Henry, Valérie

Lambrecht, Pauline

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RESEARCH OUTPUTS / RÉSULTATS DE RECHERCHEAuthor(s) - Auteur(s) :Publication date - Date de publication :Permanent link - Permalien :Rights / License - Licence de droit d’auteur :Bibliothèque Universitaire Moretus PlantinInstitutional Repository - Research PortalDépôt Institutionnel - Portail de la Rechercheresearchportal.unamur.beUne ingénierie pour l’étude de la proportionnalité par confrontation à la non-proportionnalité via des manipulationsHenry, Valérie; Lambrecht, PaulinePublished in:Actes de la CIEAEM 66Publication date:2014Document VersionPremière version, également connu sous le nom de pré-printLink to publicationCitation for pulished version (HARVARD):Henry, V & Lambrecht, P 2014, Une ingénierie pour l’étude de la proportionnalité par confrontation à la non-proportionnalité via des manipulations. Dans Actes de la CIEAEM 66. 66th CIEAEM International Meeting, Lyon,France, 21/07/14.General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.            • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research.            • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain            • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal ?Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediatelyand investigate your claim.Download date: 23. Jun. 20201Proposition d’ingénierie pour l’étude de la proportionnalité parconfrontation à la non-proportionnalité via des manipulationsValérie Henry, UNamur (Belgique)Pauline Lambrecht ∗, UNamur et CREM (Belgique)13 mai 2014This thesis is based on an engineering intended to encourage proportionality’s learningand this, by the introduction of manipulations and comparison to non-proportionality.Thus, the observation of the volume’s variation of a cylinder as a function of its heightin a first time and according to its diameter in a second time leads students to build thecharacteristics of proportional phenomenon compared with a phenomenon which is not.The methodology used and some results are discussed in this text.SummaryCe travail de thèse se base sur une ingénierie destinée à favoriser l’apprentissage de laproportionnalité et ce, par l’introduction de manipulations et la confrontation à la non-proportionnalité. Ainsi, l’observation de la variation du volume d’un cylindre en fonc-tion de sa hauteur dans un premier temps et en fonction de son diamètre dans un secondtemps amène les élèves à construire les caractéristiques d’un phénomène proportionnelpar comparaison avec un phénomène qui ne l’est pas. La méthodologie utilisée ainsi quequelques résultats sont abordés dans ce texte.Résumé1 Présentation du problèmeCet article présente un travail de thèse en cours à l’UNamur en Belgique. L’ingénierie développée dans cecadre est en lien avec une recherche menée au Centre de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques(CREM) de Nivelles en Belgique. Ces trois dernières années, une équipe de chercheurs a mis au pointdes activités, appelées Math & Manips, intégrant des manipulations destinées à diverses tranches d’âge del’enseignement (2 ans et demi à 18 ans) [8]. L’intérêt de cette recherche est de présenter aux enseignantsl’apport d’une activité expérimentale dans le processus de construction des savoirs mathématiques.Ces séquences d’apprentissage présentent une forte composante a-didactique et visent à provoquer chezles élèves de la curiosité par des expérimentations dont les résultats semblent en contradiction avec leursconnaissances antérieures. Elles doivent amener les élèves à entrer dans un processus de questionnementvisant à faire émerger un modèle qui correspond au mieux à la réalité de la situation.