This article presents the change from a non-determinist fnite automaton (AFN) into a determinist finite automaton (AFD), making use of a subset construction. The subset construction algorithm is based on the transitive closure or ? ?lock. Its implementation is done through a C++ language program, whose code and output are thoroughly presented.El artículo presenta la conversión de un autómata finito no determinista (AFN) a un autómata finito determinista (AFD), haciendo uso de la construcción por subconjuntos. El algoritmo de construcción por subconjuntos se basa en la clausura transitiva o cerradura ? , la implementación se realiza mediante un programa en lenguaje C++ , cuyo código y salida se presentan en su totalidad

Raffo L., Eduardo

Ruiz L., Edgar

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LAReferencia - Red Federada de Repositorios Institucionales de Publicaciones Científicas Latinoamericanas

agosto 2003 61INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICAVol. (6) 1: pp. 61-70RESUMENEl artículo presenta la conversiónde un autómata finito nodeterminista (AFN) a un autómatafinito determinista (AFD), haciendouso de la construcción porsubconjuntos.  El algoritmo deconstrucción por subconjuntos sebasa en la clausura transitiva ocerradura ? , la implementación serealiza mediante un programa enlenguaje C++ , cuyo código ysalida se presentan en su totalidad.Palabras Claves: Autómata finitono determinista. Autómata finitodeterminista.  Grafo detransiciones. Construcción desubconjuntos.ABSTRACTThis article presents the changefrom a non-determinist fniteautomaton (AFN) into a deterministfinite automaton (AFD), making useof a subset construction. Thesubset construction algorithm isbased on the transitive closure or? ?lock.  Its implementation is donethrough a C++ language program,whose code and output arethoroughly presented.Key Words: Non-DeterministFinite Automaton. Determinist FiniteAutomaton. Transition graph.Subset construction.CONVERSIÓNDE UN AFN A UN AFD(1) Edgar Ruiz L.(2) Eduardo Raffo L.(1)  Docente del Departamento de Ingeniería de Sistemas e Informática.Facultad de Ingeniería Industrial, UNMSME-mail: eruizl@unmsm.edu.pe(2)  Docente del Departamento de Ingeniería de Sistemas e Informática.Facultad de Ingeniería Industrial, UNMSME-mail: eraffol@unmsm.edu.pe(*)  Los fundamentos teóricos han sido tomados de la primera referencia mencionada en la bibliografía. El programa en lenguajeC++ presenta la implementación de dichos algoritmos.AUTÓMATAS FINITOS(*)Un reconocedor de un lenguaje es un programa que toma como entrada una cadena “x y”,responde "si" si x es una frase del programa, y "no", si no lo es. Se compila una expresión regularen un reconocedor construyendo un diagrama de transiciones generalizado llamado autómata finito.Un autómata finito puede ser determinista o no determinista, donde "no determinista" significa que enun estado se puede dar el caso de tener mas de una transición para el mismo símbolo de entrada.Autómatas finitos no deterministasUn autómata finito no determinista (abreviado, AFN) es un modelo formado por:1.   Un conjunto de estados denotados como: estados S.2.   Un conjunto de símbolos de entrada S (el alfabeto símbolos de entrada).3.   Una función de transición mover que transforma pares estado-símbolo en conjuntos de estados.4.   Un estado S0 que se considera el estado de inicio (o inicial).5.   