O objetivo deste trabalho consiste no desenvolvimento de uma análise estatística dos
erros e centragem dos instrumentos e também dos erros de pontaria. O
desenvolvimento da função densidade de probabilidade dos erros permite uma
análise inferencial dos mesmos. São realizadas algumas simulações e a análises dos
resultados obtidos.

ABSTRACT 
This paper deals with the statistical analysis for the centring errors of the instrument
and the target. The probability density function of errors allows an analysis of the
same ones. Simulations and analyses of the obtained results are accomplished

Marques, Jair Mendes

Portuguese

Biblioteca Digital de Periódicos da UFPR (Universidade Federal do Paraná)

 Bol. Ciênc. Geod., Curitiba, v. 5, p.15-26, 1999. 1 5  ANÁLISE ESTATÍSTICA DOS ERROS DE CENTRAGEM E PONTARIA Jair Mendes Marques Universidade Tuiuti do Paraná R. Marcelino Champagnat, 505 – CEP 80710-250  e-mail: jairmm@utp.br  RESUMO O objetivo deste trabalho consiste no desenvolvimento de uma análise estatística dos erros e centragem dos instrumentos e também dos erros de pontaria.  O desenvolvimento da função densidade de probabilidade dos erros permite uma análise inferencial dos mesmos. São realizadas algumas simulações e a análises dos resultados obtidos. ABSTRACT This paper deals with the statistical analysis for the centring errors of the instrument and the target. The probability density function of errors allows an  analysis of the same ones. Simulations and analyses of the obtained results are accomplished. 1. INTRODUÇÃO  Quando do uso de instrumentos que necessitam de centragem, envolvendo a obtenção de dados de alta precisão,  o estudo do erro de centragem é fundamental para que se possa conhecer melhor o comportamento do mesmo, bem como sua possibilidade de correção. No caso do erro de pontaria, o estudo e a análise são semelhantes ao do erro de centragem.   A importância do conhecimento do comportamento estatístico dos erros de centragem e pontaria está relacionado às estimativas dos mesmos, tornando-os possíveis de controle.   2. A DISTRIBUIÇÃO DE RAYLEIGH  Seja a função densidade de probabilidade de uma distribuição normal bidimensional ( ) σµ−+σµ−σµ−ρ−σµ−ρ−−ρ−σπσ=2yyyyxx2xx22yxyyx2x121exp121)y,x(f  (2.1) onde   µx = E(X),  µy = E(Y),  σx2 =V(X),  σy2 =V(Y)  e    ρ = corr(X,Y).  Bol. Ciênc. Geod., Curitiba, v. 5, p.15-26, 1999. 1 6   Considerando que o ponto de centragem corresponde a  P(µx , µy) onde  µx = µy = 0 e que  ρ = 0, ou seja, que o erro de fixação do ponto P independe das direções de X e Y, então,  para garantir que qualquer par de eixos escolhidos fornece ρ = 0, deve-se ter  σ σ σx y2 2 2= = . Com as suposições propostas, a (2.1) fica  ( )f x y x y( , ) exp= − + 12 122 2 2 2πσ σ  ,   - ∞ < x < + ∞ ,  - ∞ < y < + ∞  (2.2)    que passando para coordenadas polares, obtém-se  g(r,θ) = f[G1(r,θ), G2(r,θ)] |J(r,θ)|                                (2.3)  onde  f G r G r r r[ ( , ), ( , )] exp ( cos sen )1 2 2 22 2 2 21212θ θ πσ σ θ θ= − +  = −12 2222πσ σexpr,   r ≥ 0 ,  0 ≤ θ ≤ 2π.                       (2.4)  e  Jxrxyryrrr r r= = − = + =∂∂∂∂θ∂∂∂∂θθ θθ θ θ θcos .sensen .cos.cos .sen2 2 .      ((2.5)  Substituindo a (2.4) e (2.5) em (2.3) resulta  g rr r( , ) expθ πσ σ= −2 2222  ,   r ≥ 0,  0 ≤ θ ≤ 2π                   (2.6)  sendo a função densidade marginal de θ dada por         h g r drr rdr1 0 2220 2 212( ) ( , ) expθ θ πσ σ π= = − =∞ ∞∫ ∫  ,  0 ≤ θ ≤ 2π     (2.7)  ou seja, resulta numa função densidade uniforme. A função densidade marginal de r será   Bol. Ciênc. Geod., Curitiba, v. 5, p.15-26, 1999. 