∗Pauline.Lambrecht@crem.beLyon Mathematics and realities CIEAEM 662L’ingénierie présentée dans cet article est l’une de ces activités. Elle est destinée aux élèves du début dusecondaire (12-13 ans) et propose de confronter des situations de proportionnalité à d’autres qui ne le sontpas.Dans cette séquence, le passage de l’expérimental aux modèles mathématiques se fait dans différentscontextes afin de favoriser le passage d’un registre de représentation sémiotique à un autre. En effet, l’activitéexpérimentale débouche nécessairement sur un relevé d’informations qui doivent être traitées de diversesmanières. Les résultats sont décrits dans le langage courant, intégrés dans des tableaux de nombres etinterprétés sous forme de graphiques.2 Articles publiés sur le sujetDe nombreux documents ayant trait à l’apprentissage de la proportionnalité ont été écrits ces dernières an-nées et ont nourri notre réflexion. Ainsi, l’ouvrage de Boisnard, Houdebine, Julo, Kerbœuf et Merri [2]décrit la difficulté de cette notion et présente notamment une classification des problèmes de proportionnalité.Dans la publication de Nowak, Tran et Zucchetta [12], on retrouve également différentes procédures liéesà la proportionnalité. Hersant étudie dans sa thèse [9] les problèmes de proportionnalité ainsi que l’uti-lisation d’un logiciel pour aider à l’apprentissage de la proportionnalité. Plusieurs articles de revues ontégalement traité la proportionnalité. Citons entre autres ceux de Comin [4] et de Dupuis et Pluvinage [6]dans Recherches en Didactique des Mathématiques pour la France et celui de Hoyles, Noss et Pozzi [10]par exemple pour la littérature anglo-saxonne. Notons qu’un groupe international de la Psychology of Ma-thematics Education s’intéresse à l’étude de la proportionnalité (voir notamment [11]).La plupart de ces textes soulève la difficulté de l’apprentissage de cette notion, souvent liée à la multi-plicité des catégories de problèmes. Notre angle de travail a fortement été inspiré par la lecture de travauxrelatifs à la prégnance du modèle linéaire (De Bock, Van Dooren, Janssens & Verschaffel [5]). L’in-génierie élaborée vise donc principalement à ébranler les conceptions initiales des apprenants par rapport àla rémanence du modèle linéaire.3 Hypothèses et objectifs du travailDès le début de ce travail, deux axes nous ont intéressés. D’un côté, l’apport de situations de non-proportionnalité dans l’étude de la proportionnalité et de l’autre, l’apport de manipulations pour les appren-tissages à long terme liés à la proportionnalité.Nous sommes effectivement convaincus que tant les manipulations que la confrontation de la proportion-nalité à la non-proportionnalité peuvent amener les élèves à un meilleur apprentissage de cette notion. C’estpourquoi l’ingénierie brièvement présentée à la section 5 a été mise au point.4 Cadre théoriqueCette ingénierie a été élaborée dans le cadre de la théorie des situations didactiques de Brousseau [3]et en utilisant la méthodologie décrite par Artigue [1] comme précisé dans la section ci-dessous. De plus,notre travail s’appuie sur la conversion de registre de représentation au sens de Duval [7].5 Méthodologie et description du dispositif expérimentalPour construire l’ingénierie dont il est question dans cette section, nous avons suivi le processus présentépar Artigue dans [1] pour lequel elle distingue quatre phases.Lyon Mathematics and realities CIEAEM 663La première concerne les analyses préalables. Comme nous l’avons souligné dans la section 2, de nombreuxtravaux ont déjà été menés quant à l’apprentissage de la proportionnalité mais la lecture des travaux de DeBock, Van Dooren, Janssens & Verschaffel [5] sur l’illusion de linéarité ainsi que le regard sur lecontenu de différents manuels belges nous ont amenés à choisir une autre approche.La deuxième phase reprend la conception et l’analyse a priori. La théorie des situations didactiquesde Brousseau [3] a guidé l’écriture de la séquence d’apprentissage. Nous souhaitions notamment créer unmilieu qui permette de dévoluer la situation aux élèves en étant confrontés à leurs préconceptions erronées.L’analyse a priori complète sera présentée au cours de l’atelier.Les troisième et quatrième phases sont respectivement celle de l’expérimentation et celle de l’analysea posteriori et de l’évaluation (validation). Dans notre cas, ces deux phases se sont répétées car, afin demettre au point cette ingénierie, nous l’avons testée de nombreuses fois en l’adaptant au fur et à mesure desexpérimentations.Comme présenté à la section 3, l’une des questions de recherche de la thèse porte sur l’apport de si-tuations de non-proportionnalité dans l’étude de la proportionnalité. Pour traiter cette question, nous avonsnotamment mis en place un protocole d’expérimentation basé sur l’introduction de l’ingénierie dans certainesclasses (classes-expérimentales) tandis que d’autres classes (classes-témoins) poursuivaient leur enseignement.Les enseignants de deux écoles ont accepté de nous accueillir dans leurs locaux, ce qui a donné l’occasion demener de nombreuses autres expérimentations.L’ingénierie consiste à proposer aux élèves d’étudier la variation du volume d’un cylindre en fonctionde sa hauteur dans un premier temps et en fonction de son diamètre dans un second temps. Cela permetd’observer et de construire avec les élèves les caractéristiques d’un phénomène proportionnel par comparaisonavec un phénomène qui ne l’est pas. Un enjeu important de cette ingénierie est en effet d’établir le lien entrephénomène linéaire, tableau de proportionnalité et graphique en ligne droite d’une part et phénomènes nonlinéaires, tableaux de non-proportionnalité et graphiques de fonctions non linéaires d’autre part.Une situation d’introduction permet aux élèves de se familiariser avec le matériel et de mettre en évidencedes points essentiels d’une démarche scientifique : placement des repères, précision, utilisation d’un matérieladéquat, etc. Ensuite, dans une première partie, on demande de remplir un cylindre jusqu’à certaines hauteursaprès avoir estimé, pour chaque cas, le nombre de mesurettes nécessaires à cette opération. Les élèves écriventleurs résultats dans un tableau et il leur est demandé de repérer et d’écrire les différents liens qu’ils observententre les valeurs du tableau, en les symbolisant par des flèches. Les réactions des élèves sont principalement dedeux sortes : certains remarquent dans ce tableau des liens de type multiplicatif et d’autres repèrent les écartsconstants. Après discussion, les élèves conviennent avec l’enseignant que la multiplication est plus généraleen ce sens que les additions dépendent des valeurs initiales tandis que les liens multiplicatifs internes sont lesmêmes pour tous les groupes, quelles que soient les valeurs de départ. De plus, les liens de type multiplicatifpermettent de trouver la réponse pour n’importe quelle hauteur sans recourir aux étapes intermédiaires.Dans une deuxième partie, on propose de remplir des cylindres de diamètres simple, double et triplejusqu’à une même hauteur après avoir demandé, dans chacun des cas, une estimation du nombre de mesurettesnécessaires. L’importance de la démarche qui consiste à ne faire varier qu’une seule grandeur à la fois estexplicitée. De nombreux élèves s’attendent à obtenir des rapports simple, double et triple comme lorsqu’ilsont fait varier la hauteur. Le passage par l’écriture des estimations est important car les élèves sont ensuiteconfrontés à la non-concordance des résultats avec leurs prévisions. Cela les incite à se poser davantage dequestions et à chercher des justifications aux résultats obtenus.À nouveau, il est demandé de placer les résultats obtenus pour la variation du diamètre dans un tableau.Les liens découverts entre ces différentes valeurs doivent être mis en évidence afin d’en dégager les valeurscorrespondant à des diamètres par exemple quatre ou cinq fois plus grands de celui de départ.Pour chacune des deux situations, les élèves placent les résultats dans un graphique. Sur base des tableauxet graphiques construits au cours de l’activité, l’enseignant institutionnalise les savoirs visés, au sens deBrousseau [3], en réalisant une synthèse qui met en évidence les caractéristiques permettant de distinguerLyon Mathematics and realities CIEAEM 664les phénomènes proportionnels des autres.6 Discussion de résultatsLes questions de recherche de la thèse concernent notamment l’apport de manipulations et l’apport d’unesituation de non-proportionnalité pour l’apprentissage de la proportionnalité. Pour y répondre, le procédéexpérimental suivi a été de présenter aux élèves de classes-tests et de classes-témoins des questionnairesavant et après les séquences d’enseignement. Les premières analyses montrent