Un conjunto de estados F considerados como estados de aceptación (o finales).Un AFN se puede representar mediante un grafo dirigido etiquetado, llamado grafo de transiciones,en el que los nodos son los estados y las aristas etiquetadas representan las funciones de transición.Este grafo se parece a un diagrama de transiciones, pero el mismo carácter puede etiquetar dos omás transiciones fuera de un estado, y las aristas pueden etiquetarse con el símbolo especial  ? ?ycon símbolos de entrada.En la Figura 1, se muestra el grafo de transiciones de un AFN que reconoce al lenguaje (a|b)*abb.El conjunto de estados del AFN es {0,1,2,3} y el alfabeto de símbolos de entrada es {a, b}. El estado0 de la figura 1 se considera el estado de inicio, y el estado de aceptación 3 está indicado medianteun círculo doble.Cuando se describe un AFN, se utiliza la representación de grafo de transiciones. En un computador,puede aplicarse la función de transición de un AFN de varias formas. La implantación más sencilla esuna tabla de transiciones en donde hay una fila por cada estado y una columna por cada símbolo deentrada y ? , si es necesario.62agosto 2003INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA210 3a bb          inicioabFigura 1. Un autómata finito no deterministaLa entrada para la fila “i” y el símbolo “a” en la tabla es el conjuntode estados (o más probablemente en la práctica, un apuntador alconjunto de estados) que puede ser alcanzado por una transicióndel estado “i” con la entrada “a”. En el Cuadro 1, se muestra latabla de transiciones para el AFN de la Figura 1.El lenguaje definido por un AFN es el  conjunto de cadenas deentrada que acepta.Ejemplo 1. En la Figura 2, se ve un AFN que reconoce aa*| bb*.La cadena aaa es aceptada recorriendo los estados 0,1,2,2 y 2.Las etiquetas de estas aristas son ? , a, a y a, cuya concatenaciónes aaa. Obsérvese, que los símbolos ?  "desaparecen" en unaconcatenación.Autómatas finitos deterministasUn autómata finito determinista (abreviado, AFD) es un caso es-pecial de un autómata finito no determinista en el cual:1.    Ningún estado tiene una transición ? , es decir, una transicióncon la entrada ? , y2.  Para cada estado s y cada símbolo de entrada a, hayexactamente una arista etiquetada a que sale de s.Un autómata finito determinista tiene una transición desde cadaestado con cualquier entrada. Si se está usando una tabla deCuadro 1. Transiciones para el autómata finito de la figura 1ESTADO SIMBOLO DE ENTRADA  A B 0 { 0, 1} {0} 1 - {2} 2 - {3} 1 2a03 4bba   inicio??transiciones para representar la función de transición de un AFD,entonces cada entrada en la tabla de transiciones es un soloestado. Como consecuencia es muy fácil determinar si un autómatafinito determinista acepta o no una cadena de entrada, puesto quehay a lo sumo un camino desde el estado de inicio etiquetado conesa cadena.Algoritmo 1: Simulación de un AFDEntrada. Una cadena de entrada “x” que termina con un carácterde fin de archivo eof. Un AFD D con un estado de inicio “S0” y unconjunto “F” de estados de aceptación.Salida. La respuesta "sí", si D acepta “x”, "no", en caso contrario.Método. Aplicar el algoritmo de la Figura 3 a la cadena deentrada “x”. La función mover(s, c) da el estado al cual hayuna transición desde el estado “s” en un carácter de entrada“c”. La función "sgtecar" devuelve el siguiente carácter de lacadena de entrada “x”.Figura 2. Un AFN que acepta  aa*| bb*>>> CONVERSIÓN DE UN AFN A UN AFDagosto 2003 63INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICAConversión de un AFN en un AFDSe observa que el AFN de la Figura 1, tiene dos transicionesdesde el estado “0” con la entrada “a”; es decir, puede ir al estado“0” o al 1. Igualmente, el AFN de la Figura 3 tiene dos transicionesen ?  