Proceeding of the first public presentation of the work of the mexican logical group "Deduktor" under the direction of the mexican professor Hugo Padilla Chacón. This work was in fact the first whole and stand alone arithmetization of logics

Chacón, Hugo Padilla

García, David René Thierry

Garduño-Soto, Gabriel

Uribe, Rafael Vidal

Spanish

PhilPapers

SISTEMA EXPERTO PARA RESOLVERPROBLEMAS LÓGICOS DE DEDUCCIÓNGabrielGarduño Soto,* David René Thierry García,** Rafael Vidal Uribe,* Hugo Padilla Chacón***1. Breves observaciones sobre formalización y aritmetización de la lógicaLa silogística de Aristóteles constituye, para la mayor parte de los historiadores de la lógica, elantecedente por excelencia en el desarrollo de la lógica formal. La silogística desde un punto de vistamoderno resulta ser sólo una pequeña porción dentro del cálculo cuantificacional o del cálculo de clases(en virtud de esto último, métodos como los de Venn o de Ladd Franklin, son eficaces para el análisis delos silogismos). La lógica de los estoicos, olvidada durante muchos siglos y sólo redescubierta en el sigloXIX, constituye el antecedente de lo que ahora se conoce como cálculo proposicional. Ambas lógicasantiguas son, pues, puntos de referencia históricos para la lógica formal moderna.Hubo otros planteamientos que se quedaron en apreciaciones generales, en proyectos fallidos o inconclusos:tales como los que postularon la viabilidad de ciertos Calculus Ratiotinator, Ars Combinatoria,Mathesis Universalis, etc. Pero es hasta el siglo pasado cuando se recobra el vigor en lasinvestigaciones lógicas, principalmente con los trabajos de Boole y de Frege. El programa deFrege, que da origen a la corriente logicista, pretende hacer plausible la reductibilidad de lamatemática a la lógica y, para ello, estructura a la lógica misma como un sistema de símbolos; ensus propias palabras, como “eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache”, es decir, comoun lenguaje de fórmulas “semejante” (nachgebildete) al de la aritmética. La lógica, así, va aparecerse a la matemática en cuanto a la utilización como en ésta, de símbolos y de fórmulas. Deaquí, precisamente, su caracter formal.Pero formalizar no es lo mismo que aritmetizar. Toda aritmetización de la lógica es, eo ipso, unaformalización; la inversa no siempre es válida. La relación no es necesariamente simétrica.2. Breves consideraciones sobre tres aritmetizaciones de la lógicaEs bien conocido el recurso fundamental de que se sirve Gödel para desarrollar su teorema de incompletud(1931): aritmetiza el nivel de la lógica. A cada signo elemental, a cada fórmula y a cada secuencia de fórmulasde la lógica les asigna un número único (número de Gödel) de manera que la lógica queda “mapeada” enla aritmética. Este mapeo en Gödel no es un fin en sí mismo: es sólo un recurso, entre otros, de que se valepara alcanzar el propósito de probar el teorema. Quizá por ello no fue óbice que el mapeo no resultarabiunívoco, es decir, que mientras a cada expresión o secuencia de expresiones lógicas les corresponde unúnico número (de Gödel), no todo número es un número de Gödel y, por lo tanto, no todo número representauna expresión o secuencia de expresiones lógicas. Por esto la aritmetización de Gödel no permite ir másallá, desde un punto de vista operativo.En diversos trabajos ºukasiewicz empleó recursos de aritmetización para tratar problemas delógica. Sin embargo, la aritmetización misma tampoco la tuvo como fin en sus investigaciones.A diferencia de Gödel que estableció un mecanismo estricto para garantizar la univocidad1* Facultad de Filosofía y Letras, UNAM. Colegio de Filosofía, División SUAFyL.** Facultad de Economía, UNAM. División SUAE.*** Facultad de Filosofía y Letras, UNAM. División de Estudios de Posgrado.(aunque no la biunivocidad, como se dijo antes), ºukasiewicz siempre estableció convencioneslaxas y coyunturales, de manera que los números empleados, aunque reflejan ciertas estructurasprofundas de la lógica, tampoco permiten una operatividad sistemática.En el método de Quine-McKlusky para minimizar funciones booleanas canónicas, también puedeencontrarse una incipiente aritmetización. Tampoco es un objetivo en sí misma y sólo auxilia, dentro delpropósitodel método, al fin de agrupar los sumandos lógicos potencialmente minimizables.No hemos encontrado una aritmetización igual a la que ahora se expone en sus rasgos generales.3. Aritmetización del cálculo proposicional3.1 La aritmetización que hemos desarrollado está constituida por un grupo de algoritmos queresuelven como problemas estrictamente aritméticos los problemas del cálculo proposicional.3.2 Las reglas de correspondencia permiten garantizar una biunivocidad, en el siguiente sentido: atoda y a cada fórmula del cálculo proposicional le corresponde uno y sólo un número; a todo y acada número le corresponde una y sólo una fórmula del cálculo proposicional.3.3 Los números constituyen los valores que pueden ser sustituidos por las variables yconstantes en los algoritmos. Los números que resultan de realizar las operaciones aritméticasseñaladas en los algoritmos representan la solución parcial o total de un problema lógico parcialo total.3.4 Una vez resuelto un problema lógico por medio de los algoritmos, en virtud de 3.2(biunivocidad) la solución aritmética se reinterpreta en notación lógica.3.5 La validez de los algoritmos fue probada por medio de la inducción matemática.Como consecuencia de la