo pomisliti da se kod adolescentnih ili odraslih osoba ne možepovećavati razina kreativnog mišljenja (to je stanovište nepromjenjivosti mozga ilistanovište tzv. neurološkog nihilizma). Tijekom cijelog života mozak se vježbom možeprilagoditi zahtjevima okoline ili osobnim željama. Primjerice, bicikl se može naučitivoziti u bilo kojoj dobi života, a nakon moždanog udara moguće je ponovno naučitigovoriti i pisati (funkciju oštećenih centara preuzimaju zdravi dijelovi moždane kore).(V. knjigu: Nicholas Carr, Plitko – Što Internet čini našem mozgu, Jesenski i Turk,Zagreb, 2012.) To svojstvo mozga naziva se neuroplastičnost ili kreće plastičnost mozga.Dogma o nepotrebnim znanjimaMnogo puta sam čuo od učenika i studenata ovu rečenicu: “Zašto moram to učiti, tomi ne će trebati u životu”. Ili još “napredniju” rečenicu na studentskom ispitu: “Pustiteme, već znam što ću raditi, to mi nikada ne će biti potrebno”.Znakovito je da takvo razmišljanje podupire i Bolonjska deklaracija (engl. TheBologna Declaration on the European space for higher education, 1999.). Jedna odtemeljnih njezinih postavki je: “. . . uvo -denje preddiplomske i diplomske razine u svimdržavama, s tim da prvi stupanj ne traje kraće od tri godine i da je relevantan za tržišterada; . . . ”. Prema tome Bolonjska deklaracija preporuča stjecanje rutinskog znanja kojeima tržišnu cijenu, a ne kreativnog znanja koje podiže civilizacijsku razinu društva.ZaključakZaključit ću riječima Aleksa Bjeliše, rektora Sveučilišta u Zagrebu: “I ako jednazemlja odustaje od toga da bude kreativna u najširem smislu riječi, onda se odriče tognajvišeg stupnja znanja i napretka koji iz njega može proizaći” (u članku: Vlada ćemonetizirati i fakultete, Novi list, 27. srpnja 2013.).Matematičko-fizički list, LXIV 3 (2013. – 2014.) 207

Babilonska metoda rješavanja zadataka iz analitičke geometrije

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia