de Oliveira Vieira, Beatriz Cristina

Pinter, Sara Regina da Rosa

Portuguese

Publicações do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Catarinense (IFC)

 ANÁLISE DE  UMA APLICAÇÃO DOS NÚMEROS COMPLEXOS  NA ENGENHARIA ELÉTRICA  Autores : ​Beatriz Cristina de Oliveira VIEIRA​, Sara Regina da Rosa PINTER. Identificação autores: Bolsista de Pesquisa - IFC ​Campus ​São Francisco do Sul; Orientador IFC- ​Campus ​São               Francisco do Sul. Avaliação na modalidade: Pesquisa. Área do conhecimento/Área Temática: Ciências Exatas e da Terra   Nível: Superior.  Introdução Os cursos de Engenharia coletivamente dependem de um profundo         entendimento e manipulação da matemática aplicada. Na Engenharia Elétrica, devido a           alguns de seus conceitos intangíveis, há o uso de um conjunto numérico tão abstrato              quanto: o conjunto dos números complexos. Este conjunto foi oficializado no final do             século XIX após muitos anos de aperfeiçoamento dos conceitos envolvendo raízes de            números negativos, sob a mão de ilustres matemáticos da época, como Euler, Gauss e              outros (CERRI & MONTEIRO, 2011). Os números complexos (ℂ) são um conjunto numérico que supre cálculos           envolvendo raízes de números negativos, os quais não são possíveis de serem realizados             apenas com números reais. Para tal, o termo √n, que envolve a raiz de um determinado                número negativo n, é reescrito como um produto de dois termos √-1√-n, e √-1 é               representado pelo símbolo ​i ​na matemática e ​j na engenharia, assim possibilitando a             resolução de equações algébricas (CERRI & MONTEIRO, 2011). Um número          complexo ​z é formado por duas partes, uma real, Re(z), e uma imaginária, Im(z),              acompanhada pelo símbolo ​i ou ​j ​. A partir de sua forma algébrica, ​z = x + yi, ​pode-se                  localizar o ponto (​x,y) em um plano cartesiano modificado, denominado plano de            Argand-Gauss, onde os valores ​x e ​y representam as partes reais e imaginárias do              número, ​respectivamente. Com início na origem desse plano,obtêm-se um vetor, cujo           comprimento (​ρ​) é chamado módulo do número, e cujo ângulo de inclinação (​θ​)             referente ao eixo x, é chamado argumento. Esta representação gráfica pode ser descrita             pela sua forma trigonométrica: ​z = ρ (cos θ + i sen θ)​ (ASSIS, 2014; IEZZI, 1943). Na Engenharia Elétrica é de suma importância uma base de conceitos e            representações bem definidas para pleno entendimento dos circuitos elétricos e seus           componentes. Seguindo a crescente evolução dos conhecimentos cerca circuitos         elétricos, a manipulação das equações envolvendo essas abstrações deve ser estendida a            um panorama matemático que abranja tanto seu domínio quanto sua imagem gráfica.            Um de seus conceitos mais usuais está presente no cotidiano de todos: a corrente              alternada. A corrente alternada, diferentemente da contínua, possui valor e sentido           variante no tempo, e, por consequência, as outras grandezas elétricas relacionadas a ela,             tais como tensão e resistência, podem ser representadas por vetores, assim como por             números complexos. Tal representação é dada por uma modificação da forma           trigonométrica, chamada forma polar: ​z = ρ ​∠ ​θ.  Visando as dificuldades de compreensão das relações entre os números          complexos e suas aplicações na área da Engenharia Elétrica, este projeto procurou             aprofundar-se nos conceitos teóricos para integrá-los ao entendimento da finalidade dos           números complexos nesta área.  Material e Métodos Para atingir os conhecimentos necessários para integrá-los na utilização dos          números complexos, uma série ordenada de estudos foi realizada. Primeiramente houve           aprofundamento na área exclusiva do conjunto dos Números Complexos, suas          operações algébricas e manipulações básicas, seguidas de revisões pontuais em          conceitos de Eletricidade Básica relacionados a números complexos. Após uma extensa revisão teórica, os dados matemáticos foram avaliados e           discutidos quanto o porquê de sua aplicação na Engenharia Elétrica.  Resultados e discussão As diferentes formas de representação dos números complexos facilitam tipos          diferentes de operação. Enquanto na forma algébrica as operações de soma e subtração             são mais facilmente realizadas, na forma trigonométrica as demais operações, tais como            multiplicação, divisão, potenciação e radiciação são simplificadas, mesmo que o          processo ainda seja trabalhoso (ASSIS, 2014). Na Engenharia Elétrica, a essência do funcionamento dos circuitos está no           controle do fluxo de elétrons, denominado corrente elétrica. Esta pode ser contínua ou             alternada, possuindo um valor e sentido constante ou variante, respectivamente. Em           linhas de transmissão de energia elétrica, a corrente alternada á a mais utilizada, tanto              