1 7  h r g r dr rdr r2 02222022222 2 2( ) ( , ) exp exp= = − = −∫ ∫θ θ πσ σ θ σ σπ π,     r ≥ 0 (2.8) que é conhecida como distribuição de Rayleigh. A figura 2.1 mostra graficamente a distribuição de Rayleigh para σ = 1.  As variáveis r e θ são independentes, pois g(r,θ) = h1 (θ). h2 (θ) = r r2 2222πσ σexp −.   Figura 2.1 -  Distribuição de Rayleigh   A esperança e variância de r são, respectivamente,  E r rr rdr( ) . exp= − =∫ σ σ σ π2222 2                       (2.9) e [ ]V r E r E r( ) ( ) ( )= − = −  = − =2 2 222 222420,43σ σ π π σ σ .    (2.10)  Genericamente, tem-se que  0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.500.10.20.30.40.50.60.7rh(r)  Bol. Ciênc. Geod., Curitiba, v. 5, p.15-26, 1999. 1 8  E rnnnn( ) = +2222 σ Γ  .                                 (2.11)   Utilizando-se a transformação   vr=22σ  ,  resulta h vv( ) exp= −12 2,   v ≥ 0                            (2.12) ou seja,   v ~ ( )χ 2 2 .  A função distribuição acumulada de Rayleigh será dada por  H r P R ru udurr( ) ( ) exp exp= ≤ = − = − −∫ σ σ σ222022212,    r ≥ 0.  (2.13)   A figura 2.2 mostra graficamente a função distribuição acumulada de Rayleigh.   Figura 2.2 – Distribuição Acumulada de Rayleigh   3. RELAÇÃO ENTRE DIREÇÃO E DISTÂNCIA 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91rH(r)  Bol. Ciênc. Geod., Curitiba, v. 5, p.15-26, 1999. 1 9   A figura 3.1 permite relacionar direção e distância, onde  I representa a posição do instrumento, supostamente sem erro de centragem, e A representa o alvo onde ocorre erro de pontaria, sendo que a visualização acontece no ponto E.   De acordo com a construção da figura 3.1, tem-se que   r.sen θ  causa variabilidade na distância, enquanto que   r.cos θ  causa variabilidade na direção.  Assim, as variâncias de interesse na determinação das variâncias das direções e distâncias são  σX2   e  σY2 ,  e não a variância de r.                                    Y                                    I                                   r.sen θ               E                                          r     θ                                                                                                                              A        r.cos θ                                                         X Figura 3.1 – Relação entre direção e distância  4. VARIÂNCIAS TOTAIS DE DIREÇÕES E DISTÂNCIAS  (I) Para as distâncias   Supondo que os erros de medidas sejam independentes dos erros de centragem do instrumento e que esses sejam independentes dos erros de pontaria, considere  σI2 = variância de centragem do instrumento,  σA2  = variância de centragem do alvo,  σL2  = variância da medida da distância  e  σD2  = variância da medida da direção.                                   A variância total da distância será dada por  V(Total) = V(L - r2. sen θ2 + r1. sen θ1 ) =  σL2  + σI2 + σA2  .        (4.1)  Para  σI2 = σA2  = σ2, obtém-se V(total) =  σL2  + 2σ2 .                                       (4.2)      Bol. Ciênc. Geod., Curitiba, v. 5, p.15-26, 1999. 2 0                                            Y                                                                E2                              r2.sen θ2                                                           I                                                 L                             E1                    r1.sen θ1                                                                              X                                                                                  A  Figura 4.1 – Erros nas distâncias   (II) Para as direções  Considere as figuras 4.2-a onde supõe-se não haver erro na pontaria e 4.2-b onde supõe-se a inexistência de erro de centragem do instrumento.  