Herten, Markus

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Conference Paper, Published VersionHerten, MarkusDie Verwendung von Finiten Elementen beiStandsicherheitsnachweisen BerechnungsbeispieleVerfügbar unter/Available at: https://hdl.handle.net/20.500.11970/101914Vorgeschlagene Zitierweise/Suggested citation:Herten, Markus (2007): Die Verwendung von Finiten Elementen beiStandsicherheitsnachweisen Berechnungsbeispiele. In: Bundesanstalt für Wasserbau (Hg.):Neue Normen in der Geotechnik. Karlsruhe: Bundesanstalt für Wasserbau.Standardnutzungsbedingungen/Terms of Use:Die Dokumente in HENRY stehen unter der Creative Commons Lizenz CC BY 4.0, sofern keine abweichendenNutzungsbedingungen getroffen wurden. Damit ist sowohl die kommerzielle Nutzung als auch das Teilen, dieWeiterbearbeitung und Speicherung erlaubt. Das Verwenden und das Bearbeiten stehen unter der Bedingung derNamensnennung. 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Literaturhinweise  Bundesanstalt für Wasserbau BAW-Kolloquium „Neue Normen in der Geotechnik“ am 15. März 2007 in Hannover   - 2 - 1 Definitionen und allgemeine Angaben  Ein Grenzzustand ist der Zustand eines Tragwerks, bei dessen Überschreitung die der Tragwerksplanung zugrunde gelegten Anforderungen überschritten werden.  Der Grenzzustand der Tragfähigkeit ist der Zustand des Tragwerks, dessen Überschreiten zu einem rechnerischen Einsturz oder anderen Formen des Versagens führt. ("Standsicherheitsproblem") GZ1 Der Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit ist der Zustand des Tragwerks, dessen Überschreiten die für die Nutzung festgelegten Bedingungen nicht mehr erfüllt. ("Verformungsproblem") GZ2  Grenzzustände der Tragfähigkeit GZ 1: Sicherheitskonzept GZ 1B: faktorisierte Beanspruchungen und Widerstände Ed = Ek (ϕk , ck)·γE   Rd = Rk (ϕk , ck)/γR Ek charakteristischer Wert der Beanspruchungen Rk charakteristischer Wert der Widerstände ϕk charakteristischer Wert des Reibungswinkels ck charakteristischer Wert der Kohäsion Ed Bemessungswert der Beanspruchungen γE Teilsicherheitsbeiwert für die Beanspruchungen Rd Bemessungswert der Widerstände γR Teilsicherheitsbeiwert für die Widerstände  Sicherheitskonzept GZ 1C: faktorisierte Scherparameter  (ggf. auch Lasten resp. Einwirkungen) tan(ϕd) = tan(ϕk)/γϕ   cd = ck/γc ϕk  charakteristischer Wert des Reibungswinkels  ck  charakteristischer Wert der Kohäsion  ϕd Bemessungswert des Reibungswinkels γϕ  Teilsicherheitsbeiwert für die Reibung cd Bemessungswert der Kohäsion γc Teilsicherheitsbeiwert für die Kohäsion  Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit GZ 2: Alle Sicherheiten η = 1 Grenzwerte werden i.W. empirisch festgelegt (z.B. maximale Setzungsdifferenz). Für die Berechnung werden verschiedene Modellvorstellungen herangezogen (z. B. Federn, elastischer Halbraum, Elementzerlegung) Die FEM hat sich hier durchgesetzt und wird auch in der Praxis häufig angewendet.  