Claverol Aguas, Mercè

Simó Mezquita, Ester

Zaragoza Monroig, M. Luisa

Catalan

UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC

Matemàtica DiscretaPROBLEMES DE GRAFSMercè ClaverolEster SimóMarisa ZaragozáDepartament Matemàtica Aplicada IVEPSEVG - UPC1Index• Problemes Grafs: Conceptes bàsics · · · · · · · · · · · · 3• Problemes Grafs: Camins i connexió · · · · · · · · · 6• Problemes Grafs: Arbres · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 112Problemes Grafs: Conceptes bàsics1. Disposem de 6 ordinadors i 9 cables de connexió i volem que cada ordinador es connecti amb altres 3ordinadors. Existeix alguna forma de connectar-los? És única?2. El graf de la figura representa el metro de Barcelona, on els vèrtexs són les estacions d’enllaç entre lesdiferents ĺınies i el pes de cada aresta és el número d’estacions que hi ha entre elles (les que no tenennúmero són de pes 0). Calcula l’ordre i la mida del graf.711 1111222222247 823113946a bcdefghijk l m noptqrsvuw3. Representeu gràficament el graf ponderat G = (V,E), on V és el conjunt de cadenes binaries de longitud3 i amb regla d’adjacència donada de la següent manera: hi ha aresta des dels vèrtexs a1a2a3 als vèrtexsa2a3a4 de V .4. Es poden dibuixar 7 segments en un full de tal manera que cadascun d’ells talli exactament a altres 3?Formuleu el problema en termes de grafs. Si feu que cada segment sigui un vèrtex, com definirieu lesarestes?5. Demostreu que la mida de Kn ésn(n−1)2 .6. Si G és un graf simple amb 45 arestes, quin és el menor nombre de vèrtexs que pot tenir G?7. Representeu gràficament el graf G = (V, E) amb matriu d’adjacència:A(G) =0 1 1 1 0 0 01 0 0 1 1 0 01 0 0 1 0 0 01 1 1 0 1 1 10 1 0 1 0 1 00 0 0 1 1 0 10 0 0 1 0 1 038. Donat el graf G amb matriu d’adjacènciaA(G) =0 0 0 1 1 00 0 1 1 0 10 1 0 1 1 11 1 1 0 1 11 0 1 1 0 00 1 1 1 0 0Representar-ho gràficament i a partir de la seva gràfica obteniu la seva matriu d’incidència.9. Obteniu la matriu d’adjacència de l’hipercub Q3.10. Donat el graf Km,n, calculeu:(a) L’ordre i la mida.(b) Per a quins valors d’m i n és un graf regular?(c) Determineu Km,n.(d) Com és la matriu d’adjacència del graf Km,n?11. Existeix un graf simple amb seqüència de graus {2, 2, 2, 3}?12. Calculeu | V | per als grafs següents:(a) Graf de mida 9 i amb tots els seus vèrtexs de grau 3.(b) Graf regular de mida 15.(c) Graf de mida 10, amb 3 vèrtexs de grau 4 i la resta de vèrtexs de grau 2.13. Demostreu que si G és d-regular, d senar, llavors G sempre té ordre parell.14. Sigui G un graf d’ordre n i mida m. Denotem per δ(G) el grau mı́nim de G i per ∆(G) el grau màximde G. Proveu el següent:(a) δ(G) ≤ 2mn .(b) 2mn ≤ ∆(G).15. En un grup de 15 persones, és possible que cadascuna tingui exactament 3 amics?16. Quina relació existeix entre l’ordre i la mida d’un graf 2-regular?17. Demostreu que no existeix cap graf simple d’ordre més gran o igual a 2 i amb tots els graus dels vèrtexsdiferents.18. Digueu per a quins valors d’n les següents famı́lies de grafs són regulars: Kn, Cn, Wn i Qn.19. Hi ha algun graf 5-regular d’ordre senar?20. Demostra que els grafs G1 i G2 són isomorfs.u vwzyhxabfedcG1 2G21. Si el graf G és isomorf a algun dels grafs F o H, dóna l’aplicació bijectiva entre els vèrtexs que preserviadjacències. Altrament raona per què no són isomorfos.4abwf ed162345uzyvxcG F H22. Sabent que l’aplicació f entre els vèrtexs de G i H demostra que són grafs isomorfs i coneixent els valorsf(f) = 2, f(h) = 9 i f(j) = 5, completeu l’aplicació.abgfjeidhc1672108 3459G H23. Quants grafs hi ha no isomorfs 4-regulars d’ordre 7?24. Quants grafs hi ha no isomorfs d’ordre 20 i mida 188?25. (a) Sigui G un graf simple amb n vèrtexs. Si G és isomorf al seu graf complementari, quantes arestesté G? (Aquest graf es coneix amb el nom de graf autocomplementari).