A variância total        Y                                                               Y                                                                              I                             r2.cos θ2                                   I             A                                                   X          A   r1.cos θ1                                       X       Figura 4.2-a – Sem erro de pontaria          Figura 4.2-b – Sem erro de centragem      da direção será dada por  V(Total) = V(D) ± V(r1.cos θ1 ) ± V(r2. cos θ2 )  = σD2  + σ ρ σ ρI AL L' ' ' ' +2 2   ou,  então   Bol. Ciênc. Geod., Curitiba, v. 5, p.15-26, 1999. 2 1  V(Total) = σ σρD L2222+ ( ' ' )  .                                       (4.3)            5. ESTIMAÇÃO DE  σ2  USANDO MEDIDAS REPETIDAS DE r  Para o desenvolvimento dos diversos métodos que serão considerados, suponha que: (a) seja possível obter r experimentalmente; (b) cada ri tem distribuição de Rayleigh,  sendo essas distribuições idênticas e os ri  independentemente distribuídos;  (c ) sejam efetuadas n medidas.   (I) Estimador de máxima versossimilhança de σ2  A função de verossimilhança é dada por  Lrriinn iin( ) expσ σ σ2 12 22112= −==∏ ∑          ou  ln ( ) ln lnL r n. riiniinσ σ σ21222112= − −= =∑ ∑ .                          (5.1)    Assim,  a derivada de (5.1),  ∂ σ∂σln ( )L 22 0= , resulta no EMV de σ2,  ou seja,   $σ2 2112==∑nriin.                                             (5.2)  Pode-se verificar que  $σ2  como estimador do parâmetro  σ2  é  um estimador não-tendencioso, consistente, de variância mínima e suficiente. Portanto possui todas as qualidades desejáveis de um estimador.  (II) Suponha que sejam medidas as componentes xi e yi ao invés de ri    A função de verossimilhança será dada por  ( ) ( )L x yn i iin( ) expσπσ σ22 22 211212= − +=∑      Bol. Ciênc. Geod., Curitiba, v. 5, p.15-26, 1999. 2 2  ou  ( )ln ( ) lnL n. x yi iinσ πσ σ2 222 21212= − − +=∑ ,                        (5.3)  resultando no EMV  ( )$σ2 2 2112= +=∑nx yi iin                                          (5.4)  que é idêntico ao obtido para  ri, apenas exigindo  duas vezes mais observações.  (III) Método dos momentos  O primeiro momento centrado na origem corresponde a  µ σ π= =E r( )2,                                           (5.5)  enquanto que  &&&rrniin= =∑1  .                                                (5.6)   Portanto, de acordo com o método dos momentos tem-se que  *$σ π2212 ==∑rniin,   resultando no estimador  * $σ π22122==∑nriin .                                       (5.7)   O estimador pelo método dos momentos é tendencioso, pois  En(*$ )σ σ σ π2 22 41= + −  ,                                   (5.8)  sendo porém  consistente.   Bol. Ciênc. Geod., Curitiba, v. 5, p.15-26, 1999. 2 3  (IV) Estimador de mínimos quadrados     O estimador não-viciado da variância de r é dado por  ( )$ &&&σr iinnr r22111= − −=∑ ,                                       (5.9)  onde  &&&rnriin==∑11.                                             (5.10) Como foi visto V(r) em  (2.10), tem-se então que minimizando a função Q = [ ]$ ( )σr V r2 2−   resulta no estimador de mínimos quadrados    ( )σ πr iinnr r2211124= − − −=∑ &&& .                            (5.11)   Pode-se mostrar que esse estimador é não-tendencioso, pois  E r(&&& )σ σ2 2= .  