Bundesanstalt für Wasserbau BAW-Kolloquium „Neue Normen in der Geotechnik“ am 15. März 2007 in Hannover   - 3 - 2 Standsicherheitsberechnung einer Böschung  Das folgende Beispiel entspricht dem ersten Bespiele aus dem Beiblatt zu Empfehlung Nr. 4 des Arbeitskreises 1.6 „Numerik in der Geotechnik“ (T. Schanz, Geotechnik 29, 2006, Nr. 4). Es handelt sich um einen homogenen Böschungseinschnitt im bindigem Boden.  20 m1 : 2ϕk = 20° ck = 10 kN/m² E = 100 MN/m² γk = 20 kN/m³ ν = 0,3   Bild 2.1: Böschungsgeometrie mit Bodenkennwerten für Stoffgesetz nach Mohr-Coulomb   Sicherheitsbeiwerte aus DIN 1054 für Lastfall 1: γG = 1,0 γQ = 1,3 γϕ = 1,25 γc = 1,25    Bild 2.2: Finite-Elemente-Netz   Berechnungsschritte: - Erhöhung der Lasten um den Teilsicherheitsfaktor (γG = 1,0 / γQ = 1,3)    keine ungünstigen veränderlichen Einwirkungen vorhanden - sukzessive Reduktion von φ und c bis zum numerischen Grenzgleichwicht:  ϕ = arctan[tan(20°)/η] und c = 10/η   Bundesanstalt für Wasserbau BAW-Kolloquium „Neue Normen in der Geotechnik“ am 15. März 2007 in Hannover   - 4 -                    Bild 2.3: Verlauf der ϕ-c- Reduktion   Aus Bild 2.3 ergibt sich der Reduzierungsfaktor η = 1,33. Damit kann der Ausnutzungsgrad bei einer erforderlichen Sicherheit von γϕ und γc = 1,25 zu μ = 1,25/1,33 = 0,94 berechnet werden.   Bild 2.4: Darstellung der Verformungen im Grenzzustand  Die in Bild 2.4 dargestellten Verformungen gleichen einem Kreisausschnitt. Zum Vergleich werden analytische Berechnungen nach DIN 4084 durchgeführt. Es zeigt sich in Bild 2.5, dass ungefähr die gleichen Ausnutzungsgrade erreicht werden, wobei jeweils ein ähnlicher Bruchkörper wie in der FE-Berechnung maßgebend wird. Für die Berechnung nach DIN 4084 müssen die Bodenparameter entsprechend der Sicherheitsbeiwerte abgemindert werden: ϕd = arctan[tan(20°)/1,25]=16,23° cd = 10/1,25 = 8 kN/m² γd = 20·1,0 = 20 kN/m³  Bundesanstalt für Wasserbau BAW-Kolloquium „Neue Normen in der Geotechnik“ am 15. März 2007 in Hannover   - 5 -  Berechnung nach Bishop: μ = 0,91               0.91   Berechnung nach Janbu: μ = 0,95               Berechnung nach Blockgleitverfahren: μ = 0,95  GK1GK2GK3GK4             Bild 2.5: Berechnungen nach DIN 4084  Bundesanstalt für Wasserbau BAW-Kolloquium „Neue Normen in der Geotechnik“ am 15. März 2007 in Hannover   - 6 - 3 Standsicherheitsberechnung einer Spundwand  Statisches System und Bodenkennwerte  Dieses Rechenbeispiel wurde im Rahmen der Vorstellung der 4. Auflage, Empfehlungen des Arbeitskreises „Baugruben“ von Prof. B. Walz in allen Teilschritten vorgerechnet. Bei dem statischen System handelt es sich um eine einfach gestützte, im Boden voll eingespannte Baugrubenspundwand (Lastfall 2).                     