desde el estado “0”.Ahora se introduce un algoritmo para construir a partir de un AFNun AFD que reconozca el mismo lenguaje. Este algoritmo se leconoce como construcción de subconjuntos, es útil para simularun AFN por medio de un programa de computador.Algoritmo 2: Construcción de subconjuntos. Construcción de unAFD a partir de un AFN.Entrada. Un AFN N.Salida. Un AFD D que acepta el mismo lenguaje.Método. El algoritmo construye una tabla de transiciones tranDpara “D”. Cada estado del AFD es un conjunto de estados delAFN y se construye tranD de modo que “D” simulará en paralelotodos los posibles movimientos que “N” puede realizar con unadeterminada cadena de entrada.s:=s0; c:=sgtecar(car); while c < > eof do s:=mover(s,c); c:=sgtecar(car); end; if s está en F  then return “si” else return “no”; Figura 3. Simulación de un AFDOPERACION DESCRIPCIÓN cerradura -? (s) Conjunto de estados del AFN alcanzables desde el estado s del AFN con transiciones ?  solamente.  cerradura -? (T) Conjunto de estados del AFN alcanzables desde  algún estado s en T con transiciones ?  solamente.  mover(T, a) Conjunto de estados del AFN hacia los cuales hay una transición con el símbolo de entrada a desde algún estado s en T del AFN. Cuadro 2. Operaciones sobre los estados de un AFNal inicio cerradura-? (s0) es el único estadosD y no esta marcado; while haya un estado no marcado T en estadosD do begin marcar T; for cada símbolo de entrada a do  begin U:= cerradura-? (mover(T, a)); If U no esta en estadosD then añadir U como estado no marcado a estadosD; tranD(T, a):= U end end Figura 4. La construcción de subconjuntosSe utilizan las operaciones del Cuadro 2, para localizar losconjuntos de los estados del AFN (“s” representa un estado delAFN, y “T”, un conjunto de estados del AFN).Antes de detectar el primer símbolo de entrada, “N” se puedeencontrar en cualquiera de los estados del conjunto cerradura-?(s0), donde s0 es el estado de inicio de K. Supóngase queexactamente los estados del conjunto “T” son alcanzables desdes0 con una secuencia dada de símbolos de entrada, y sea a elsiguiente símbolo de entrada. Al ver a, “N” puede trasladarse acualquiera de los estados del conjunto mover(T, a). Cuando sepermiten transiciones-? , N puede encontrarse en cualquiera delos estados de cerradura-?  (T, a), después de ver la “a”.Se construyen estados “D”; el conjunto de estados de “D”;  ytranD, la tabla de transiciones de “D”, de la siguiente forma. Cadaestado de “D” corresponde a un conjunto de estados de AFN enlos que podría estar “N” después de leer alguna secuencia desímbolos de entrada, incluidas todas las posibles transiciones- ?anteriores o posteriores a la lectura de símbolos.El estado de inicio de “D” es cerradura-?  (s0). Se añaden losestados y las transiciones a “D” utilizando el algoritmo de la Figura4. Un estado de “D” es un estado de aceptación si es un conjuntode estados de AFN que contenga al menos un estado de aceptaciónde “N”.El cálculo de cerradura-?  (T) es un proceso típico de búsquedaen un grafo de nodos alcanzables desde un conjunto dado denodos. En este caso, los estados de “T” son el conjunto dado denodos, y el grafo esta compuesto solamente por las aristas delAFN etiquetadas por ? .Un algoritmo sencillo para calcular cerradura-?  (T) utiliza unaestructura de datos tipo pila para guardar estados en cuyas aris-tas no se hayan buscado transiciones etiquetadas con ? . Esteprocedimiento se muestra en la Figura 5.Edgar Ruiz L. y Eduardo Raffo L. >>>64agosto 2003INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICAImplementación de los algoritmos para convertir un AFNen un AFDPara la implementación de estos algoritmos se utiliza el AFN “N”de la Figura 6 que acepta el lenguaje (a|b)*abb.Se aplica el Algoritmo 2. Construcción de subconjuntos a “N”. Elestado de inicio del AFD equivalente es cerradura-? (0), que esA = {0,1,2,4,7}, puesto que estos son alcanzados desde el estado0 por un camino en que todas las aristas están etiquetadas por ? .El alfabeto de símbolos de entrada es {a, b}. Ahora el algoritmoindica que debe marcarse “A” y después calcularcerradura-?  (mover(A, a))Calculando primero mover(A, a), el conjunto de estados de “N”que tiene transiciones en “a” desde miembros de “A”. Entre losestados 0,1,2,4 y 7 sólo 2 y 7 tienen dichas transiciones, a 3 y a8, de modo que:meter todos los estados de T en pila; inicializar cerradura-? (T) a T; while pila no esté vacía do begin sacar t, el elemento del tope, de pila; for cada estado u con una arista desde t a u etiquetada con ? do if u no esta en cerradura-? (T) do  begin añadir u a cerradura-? (T); meter u en pila end end end Figura 5. Cálculo de cerradura-?0 12 34 56 7 8 9 10inicio??Figura 6. AFN N que acepta (a|b)*abb63 3 78142 2     pila             t = 8       t = 3    t = 6  t = 7      (3,6)    (6,7)      (6,1)  (1,2) (1,4)      t = 1      t = 4      t = 2Figura 7. tranD[A, a] = Bcerradura-?  (mover({0,1,2,4,7}, a)) =cerradura-?  (3,8) = {1,2,3,4,6,7,8}Este conjunto se denominará “B”. Así, tranD[A, a] = B. En laFigura 7, se presenta el cálculo de la cerradura-? . Entre losestados de “A”, sólo 4 tienen una transición en “b” a 5, de modoque el AFD tiene una transición en “b” desde “A a”.cerradura-?  (A, b)cerradura-?  (mover(A, b)) = cerradura-?  ({5})cerradura-?  ({5}) = {1,2,4,5,6,7}Por lo que, tranD[A, b] = C. Es decir; C = {1,2,4,5,6,7}Se continúa este proceso con los conjuntos B y C, ahora sinmarcar, finalmente se llegará al punto en que todos los conjuntosque son del estado AFD estén marcados.>>> CONVERSIÓN DE UN AFN A UN AFDagosto 2003 65INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICALos dos estados siguientes son:cerradura-?  ({5,9}) = {1,2,4,5,6,7,9}ycerradura-?  ({5,10}) = {1,2,4,5,6,7,10}Resumiendo los cinco conjuntos de estados construidos son:A = {0,1,2,4,7}B = {1,2,3,4,6,7,8}C = {1,2,4,5,6,7}D = {1,2,4,5,6,7,9}E = {1,2,4,5,6,7,10}Figura 8. tranD[A, b] = C5 6 717 2 7427     pila      t = 5        t = 6        t = 1(5,6) (6,7) (6,1)(1,2)(1,4)Cuadro 3.  Transiciones tranD para el AFD resultanteESTADO SIMBOLO DE ENTRADA  a b A B C B B D C B C D B E E B C 0 1 3 42inicio bbaaaa   abbbEl estado “A” es el estado de inicio, y el estado “E” es el únicoestado de aceptación. La tabla de transiciones completa tranD semuestra en el Cuadro 3.Finalmente en la Figura 9 se muestra el grafo de transicionespara el AFD resultante.EL PROGRAMAEl programa AFNAFD.CPP se ha escrito en lenguaje C++, usandoel compilador Turbo C/C++ 3.0 para MS-DOS. Se emplea laestructura de datos Pila. El símbolo ?   (epsilon) se define a -1como una constante simbólica. La matriz bidimensional de estadosdel AFN “N” se inicializa dentro del programa.El código del programa se muestra en su totalidad en lassubsiguientes figuras.Figura 9. Resultado de aplicar la construcción de subconjuntos al AFN N de la figura 8Edgar Ruiz L. y Eduardo Raffo L. >>>66agosto 2003INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICAFigura 10. Código del programa: Primera parte#include <iostream.h>#include <iomanip.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <conio.h>#define AFN_MAX 11#define EPSILON -1#define ACEPTA  -2#define STACKSIZE  100#define MAXIMO 80enum bool {FALSE,TRUE};struct stack {int top;int items[STACKSIZE];};typedef stack *STACKPTR;bool empty(STACKPTR ps);int pop(STACKPTR ps);void push(STACKPTR ps,int x);void init(STACKPTR ps);void e_clausura(int* ,int,int* ,int &na);void mover(int *,int,int* t,int &m,int c);void print(int* t,int m,char c);void copy(int*,int,int estadosD[][AFN_MAX],int &nest,int*);bool no_marcado(int*,int,int estadosD[AFN_MAX][AFN_MAX],int nest);void aceptacion();void print_estadosD(int estadosD[][AFN_MAX],int nest,int nD[]);//  0   1   2   3   4   5   6   7   8   9  10int aristas[][AFN_MAX]={0, -1,  0,  0,  0,  0,  0, -1,  0,  0,  0, 0,  0, -1,  0, -1,  0,  0,  0,  0,  0,  0, 0,  0,  0,'a',  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0, 0,  0,  0,  0,  0,  0, -1,  0,  0,  0,  0, 0,  0,  0,  0,  0,'b',  0,  0,  0,  0,  0, 0,  0,  0,  0,  0,  0, -1,  0,  0,  0,  0, 0, -1,  0,  0,  0,  0,  0, -1,  0,  0,  0, 0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,'a',  0,  0, 0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,'b',  0, 0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,'b', 0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0,  0, -2};void main() // afnafd.cpp{    int m,i,j,k;    int t[AFN_MAX];    int estadosD[AFN_MAX][AFN_MAX],nest=0;    int nD[AFN_MAX];    int a[AFN_MAX],na;    char* alfabeto="ab";>>> CONVERSIÓN DE UN AFN A UN AFDagosto 2003 67INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICAFigura 11. Código del programa: Segunda parte    clrscr();    *t=0;m=1;    cout << "estado : " << nest << endl;    e_clausura(t,m,a,na);    copy(a,na,estadosD,nest,nD);    for(i=0;i<strlen(alfabeto);i++) {        mover(a,na,t,m,alfabeto[i]);  cout << "estado : " << nest << endl;  print(t,m,alfabeto[i]);  copy(t,m,estadosD,nest,nD);    }    for(k=1;k<nest;k++) {for(j=0;j<nD[k];j++)t[j]=estadosD[k][j];m=nD[k];cout << " K : " << k << endl;            e_clausura(t,m,a,na);for(i=0;i<strlen(alfabeto);i++) {                  mover(a,na,t,m,alfabeto[i]);if(m) {if(no_marcado(t,m,estadosD,nest)) {      cout << "estado : " << nest << endl;      copy(t,m,estadosD,nest,nD);      print(t,m,alfabeto[i]);}else      print(t,m,alfabeto[i]);}}}aceptacion();print_estadosD(estadosD,nest,nD);}void print_estadosD(int estadosD[][AFN_MAX],int nest,int nD[]){register int i,j;clrscr();cout << "  AFD                 AFN              " << endl;cout << "---------------------------------------" << endl;for(i=0;i<nest;i++) {cout << setw(4) << i << " : ";for(j=0;j<nD[i];j++)cout << setw(4) << estadosD[i][j];cout << endl;}cout << "---------------------------------------" << endl;getch();}void aceptacion(){cout << "estados de aceptacion tienen los nodos : ";        for(int i=0;i<AFN_MAX;i++)if(aristas[i][i]==ACEPTA)cout << setw(4) << i;getch();Edgar Ruiz L. y Eduardo Raffo L. >>>68agosto 2003INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA}void e_clausura(int* s,int n,int* a,int &na){int i,j,t,u;STACKPTR p;// meter todos los estados en pila// inicializar cerradura ainit(p);na=0;for(i=0;i<n;i++) {push(p,s[i]);a[i]=s[i];na++;}while(!empty(p)) {t=pop(p);                for(u=0;u<AFN_MAX;u++)if(aristas[t][u]==EPSILON) {i=0;while(i<na && u!