aritmetización lograda, puede establecerse una conexión con el conocidoteorema de Shannon (1938). El teorema de Shannon establece una biunivocidad entre las fórmulas delálgebra booleana y los circuitos en serie-paralelo: cada fórmula del álgebra booleana es realizable comoun circuito en serie-paralelo; a la inversa, cada circuito en serie-paralelo es representable como unafórmula del álgebra booleana. Ahora puede postularse una extensión de este teorema: a cada número lecorresponde una fórmula booleana canónica y, puesto que (teorema de Shannon) a cada fórmula booleanale corresponde un circuito en serie-paralelo, entonces a cada número le corresponde un circuito enserie-paralelo. La inversa es válida también.4. Sistema para resolver problemas de deducciónLos algoritmos mencionados conforman un sistema en el sentido en que grupos y subgrupos de losmismos están destinados a resolver problemas específicos, pero todos ellos son interrelacionables y,por esto, permiten resolver problemas con mayor grado de complejidad. De esta manera, el sistema, alque denominaremos, SD, puede ser definido como:SD = < {A1, A2 , K , An}, {0, 1, 2, K , n }, R >en donde {A1, A2 , K , An} es el conjunto de los algoritmos; {0, 1, 2, K , n} es el conjunto de los valoresque pueden cobrar las variables y constantes de los algoritmos, y R es una relación que permite lainterconexión entre los algoritmos.El sistema que conforman los algoritmos es experto en el sentido en que puede “simular” la conductade un lógico especializado en problemas de deducción dentro del cálculo proposicional, aunque también2dentro del cálculo cuantificacional bajo ciertas restricciones. La silogística aristotélica, por ejemplo,aunque perteneciente por tradición a una lógica de “términos”, es manejable dentro del sistema. Esexperto aún en el sentido psicológico en que el sistema puede dar “sorpresas”, inclusive a sus propioscreadores. A manera de ilustración: cuando estaba siendo sometido a ensayos y provisto de informaciónconcerniente a la silogística clásica, “reportaba” como inválidos varios silogismos incluidos como válidosen algunos listados estándar: Bamalip, Darapti, etc. Se pensó, en primera y más grave instancia, en unerror en los algoritmos; luego, en un error en la interconexión; luego, en un error en la información, etc.No había tal: el sistema estaba bien. Los silogismos que rechazaba son dubitables en tanto que silogismosgenuinos, puesto que implican una presunción de existencia no contenida en las premisas universales.Para percatarse de esto, hubo necesidad de revisar las discusiones sobre la silogística clásica. Loscreadoresdel sistema, supuestos expertos, habían olvidado estas cuestiones.No es posible ofrecer, en la reducida extensión a que están constreñidos los trabajos que se presentanen una conferencia, los algoritmos que conforman el sistema. Su exposición y explicación consumirían untiempo equivalente, por lo menos, al de un curso con duración de dos semestres académicos. No son muynumerosos, son aproximadamente unos cien. Tampoco son difíciles de comprender: sólo se requiere elmanejo de dos teorías elementales, la de la lógica y la de los números. Pero algunos de ellos son extensosy aparentemente complejos. No obstante, se destacarán en seguida algunas de sus característicasfundamentales:4.1. Permiten distinguir entre las fórmulas bien formadas (wffs) y las simples expresiones.4.2. Permiten transformar cualquier fórmula bien formada, con cualquier número y combinación delos operadores lógicos clásicos, en una fórmula canónica (normal disyuntiva).4.3. Permiten decidir si una fórmula determinada cualquiera, con cualquier número y combinaciónde los operadores lógicos clásicos, es o no un teorema de un cálculo proposicionalaxiomatizado.4.4. Permiten decidir, en deducción natural, si una fórmula determinada se deduce o no de unconjunto de premisas dado.4.5. Permiten obtener, en deducción natural, todas las conclusiones semánticamente distintas que sededucen de un conjunto de premisas dado.4.6. Resuelven un problema inusual dentro de la lógica. A saber: Permiten obtener, en deducciónnatural, todos los conjuntos semánticamente distintos de premisas de los cuales se deduce –unavez determinado el número de variables en que se quiera encuadrar el problema– una fórmulacualquiera propuesta a manera de conclusión.4.7. Los problemas se pueden plantear con cualquier número y combinación de los operadoreslógicos tradicionales; las soluciones, en los casos 4.5 y 4.6, se obtienen en forma normaldisyuntiva.5. Sistema y ProgramaciónLos algoritmos contenidos en el sistema permiten trabajar, en principio, con cualquier número finito devariables proposicionales, tan grande como se quiera. Sin embargo, las limitaciones propias de losequipos de cómputo personales (PC), restringen su efectividad, por ahora, a un máximo de cuatro varia-bles. No obstante esto, se producen resultados interesantes: hay planteamientos, en el caso 4.5, en que sellegan a obtener más de 30,000 conclusiones semánticamente distintas, a partir de un conjunto depremisas con cuatro variables.36. Acotación teóricaLa filosofía subyacente en el desarrollo de los algoritmos que utiliza el sistema está más cercana a la líneaPoincaré-Brower-Weyl (intuicionismo), que a los enfoques Hilbert-Ackerman (formalismo) o Frege-Rus-sell-Zermelo (logicismo).4

Sistema Experto para Resolver Problemas Lógicos de Deducción

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