Bild 3.1: Systemabmessungen und Belastung   Bodenkennwerte:  Spundwand: Larssen 43 Sand, mitteldicht gelagert  EI = 73290 kNm²/m γk = 18 kN/m³  EA = 445200 kN/m ϕ'k = 35 °  w = 1,66 kN/m² E50 = Eoed = 30000 kN/m² Eur = 90000 kN/m² RInter  =  0,62 Belastung:  Anker: pk = 10 kN/m² Großflächige Gleichlast α = 10° q'k = 110 kN/m² Verkehrslast  lA = 12,00 m bq’k    = 2,00 m Lastbreite  lk = 4,00 m  Bundesanstalt für Wasserbau BAW-Kolloquium „Neue Normen in der Geotechnik“ am 15. März 2007 in Hannover   - 7 - FE-Berechnung   Die statischen Berechnungen wurden mit Hilfe des FE-Programms PLAXIS, Version 8.4 durchgeführt. Den gemäß DIN 1054 (2005) erforderlichen Nachweisen wurden die mit FEM ermittelten Spannungsverläufe zugrunde gelegt. In Bild 3.2 ist das zugehörige FE-Netz dargestellt.                 Bild 3.2: Finite-Elemente-Netz   Einbindelänge der Spundwand  Bei einer analytischen Berechnung der Spundwandlänge muss das statische System gewählt werden. Die Wahl erfolgt zwischen frei aufgelagert, teilweise eingespannt und voll eingespannt. Es ist auch die Berechnung mit Bettungsziffern üblich. Im Beispiel von Prof. Walz wurde eine voll eingespannte Spundwand untersucht. Die Spundwandlänge ergab sich zu: tGes = zS + zF + Δt  =  10,00 + 3,65 + 0,2·3,65  =  10,00 + 3,65 + 0,73  ≈  14,40 m  Diese wurde auch für die FE-Berechnung verwendet, d.h. der Zuschlag Δt ist mit berücksichtigt. Zusätzlich wurde eine Vorspannkraft des Ankers von 150 kN/m ange-nommen. Trotz der geringen Vorspannkraft (ca. 75 % von Ak,G) stellt sich nicht der aktive sondern ein erhöhter aktiver Erddruck ein.  Bundesanstalt für Wasserbau BAW-Kolloquium „Neue Normen in der Geotechnik“ am 15. März 2007 in Hannover   - 8 - Spannungs- und Schnittgrößenverläufe   Der Boden wird unter Verwendung des Hardening-Soil-Modells abgebildet. Für das untersuchte System stellen sich unter Volllast (incl. Verkehrslasten) auf der aktiven Seite die in Bild 3.3 dargestellte Normal- und Schubspannungsverteilung über die Spundwand ein. Bild 3.4 gibt den Normal- und Schubsspannungsverlauf auf der passiven Spundwandseite wieder.    Normalspannungen [kN/m²] Schubspannungen [kN/m²]  Bild 3.3: Mit FEM ermittelte Spannungsverteilung über die Spundwand (aktive Seite)    Normalspannungen [kN/m²] Schubspannungen [kN/m²]  Bild 3.4: Mit FEM ermittelte Spannungsverteilung über die Spundwand (passive Seite)  Bundesanstalt für Wasserbau BAW-Kolloquium „Neue Normen in der Geotechnik“ am 15. März 2007 in Hannover   - 9 - Unter Volllast stellen sich die in Bild 3.5 gezeigten Schnittgrößenverläufe (Normalkraft-, Querkraft- und Momentenverlauf) über die Spundwand ein. Abweichend von der analytischen Berechnung von Prof. Walz wirken die Verkehrslasten immer ungünstig.  