=a[i])i++;if(i==na) {      // a¤adir u a cerradura      a[na++]=u;      // meter u a pila      push(p,u);}}}cout << " T         : " ;for(j=0;j<na;j++)cout << setw(4) << a[j];cout << endl;}void print(int* t,int m,char c){register int j;        cout << " mover(T," << c << ") : ";for(j=0;j<m;j++)cout << setw(4) << t[j];cout << endl;}void copy(int* t,int m,int estadosD[][AFN_MAX],int &nest,int* nD){register int i;for(i=0;i<m;i++)estadosD[nest][i]=t[i];nD[nest]=m;++nest;}void mover(int* a,int na,int* t,int &m,int c){Figura 12. Código del programa: Tercera parte>>> CONVERSIÓN DE UN AFN A UN AFDagosto 2003 69INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICAFigura 13. Código del programa: Cuarta parteint i,j,k;m=0;for(i=0;i<na;i++) {k=a[i];                for(j=0;j<AFN_MAX;j++)if(aristas[k][j]==c)t[m++]=j;}}bool no_marcado(int* t,int m,int estadosD[][AFN_MAX],int nest){int k=0,j,i;for(k=0;k<nest;k++) {i=0;for(j=0;j<m;j++)if(t[j]==estadosD[k][j])i++;if(i==m)return FALSE;}return TRUE;}bool empty(STACKPTR ps){if(ps->top==-1)return TRUE;elsereturn FALSE;}int pop(STACKPTR ps){if(empty(ps)) {cout << "\n pila vacia " << endl;exit(1);}return (ps->items[ps->top--]);}void push(STACKPTR ps,int x){if(ps->top==STACKSIZE-1) {cout << "\n stack overflow" << endl;exit(1);}elseps->items[++(ps->top)]=x;}void init(STACKPTR ps){ps->top=-1;}Edgar Ruiz L. y Eduardo Raffo L. >>>70agosto 2003INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICAestado :  0  T :  0 1 7 2 4estado :  1  mover (T, a) :  8 3estado :  2 mover (T, b) :  5  k   :   1  T :  8 3 6 1 7 2 4  mover (T, a) :  8 3estado :  3 mover (T, b) :  9 5  k   :   2  T :  5 6 1 7 2 4  mover (T, a) :  8 3  mover (T, b) :  5  k   :   3  T :  9 5 6 1 7 2 4  mover (T, a) :  8 3estado :  4  mover (T, b) :  10 5  k   :   4  T :  10 5 6 1 7 2 4  mover (T, a) :  8 3  mover (T, b) :  5estados de aceptación tienen los nodos: 10AFD AFN--------------------------------------------------------------------0 : 0 1 7 2 41 : 8 32 : 53 : 9 54 : 10 5--------------------------------------------------------------------Figura 14. Salida del programa AFNAFD.CPPCONCLUSIONESEste algoritmo conocido como el de construcción desubconjuntos convierte un AFN en un AFD haciendo uso detres operaciones sobre los estados de un AFN y una pila. Loimportante del algoritmo es que se procesa el conjunto deestados del AFN denominado “T”, usando operaciones deuna estructura llamada pila.El algoritmo sistemáticamente irá encontrando los nuevos estadosde AFD usando únicamente los símbolos de entrada.Si se desea correr el programa con un AFN diferente se debeinicializar la matriz de estados dentro del programa. Esto esconveniente cuando el AFN a convertir tiene un número de estadosmayor de 5; pues de lo contrario se tendrían que ingresar estospor teclado lo cual aumenta la probabilidad que se introduzcandatos incorrectos. Otra alternativa cuando la entrada es muygrande, es guardar los datos de entrada en un archivo paraluego ser tomados por el programa.BIBLIOGRAFÍA1.  Aho, Alfred V.; Sethi, Ravi; Ullman, Jeffrey D. (1990),Compiladores Principios, técnicas y herramientas. EditorialAddison - Wesley Iberoamericana S.A., USA.2.  Holu, Allen I. (1990), "Compiler Design in C". EditorialPrentice Hall, USA.>>> CONVERSIÓN DE UN AFN A UN AFD

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