(b) Trobeu un exemple d’un graf autocomplementari amb 4 vèrtexs i d’un altre amb 5 vèrtexs.(c) Si G és un graf autocomplementari d’ordre n, n > 1, demostreu que n = 4k o n = 4k +1, per algúnk ∈ Z+.26. Sigui G un graf simple amb n vèrtexs i m arestes. Quantes arestes té el graf G (graf complementari deG)?27. Si G és un graf simple de mida 15 i G té mida 13. Quin ordre té G?28. Representeu el graf complementari del graf bipartit complet K3,2.29. Sigui Cn el cicle d’ordre n. Demostreu que Cn és autocomplementari si i només si n = 5.30. Hi ha algun graf k-regular d’ordre parell autocomplementari?5Problemes Grafs: Camins i connexió1. Quina llista correspont a un recorregut en el graf F representat a la següentfigura? I quina correspont a un camı́? I a un circuit? Doneu la longitud delsrecorreguts.(a) a, c, e, g, e, g, e, g.(b) a, b, d, f, g, i.(c) a, b, d, f, a.(d) f, g, i, h, a.ab cd ef gh iF2. Trobeu la longitud màxima d’una cadena en els grafs:(a) Kn, ∀n ∈ {2, 4, 6, 8}.(b) K2n, n ∈ Z+.3. Per al graf següent trobeu:a bg fjei dhck(a) Una cadena de longitud 5.(b) Un camı́ de longitud 9.(c) Cicles de longituds 5, 6, 8, 9.4. Demostreu que un graf G és bipartit si i només si tots els seus cicles són delongitud parell.5. Proveu que un graf connex d’ordre n té com a mı́nim n− 1 arestes.6. Demostreu que si un graf G té exactament 2 vèrtexs de grau senar necessa-riament existeix un camı́ entre ells.67. Digueu si els següents grafs són o no connexos.G1G28. Trobeu el nombre de components connexes dels grafs representats per lessegüents matrius d’adjacència:(a)A(G) =0 1 1 0 0 1 01 0 1 1 0 0 11 1 0 1 0 0 00 1 1 0 1 1 00 0 0 1 0 1 01 0 0 1 1 0 10 1 0 0 0 1 0(b)B(G) =0 0 1 0 1 00 0 0 1 0 11 0 0 0 1 00 1 0 0 0 11 0 1 0 0 00 1 0 1 0 09. Proveu que si un graf simple G té k components connexes d’ordres n1, n2, · · · , nkrespectivament, la mida del graf G és com a moltk∑i=1ni(ni − 1)2.10. Proveu que un graf simple G d’ordre n és connex si i només si la seva mida ésmés gran que(n− 1)(n− 2)2.11. Demostrar que si G és un graf connex d’ordre n i mida m, llavors G contéalmenys m− n + 1 cicles.12. Doneu un exemple d’un graf connex G = (V, E) amb G − {e} no connex,∀e ∈ E.13. Quin és l’ordre màxim en un graf connex de 30 arestes?14. Si G és un graf connex, quin és el valor màxim de |V (G)|, si |E(G)| = 19 ideg(v) ≥ 4 per a tot vèrtex v del graf G?715. Sigui G un graf connex 3-regular. Si |E(G)| = 2|V (G)| − 6, trobeu |V (G)| i|E(G)|.16. Sigui G graf amb 13 vèrtexs i 3 components connexes. Demostreu que com amı́nim una de les tres components té un mı́nim de 5 vèrtexs.17. Demostreu que el complementari d’un graf no connex és connex.18. Representeu un graf G de manera que ell i el seu complementari siguin con-nexos.19. Demostreu que un graf autocomplementari és connex.20. Si G és un graf no connex, quina és la distància màxima entre qualsevol parellde vèrtexs del seu graf complementari G?21. En el següent graf F , trobeu les distàncies des del vèrtex d a tots els altres.a