N [kN/m] Q [kN/m] M [kNm/m]  Bild 3.5: Mit FEM ermittelte Schnittgrößenverläufe über die Spundwand   Versagen des Erdwiderlagers  Es ist nachzuweisen, dass die berechnete Bodenreaktionskraft durch den mobilisierbaren Erdwiderstand aufgenommen werden kann. Der Nachweis ist für den Grenzzustand GZ 1B zu führen. Es muss folgende Bedingung erfüllt sein: γG·BGh,k + γQ·BQh,k  ≤  Eph,k/γEp Für den GZ 1B (LF 2) gelten die folgenden Teilsicherheitsbeiwerte: γG = 1,20 γQ = 1,30 γEp = 1,30  Die Bodenreaktionskräfte werden durch Integration der Spannungskurven bis zum theoretischen Fußpunkt (TF) bestimmt. Dieser wird mit Hilfe des Belastungsnullpunktes, der identisch mit dem Querkraftmaximum im Bereich des passiven Erdwiderlagers ist, gemäß Bild 3.6 bestimmt und beträgt: TF = 3,60 m 97,1 165,9133,1 99,995,0 88,4 250,0221,8 152,6 Bundesanstalt für Wasserbau BAW-Kolloquium „Neue Normen in der Geotechnik“ am 15. März 2007 in Hannover   - 10 -  0,000,501,001,502,002,503,003,504,004,50-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150Resultierender Erddruck  [kN/m²]Tiefe  [m]TF = 3,60 m Bild 3.6: Überlagerter Erddruck am Spundwandfuß   Aus der Integration ergeben sich unter Berücksichtigung der ständigen und veränderlichen Lastanteile die folgenden Werte: BBGh,k = 477,87 kN/m   BGv,k = 190,40 kN/m BBQh,k = 29,10 kN/m   BQv,k = 11,57 kN/m  Der mobilisierte Wandreibungswinkel δp, lässt sich aus der FE-Berechnung wie folgt ermitteln zu: δp = arctankh,kv,BB = arctan10,2987,47757,1140,190++  = 21,72°  Daraus ergibt sich: Kpgh = 7,292    mit ϕ’k = 35 °, δp = 21,72°, α = β = 0  Und der mögliche passive Erddruck beträgt: Eph,k = 7,292·18·0,5·3,60² = 850,54 kN/m  Bundesanstalt für Wasserbau BAW-Kolloquium „Neue Normen in der Geotechnik“ am 15. März 2007 in Hannover   - 11 - Nachweis: γG·BGh,k + γQ·BQh,k ≤ Eph,k/γEp 1,20·477,87 + 1,30·29,10 ≤ 850,54/ 1,30 611,27  ≤ 654,26   Nachweis erfüllt!  Ausnutzungsgrad: μ = dph,dh,EB =  654,26611,27  = 0,93    ≤     1,00   Versinken von Bauteilen  Es ist nachzuweisen, das wandartige Bauteile, wie z.B. Spundwände, nicht infolge lotrechten Beanspruchungen im Boden versinken. Eine ausreichende Sicherheit gegen Versinken ist gemäß DIN 1054 (2005) nachgewiesen, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: Vd ≤ Rd (Eagv,k + Agv,k + GWand)·γG + (Eaqv,k + Aqv,k)·γQ  ≤  EpkQv,kGv, BBγ+  + Psks, Aqγ⋅  + Pbkb, Aqγ⋅   (178,6 + 33,6 + 22,6)·1,2 + (30,4 + 12,8)·1,3  ≤  1,311,6190,4 +  + 1,40,8216 ⋅⋅  + 1,40,425000 ⋅   337,9 kN/m    ≤   1673,7 kN/m   Nachweis erfüllt!   Nachweis der Standsicherheit in der tiefen Gleitfuge   Auch der Nachweis ausreichender Ankerlänge wird im GZ 1B geführt. Die Schnittführung erfolgt gemäß des in Bild 3.7 dargestellten Schemas. Es wird ein unter αA = 10° geneigter Anker mit einer Gesamtlänge von 14,00 m gewählt. Die Verpressstrecke besitzt eine Länge von 4,00 m. Die Anker werden in einem Abstand von 2,00 m senkrecht zur Zeichenebene angeordnet.  