Quadro 5.1 – Resumo dos estimadores desenvolvidos  Tipo do Estimador Observações Estimador (I) E.M.V. r1, r2, ... , rn $σ2 2112==∑nriin (II) E.M.V. x1, x2, ... , xn y1, y2, ... , yn ∑ +=σ =n1i2i2i2 )yx(n21ˆ  (III) Momentos r1, r2, ... , rn *$σ π22122==∑nriin (IV) Mínimos Quadrados r1, r2, ... , rn ( )σ π2 211124= − − −=∑nr riin  6. SIMULAÇÕES  Considere uma amostra aleatória de  n=100 pontos gerados a partir de uma distribuição de Rayleigh, com desvio padrão para a distribuição normal bidimensional igual a σ = 1.  A figura 6.1 mostra a distribuição desses pontos, com ponto de centragem na origem.  A distribuição de Rayleigh nesse caso tem como média    Bol. Ciênc. Geod., Curitiba, v. 5, p.15-26, 1999. 2 4  25,1212)r(E ≅π=πσ=                                           (6.1)  e variância  V(r) = 0,43σ2 = 0,43.1= 0,43.  Para a amostra gerada o valor estimado de E(r) é de aproximadamente 1,27, enquanto que os valores estimados de V(r ), de acordo com o método de estimação utilizado, são:  0122,1ˆ 2 =σ    (E.M.V.),     0239,1ˆ* 2 =σ  (Momentos)     e     979,02 =σ  (M.M.Q.).      Figura 6.1 – Dispersão de n =100 pontos – Distribuição de Rayleigh   Para a simulação realizada, considerando apenas o erro de centragem, e uma distância verdadeira de 20 m, obtiveram-se os resultados mostrados no quadro 6.1    Quadro 6.1 –  Resultados da simulação para n = 100  Distância (metros) Erro (milímetros) Máxima = 20,00287276 2,877276 Mínima = 19,99743409 2,566591 Média   = 19,99997366 0,026336 -3 -2 -1 0 1 2 3-3-2-10123x (mm)y (mm)  Bol. Ciênc. Geod., Curitiba, v. 5, p.15-26, 1999. 2 5   Para uma amostra de 10 pontos gerados nas mesmas condições da simulação anterior, resultou no diagrama de dispersão dado pela figura 6.2.    Figura 6.2 - Dispersão de n =10 pontos – Distribuição de Rayleigh   O quadro 6.2 resume os resultados para a amostra de n=10 pontos, considerando-se apenas o erro de centragem.  Quadro 6.2 - Resultados da simulação para n = 10  Distância (metros) Erro (milímetros) Máxima = 20,00144621 1,44621 Mínima = 19,99875402 1,24598 Média   = 20,00030940 0,30940  7.  CONCLUSÕES E SUGESTÕES  Analisando os resultados das simulações realizadas, verifica-se que os erros cometidos na centragem de instrumentos poderão ser minimizados com o aumento da amostra de medidas, sendo essas amostras obtidas com a repetição das centragens. -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2-1.5-1-0.500.511.52x (mm)y (mm)  Bol. Ciênc. Geod., Curitiba, v. 5, p.15-26, 1999. 2 6    Nos casos analisados, em 100 centragens o erro máximo foi de 2,87276 mm, com erro médio de 0,02634 mm, enquanto que no caso de 10 centragens o erro máximo foi de 1,44621 mm com um erro médio de 0,30940 mm. Se considerarmos também o erro de pontaria, esses erros poderiam ser o dobro dos resultados obtidos.  Como o número de centragem influencia na obtenção dos erros, recomenda-se a repetição das medidas com um número de centragem maior, visando à minimização dos mesmos.    Outra sugestão seria a realização de um estudo que permitisse dimensionar o tamanho da amostra mínima para a obtenção das medidas dentro de uma precisão e nível de confiança definidos pelo interessado.     Bibliografia  BICKEL, P.J.; DOCKSUN, K. A. Mathematical statistics. San Francisco: Holden-Day, 1977. PATTERSON, R.  Estimation of the variance of centring errors.  The Australian Surveyor, v.29, n. 6, p. 365-374, June 1979. WHITE, L. A.  Distribution of centring.  The Australian Surveyor, v. 28, n. 8, December 1977.                (Recebido em 13/05/99. Aceito para publicação em 14/07/99.)  

ANÁLISE ESTATÍSTICA DOS ERROS DE CENTRAGEM E PONTARIA

https://revistas.ufpr.br/bcg/article/download/1517/1271

ANÁLISE ESTATÍSTICA DOS ERROS DE CENTRAGEM E PONTARIA

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Biblioteca Digital de Periódicos da UFPR (Universidade Federal do Paraná)