bfedcFkghijl mnop22. Trobeu tots els vèrtexs de tall del següent graf.a ceg h i j klm23. Sigui un graf G i un vèrtex v de G. Demostreu que si v és vèrtex de tall de G,v no pot ser vèrtex de tall de G.24. Calculeu la connectivitat i l’aresta-connectivitat de les següents famı́lies degrafs: Kn, Kr,s, Pn, i Cn.25. Trobeu un graf G que compleixi: κ(G) < λ(G) < δ(G). Explica què vol dircada śımbol.26. Sigui G un graf connex amb una aresta pont. Proveu que G té algun vèrtexde grau senar.27. Sigui G un graf connex amb tots els seus vèrtexs de grau senar. Determineula paritat del cardinal dels subgrafs resultants d’eliminar qualsevol aresta pontdel graf.828. Doneu exemples de grafs G que verifiquin:(a) G és eulerià i hamiltonià.(b) G és eulerià i no ès hamiltonià.(c) G no és eulerià peró és hamiltonià.(d) G no és eulerià ni hamiltonià.29. Demostreu que si G és graf regular d’ordre parell i mida senar, llavors G noés eulerià.30. Per al graf següent digueu si:a bg fjei dhck(a) És eulerià? Admet cadena euleriana? justifica-ho.(b) Dóna una descomposició del conjunt d’arestes en cicles fent servir l’algo-risme de Fleury.31. Aplica l’algorisme de Fleury a F per trobar un circuit eulerià i la descomposicióde E(F ) en cicles.ab cd ef gh iF32. Per a quins valors de n els grafs Kn, Cn, i Qn tenen un circuit d’Euler?33. Per a quins valors de m i n, el graf Km,n té un circuit d’Euler? I una cadenad’Euler?34. Pot ser eulerià un graf regular, connex, amb un nombre parell de vèrtexs i unnombre senar d’arestes?35. És possible que a la ciutat de Königsberg una persona realitzi un passeig per laciutat i travessi cada pont exactament dues vegades, tornant al punt on haviainiciat el passeig?936. Suposeu que el graf Km,n té 16 arestes i satisfà m ≤ n. Determineu m i n demanera que Km,n tingui un circuit eulerià però no un cicle hamiltonià.37. Determineu si els grafs de la següent figura tenen un cicle de Hamilton. Jus-tifiqueu la resposta.u vwzyhxabfedcG1 2G38. Demostreu que si G és un graf bipartit amb bipartició V1, V2, i |V1| 6= |V2|,llavors G no és hamiltonià.39. Trobeu un cicle hamiltonià en el graf format pels vèrtexs i arestes de l’hipercubQ3.40. Sigui G un graf bipartit amb un nombre senar de vèrtexs. Demostreu que Gno conté cap cicle hamiltonià.10Problemes Grafs: Arbres1. Doneu un exemple d’un graf G = (V, E) que compleixi |V | = |E|+1, però queno sigui arbre.2. Demostreu que en un arbre tot vèrtex de grau superior a 1 és de tall.3. (a) Quants arbres no isomorfs hi ha amb 5 vèrtexs?(b) Trobeu tots els arbres no isomorfs d’ordre 6, afegint una aresta, de totesles formes possibles, a cada arbre d’ordre 5.4. Quantes fulles té un arbre amb 6 vèrtexs de grau 2, un de grau 3, 2 de grau 4i un de grau 5?5. Siguin T1 = (V1, E1) i T2 = (V2, E2) dos arbres amb |E1| = 17 i |V2| = 2|V1|.Calculeu |V1|, |V2| i |E2|.6. Digueu si pot existir un arbre amb 13 vèrtexs, 4 de grau 3, 3 de grau 4 i 6 degrau 1.7. En un arbre, quin és el mı́nim nombre de fulles si sabem que el grau màximde l’arbre és 17?8. Quants vèrtexs de grau 1 té un arbre amb 5 vèrtexs de grau 2, 2 de grau 3, 3de grau 4 i 1 de grau 5?9. Sigui T un arbre amb v2 vèrtexs de grau 2, v3 vèrtexs de grau 3, · · · , vm vèrtexsde grau m. Quants vèrtexs i arestes té T?10. Sigui T un arbre amb tots els seus vèrtexs de graus 1 o 4. Si té 20 vèrtexs degrau 4, quants en té de grau 1?11. Proveu que tot arbre és un graf bipartit. Quins arbres són bipartits complets?12. Poden haver-hi arbres autocomplementaris? Raona la resposta i en cas afir-matiu, troba’ls tots.13. Sigui T un arbre. Demostreu que si tots els vèrtexs de T tenen grau senar,les dues components connexes resultants d’eliminar una aresta qualsevol de Ttenen ordre senar.14. Demostra si és certa o falsa l’afirmació:Tot arbre compleix que k(T ) = λ(T ) = δ(T ) = 1.15. Un graf G no connex, on cada component connexa és arbre, s’anomena bosc.