Es muss folgende Bedingung erfüllt sein: Avorh.,d ≤ Amögl.,dγG·Avorh.G,k + γvorh.Q·AQ,k ≤ Amögl.,k/γEp Bundesanstalt für Wasserbau BAW-Kolloquium „Neue Normen in der Geotechnik“ am 15. März 2007 in Hannover   - 12 - In den Nachweis gehen die folgenden Werte ein: Gk = 18·11,82·(4,08+12,13)/2  =  1724,5 kN/m  Pk = 10·11,82  =  118,2 kN/m  Q'k = 2,00·110  =  220,0 kN/m  Die Erddrücke aus ständigen sowie veränderlichen Einwirkungen werden durch Integration der mit FEM ermittelten Spannungskurven bis zum Querkraftnullpunkt bestimmt.  Eah,k = 507,1 kN/m   Eav,k = 201,2 kN/m  Der Erddruck auf die vertikale Ersatzankerwand wirkt parallel zur Geländeoberfläche: Kagh = 0,271 mit ϕ’k = 35 °, δa =  α = β = 0°          E1,k = 0,271·(10·4,08 + 18·4,08²/2)  =  51,7 kN/m  Die charakteristischen Ankerkräfte AG,k und AQ,k werden mit Hilfe der FE-Berechnung bestimmt: Avorh.G,k = 193,3 kN/m  Avorh.Q,k = 73,7 kN/m  Bild 3.7: Schnittführung beim Nachweis der Standsicherheit in der tiefen Gleitfuge  Bundesanstalt für Wasserbau BAW-Kolloquium „Neue Normen in der Geotechnik“ am 15. März 2007 in Hannover   - 13 -                         Bild 3.8: Krafteck beim Nachweis der Tiefen Gleitfuge   Die aufnehmbare Ankerkraft Amögl.,k wird aus dem Krafteck in Bild 3.8 ermittelt: Amögl.,k = 486,1 kN/m  Für den GZ 1B (LF 2) gelten die folgenden Teilsicherheitsbeiwerte: γG = 1,20  γQ = 1,30  γEp = 1,30   Nachweis: γG·Avorh.G,k + γvorh.Q·AQ,k ≤ Amögl.,k/γEp1,20·193,3 + 1,30·73,7 ≤ 468,1/ 1,30 327,8  ≤ 374,0   Nachweis erfüllt!  Ausnutzungsgrad: μ = dvorh.,dmögl.,AA =  374,0327,8  = 0,87    ≤     1,00  Bundesanstalt für Wasserbau BAW-Kolloquium „Neue Normen in der Geotechnik“ am 15. März 2007 in Hannover   - 14 - Nachweis der Gesamtstandsicherheit im GZ 1C  Beim Nachweis der Gesamtstandsicherheit wird der Grenzzustand GZ 1C betrachtet. Für diesen gelten im Lastfall 2 die folgenden Teilsicherheitsbeiwerte: γG = 1,00 γQ = 1,20 γϕ = 1,15  Das bedeutet, dass die Verkehrslast q'k in der FE-Berechnung um den Faktor 1,20 erhöht werden muss: q'd = γQ·q'k = 1,20·110 = 132 kN/m²  Die Gesamtstandsicherheit wird in der FE-Berechnung über die Reduktion der Scherparameter (ϕ-c-Reduction) bestimmt. Durch diese Variation der Scherparameter ändert sich gleichzeitig auch das Sicherheitsniveau des jeweiligen Rechenschrittes. Bild 3.9 zeigt den Verlauf dieser Entwicklung.    Bild 3.9: Entwicklung des Sicherheitsniveaus    Bundesanstalt für Wasserbau BAW-Kolloquium „Neue Normen in der Geotechnik“ am 15. März 2007 in Hannover   - 15 - Der Reduyierungsfaktor η beträgt hier 1,28. Dies entspricht einem Ausnutzungsgrad μ von: μ = ηϕγ  = 1,281,15  = 0,90  In Bild 3.10 sind für das untersuchte System die Verformungen im Grenzzustand dargestellt. Bruchkörper beim Blockgleitverfahren  Bild 3.10: Verformungen am Gesamtsystem im Grenzzustand   Zum Vergleich wird der Ausnutzungsgrad hinsichtlich der Geländebruchsicherheit zusätzlich durch Anwendung eines analytischen Verfahrens