por ser mais econômica a longas distâncias quanto pela diminuição de perdas            (SEGUNDO & RODRIGUES, 2015). Sua representação é mais elaborada do que a da             corrente contínua, pois devido sua forma gráfica ser uma onda senoidal, outras            características são atribuídas a ela, como seu ciclo, frequência, fase, e demais            propriedades de onda. Este fenômeno, além de poder ser compreendido por funções            trigonométricas, é facilmente representado por números complexos (ALBUQUERQUE,        2012). Em circuitos de corrente alternada (CA), a resistência não é a única grandeza             referente à interferência de passagem de corrente, ou seja, a razão tensão/corrente em             um circuito CA não depende apenas das resistências elétricas do circuito. Como            também existem reatâncias indutivas, devido ao uso de bobinas, e capacitivas, devido ao             uso de capacitores, a razão tensão/corrente deste circuito é referida como Impedância            (Z). A impedância é composta por: seu componente resistivo (Z​R​), seu componente            capacitivo (Z​C​) e seu componente indutivo (Z​L​). Mesmo que seja praticamente           impossível haver um circuito com propriedades de apenas um componente da           impedância, o estudo dos três casos como ideais facilitam sua interpretação. Um circuito CA puramente resistivo possui tensão e corrente que variam           senoidalmente no tempo, cujos ciclos iniciam-se no mesmo instante, e a amplitude da             corrente pode ser dada pela Lei de Ohm, pela razão entre tensão e resistência: I = V.R​-1​. Nesse caso, a impedância, que consequentemente é apenas sua resistência, é           dada pela razão entre a tensão e a corrente. Contudo, isso muda em circuitos puramente               capacitivos ou indutivos devido a um adiantamento ou atraso do início do ciclo da               corrente referente ao da tensão. Numa reatância capacitiva, a corrente é adiantada em             90º em relação à tensão, logo sua impedância complexa encontra-se no eixo imaginário             negativo. Enquanto que numa reatância indutiva, sua corrente é atrasada em 90º em             relação à tensão e sua impedância está no eixo imaginário positivo. Essa representação é              considerada com um vetor girante em sentido anti-horário com velocidade angular           constante: o fasor. Pela notação ​z = ρ ​∠ ​θ, pode-se relacionar tal movimento circular à                onda senoidal, mantendo o módulo do vetor fixo e modificando seu argumento (IFSC,             2010). Em análises de circuitos elétricos, utilizar representações complexas para a          impedância é útil pois as propriedades algébricas dos números complexos simplificam a            análise de problemas envolvendo tensões e correntes que variam senoidalmente, já que            cálculos envolvendo essas funções podem ser bastante complicados (ORTUNHO,         2015). Como sua forma complexa pode ser representada graficamente, sua         propriedade multiplicativa possibilita rotacionar seu fasor dependendo dos        ângulos/argumentos apresentados.   Conclusão As pesquisas desenvolvidas neste trabalho até então concluíram que os          números complexos são necessários para a facilitação do desenvolvimento de equações           ligadas à corrente alternada. Além de serem mais úteis quanto à demonstração de             vetores gráficos e da variância constante dos argumentos das grandezas envolvidas. O projeto ainda não está finalizado e pretende aprofundar-se ainda mais em            suas utilizações e, se possível, torná-las mais acessíveis aos alunos iniciantes de            Engenharia Elétrica.  Referências  ALBUQUERQUE, Rômulo Oliveira. ANÁLISE DE CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA. Ed. Saraiva. 2ª ed. São Paulo, 2012.  ASSIS, J. R. O. Nùmeros Complexos.​ ​UNICAMP. Inst. de Matemática, Estatística e Computação Científica. Campinas, 2014.  CERRI, Cristina & MONTEIRO, Martha S. História dos Números Complexos. CAEM. Inst. de Matemática e Estatística da USP. São Paulo, 2011.  IEZZI, Gelson. FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR. COMPLEXOS - POLINÔMIOS - EQUAÇÕES. 2ª ed. Atual Editora. São Paulo, Brasil. 1943.  IFSC. Circuitos de Corrente Alternada I. Universidade de São Paulo. Instituto de Física de São Carlos. São Carlos, 2010.   MATHEWS, john N. & HOWELL, Russell W. COMPLEX ANALYSIS FOR MATHEMATICS AND ENGINEERING.​ ​3​rd​ ed. Jones and Bartlett Publishers. Canada, 1997.  ORTUNHO, Tiago V. ELETRICIDADE 2 - EL2A2. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo. 2015. São Paulo.  SEGUNDO, A, K, R. & RODRIGUES C. L. C. Eletricidade em CA. Rede e-Tec Brasil. IFMG. Ouro Preto, 2015. 

ANÁLISE DE  UMA APLICAÇÃO DOS NÚMEROS COMPLEXOS  NA ENGENHARIA ELÉTRICA

http://publicacoes.ifc.edu.br/index.php/fepexsfs/article/download/659/668

ANÁLISE DE UMA APLICAÇÃO DOS NÚMEROS COMPLEXOS NA ENGENHARIA ELÉTRICA

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Publicações do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Catarinense (IFC)