déjà que les élèves des classesdans lesquelles l’ingénierie a été menée ont des résultats globalement équivalents à ceux des autres élèves,l’introduction d’un temps de manipulation ne porterait donc pas préjudice à l’apprentissage. Nous n’allonspas plus loin dans ces analyses ici car ce n’est pas l’objectif de cet article. Par contre, voici quelques résultatsconcernant la mise au point de l’ingénierie.Les premières expérimentations ont notamment permis de voir l’importance de faire écrire aux élèvesleurs estimations car, lorsque ce n’était pas explicitement demandé, ils avaient tendance à occulter leursidées premières, ce qui réduisait l’effet positif du conflit cognitif induit par le milieu.Les expérimentations ont été réalisées, dans un premier temps, avec l’objectif principal de mettre au pointla séquence de manipulations. Nous avions laissé la partie d’institutionnalisation à charge de l’enseignant etil s’est très vite avéré nécessaire de l’introduire dans la séquence proposée aux enseignants car, sans cela, laconfrontation des deux situations n’était pas exploitée correctement pour établir la caractérisation de situa-tions de proportionnalité. Notre expérience renforce donc l’importance de la composante institutionnalisationd’une situation didactique.7 ConclusionD’autres résultats suivront avec l’avancement de la thèse. Actuellement, alimentée par ce travail de thèse,la recherche au CREM a mené à l’écriture d’un document à destination des enseignants reprenant cetteingénierie [8]. Ensuite, au cours de cette année, nous avons proposé un accompagnement aux professeursqui souhaitaient réaliser cette séquence d’apprentissage dans leur classe et l’avons également présentée enformation d’enseignants. Nous sommes convaincus que cet encadrement est nécessaire dans un premier tempspour que les enseignants puissent s’approprier l’ingénierie et, notamment, prendre conscience de l’importancedu choix des variables didactiques.Références[1] Artigue M. (1988). Ingénierie didactique. Recherches en didactique des mathématiques, 9 (3), 281-308.[2] Boisnard D., Houdebine J., Julo J., Kerbœuf M.-P., Merri M. (1994). La proportionnalité etses problèmes. Paris : Hachette Éducation.[3] Brousseau G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble : La Pensée Sauvage.[4] Comin E. (2002). L’enseignement de la proportionnalité à l’école et au collège. Recherches en Didactiquedes Mathématiques, Vol.22/2.3, La Pensée Sauvage éditions, pp.135-182.[5] De Bock D., Van Dooren W., Janssens D. & Verschaffel L. (2007). The illusion of linearity.From Analysis to improvement. New York : Springer.[6] Dupuis C., Pluvinage F. (2003). La proportionnalité et son utilisation. Recherches en Didactique desMathématiques, Vol.2/2, La Pensée Sauvage éditions, pp.165-212.[7] Duval R. (1996). Quel cognitif retenir en didactique des mathématiques ? Recherches en Didactiquedes Mathématiques, Vol.16/3, La Pensée Sauvage éditions, pp.349-382.Lyon Mathematics and realities CIEAEM 665[8] Guissard M.-F., Henry V., Lambrecht P., Van Geet P., Vansimpsen S. & WettendorffI. (2013). Math & Manips - Des manipulations pour favoriser la construction des apprentissages enmathématiques, rapport de recherche téléchargeable sur www.crem.be[9] Hersant M. (2001). Interactions didactiques et pratiques d’enseignement, le cas de la proportionnalitéau collège. Thèse, Paris : Université Paris 7 - Denis Diderot.[10] Hoyles C., Noss R. & Pozzi S. (2001). Proportional reasoning in nursing practice. Journal forResearch in Mathematics Education, pp.4-27.[11] Post T., Cramer K., Harel G., Kieren T. & Lesh R. (1998). Research on rational number,ratio and proportionality. Proceedings of the twentieth annual meeting of the north american chapter ofthe international group for the Psychology of Mathematics Education PME-NA XX, Vol.1, Raleigh NC,pp.89-93.[12] Nowak M.-Th., Tran D., Zucchetta J.-F. (2001). La proportionnalité dans tous ces États. Lyon :IREM de Lyon.Lyon Mathematics and realities CIEAEM 66

Une ingénierie pour l’étude de la proportionnalité par confrontation à la non-proportionnalité via des manipulations

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