bestimmt. Hier wurde das Blockgleitverfahren angewendet. Dabei wird ein aus drei Starrkörpern zusammengesetzter Bruchmechanismus gemäß Bild 3.11 betrachtet. Die Geometrie des mittleren Körpers ist durch die Abmessungen der Wand und des Ankers fest vorgegeben. De beiden äußeren Körper werden durch den aktiven bzw. passiven Erddruck unter Berücksichtigung der abgeminderten Scherparameter ersetzt. Um für den verbleibenden Bruchkörper Kräftegleichgewicht herzustellen, wird eine fiktive Bruchursache ΔT parallel zur Hauptgleitfläche des größten Bruchkörpers eingeführt.    Bundesanstalt für Wasserbau BAW-Kolloquium „Neue Normen in der Geotechnik“ am 15. März 2007 in Hannover   - 16 - In den Nachweis gehen die folgenden Werte ein:  ϕd = arctan ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ ⋅ ktan1 ϕγ ϕ  = arctan ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ⋅ 35tan15,11  = 31,34°  Eag,d = 0,5·γd·z²·Kag,d (δa = ϕd)  = 0,5·18·4,08²·0,242 = 36,3 kN/m  Epg,d = 0,5·γd·t²·Kpg,d (δa = -ϕd)  = 0,5·18·4,40²·6,214 = 1082,7 kN/m  Gd = 1,00·18·11,82·(14,40+4,08)/2  =  1965,9 kN/m  Pd = 10·11,82  =  118,2 kN/m  Q'd = 132·2,00  =  264,0 kN/m   ild 3.11: Schnittführung beim Nachweis der Gesamtstandsicherheit nach dem Blockgleitverfahren   B Bundesanstalt für Wasserbau BAW-Kolloquium „Neue Normen in der Geotechnik“ am 15. März 2007 in Hannover   - 17 -  Die für ϕd = 31,34° erforderliche Bruchursache ΔT ist nach Bild 3.12 eine antreibende Kraft. ie beträgt 672,33 kN/m. eim Nachweis der Gesamtstandsicherheit mittels Blockgleitverfahren m den Ausnutzungsgrad μ zu bestimmen, wird der Scherparameter ϕk solange reduziert, is sich eine Bruchursache ΔT = 0 einstellt. Dies geschieht für ϕd = 25,37°. Der S                       ϕd  =  31,34°  ϕd  =  25,37°     Bild 3.12 Kraftecke b  UbAusnutzungsgrad ergibt sich zu: μ = )vorh(tan)erf(tan dϕϕ  = tan31,34tan25,37d = 0,78 Die FE-Berechnung ergibt einen höheren Ausnutzungsgrad und liegt daher auf der sicheren Seite.  Bundesanstalt für Wasserbau BAW-Kolloquium „Neue Normen in der Geotechnik“ am 15. März 2007 in Hannover   - 18 - 4 Literaturhinweise DIN 1054: 2005-01 Baugrund – Sicherheitsnachweise im Erd- und Grundbau. [2] EAB – Empfehlungen des Arbeitskreises „Baugruben“, 4. Auflage. Ernst & Sohn, Berlin, 2006. [3] Empfehlungen des Arbeitskreises 1.6 „Numerik in der Geotechnik“ Abschnitte 1 bis 4, Veröffentlicht in der Geotechnik [4] Böschungsbruchberechnung – Berechnungsbeispiele, T. Schanz, Beiblatt zu Empfehlung  Nr. 4 des Arbeitskreises 1.6 „Numerik in der Geotechnik“, Geotechnik 29, 2006 Nr. 4 [5] Übungsbeispiel im Rahmen der Vorstellung der 4. Auflage, Empfehlungen des Arbeitskreises „Baugruben“, B. Walz, Haus der Technik E.V. Essen  [1] 

Die Verwendung von Finiten Elementen bei Standsicherheitsnachweisen Berechnungsbeispiele

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