(a) Si G és un bosc amb k components connexes i |E(G)| = 40, quin ordreté G?(b) Si G és un bosc amb 62 vèrtexs i 5 arestes, quantes components connexesté G?1116. Un bosc amb 2 components connexes i 15 arestes, quants vèrtexs té?17. Quantes arestes té un bosc amb k components connexes?18. Quin és el màxim nombre d’arestes que podem afegir a un bosc sense que deixide ser bosc?19. Apliqueu l’algorisme DFS per donar un arbre generador del graf K4,3. Feu elmateix però amb l’algorisme BFS. Començeu els algorismes pel mateix vèrtexi compareu els resultats.20. Apliqueu l’algorisme DFS per donar un arbre generador del graf de Petersen.Feu el mateix però amb l’algorisme BFS. Començeu els algorismes pel mateixvèrtex i compareu els resultats.21. Les arestes de G tenen assignat un pes que segueix el criteri: horitzontals pes0, verticals pes 1 i diagonals pes 2. Aplica l’algorisme de Kruskal a G i explicael resultat.a bf edcGkghi jlm22. Aplica l’algorisme DFS a F , començant per a. Detalla el procés. Feu el mateixamb l’algorisme BFS.ab cd ef gh iF23. Aplicant BFS i DFS a G, començant pel vèrtex a, s’han obtingut els arbresgeneradors T1 i T2.abgfjeidhcabgfjeidhcT1 T2(a) Digues quin dels arbres T1 i T2 correspon a cadascun dels algorismes DFSi BFS.12(b) Raona quin és el vèrtex a més distància de a en G.24. Si totes les arestes de F tenen pes 1 llevat de les arestes del cicle a, b,m, o, p, l, a,que tenen pes 0, calcula el pes d’un arbre generador de pes mı́nim.a bfedcFkghijl mnop25. El graf de la figura representa el metro de Barcelona, on els vèrtexs són lesestacions d’enllaç entre les diferents ĺınies i el pes de cada aresta és el númerod’estacions que hi ha entre elles (les que no tenen número són de pes 0). L’ordreés 23 i la mida 34.711 1111222222247 823113946a bcdefghijk l m noptqrsvuwAplica l’algorisme de Prim per obtenir un arbre generador de pes mı́nim icalcula el seu pes.26. Digues què s’obté a l’aplicar els algorismes de Prim i Kruskal a un graf ponderati en què difereixen.27. Trobeu tots els arbres etiquetats amb 6 fulles.28. En un arbre binari, podem calcular el nombre de fulles a partir del nombre devèrtexs de grau 3?29. Quin és el nombre màxim de fulles que pot tenir un arbre 4-ari d’altura 8?30. Quin és el nombre de vèrtexs de grau 1 en una arbre binari amb n vèrtexs?1331. Representeu les següents operacions mitjançant un arbre binari:(a) (a + (b ∗ (c− d))) ∗ ((e + f) ∗ g))(b) A ∪B(c) (A ∪B)− ((C ∪D) ∪ E))32. Representeu les següents expressions mitjançant un arbre amb arrel.(a) ((w + x)− y)/(2 ∗ z + 1)(b) ((a− (b ∗ c)) + ((d ∗ (e/f)) ∗ (g + h))33. Quantes fulles té un arbre ternari complet d’ordre 121?34. En un torneig de tenis hi ha 2k participants. Quants partits es tenen que ferper conèixer al guanyador?14

Problemes de Grafs

https://upcommons.upc.edu/bitstream/2117/186921/1/grafs-problemes-4760.pdf

Problemes de Grafs

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC