Modeling and forecasting volatility. The use of daily prices in GARCH class models

Abstract

Praca podejmuje temat modelowania i prognozowania wariancji stóp zwrotu przy wykorzystaniu pełnego zestawu kursów dziennych. W literaturze przedmiotu dominującym podejściem w kwestii estymacji modeli warunkowej wariancji dla danych dziennych jest wykorzystanie wyłącznie informacji o dziennych cenach zamknięcia analizowanych aktywów finansowych. Powszechną praktyką rynkową jest jednak udostępnianie, wraz z cenami zamknięcia, także cen otwarcia, minimalnych i maksymalnych. W niniejszej pracy wskazane są korzyści wynikające z zastosowania pełniejszego zestawu dostępnych informacji w kontekście modeli klasy GARCH. W rozdziale 1 przedstawione zostały estymatory dziennej wariancji stóp zwrotu oparte o wartości ekstremalne (cenę minimalną, maksymalną, otwarcia, oraz zamknięcia). Estymatory te okazują się wielokrotnie bardziej efektywne niż klasyczny estymator wariancji oparty wyłącznie o ceny zamknięcia. Rozdział 2 przedstawia istniejące modele warunkowej wariancji wykorzystujące pełniejszy zestaw dostępnych informacji – bądź to poprzez użycie estymatorów wariancji opartych o ceny ekstremalne, bądź też samych wartości ekstremalnych. W rozdziale 3 omówione zostało zagadnienie oceny trafności prognoz w modelach warunkowej wariancji, z uwzględnieniem różnych aproksymacji rzeczywistej zmienności. W kolejnych rozdziałach dokonano weryfikacji głównych hipotez badawczych postawionych w niniejszej pracy: - Wykorzystując estymatory wariancji oparte o wartości ekstremalne można skonstruować modele warunkowej wariancji o lepszych własnościach prognostycznych niż w przypadku modeli opartych wyłącznie o stopy zwrotu. (H1) - Nie istnieje ściśle dominujące podejście w kwestii rodzaju wykorzystywanych danych w modelach klasy GARCH. (H2) - Możliwe jest wskazanie reguł pozwalających na wybór bardziej korzystnego, z punktu widzenia jakości generowanych prognoz, modelu zmienności. (H3) - Skuteczność reguły wyboru prognozy warunkowej wariancji zależy od rodzaju analizowanego aktywa. (H4) Rozdziały 4 i 6 pozytywnie weryfikują hipotezę H1. W rozdziale 4 pokazane zostało, iż zastosowanie modeli klasy GARCH wykorzystujących estymatory oparte o wartości ekstremalne często prowadzi do poprawy jakości prognoz warunkowej wariancji w stosunku do klasycznych modeli GARCH (opartych wyłącznie o stopy zwrotu). W rozdziale 6 zaproponowano autorską modyfikację modeli GARCH wykorzystującą estymator Garmana-Klassa i możliwą do zastosowania dla wszystkich modeli klasy GARCH zakładających normalny rozkład stóp zwrotu. Modele zaproponowane w rozdziale 6 lepiej radzą sobie z prognozowaniem zmienności w ogonach rozkładów empirycznych stóp zwrotu niż modele wyjściowe. W rozdziale 4 pozytywnie zweryfikowana została także hipoteza H2 – nie ma podstaw do uznania za prawdziwe stwierdzenia o dominacji któregokolwiek z dwóch analizowanych podejść. W rozdziale 5 zaproponowano autorski algorytm wyboru prognoz warunkowej wariancji. Algorytm ten, w oparciu o egzogeniczne zmienne, pozwala przewidywać relatywną trafność prognoz uzyskiwanych przy pomocy modeli GARCH wykorzystujących estymatory oparte o wartości ekstremalne i modeli GARCH opartych wyłącznie o stopy zwrotu. Istotna poprawa trafności prognoz uzyskiwanych przy pomocy algorytmu (w odniesieniu do modeli wyjściowych) pozwala uznać hipotezę H3 za prawdziwą. Okazuje się jednak, że skala korzyści odnoszonych z zastosowania algorytmu jest zależna od rodzaju analizowanego aktywa – co z kolei skłania do uznania hipotezy H4 za prawdziwą. Nadrzędnym celem niniejszej pracy było wykazanie, iż sensowne jest stosowanie zarówno modeli GARCH opartych wyłącznie o stopy zwrotu jak i modeli GARCH wykorzystujących estymatory oparte o wartości ekstremalne. Żadne z tych dwóch podejść nie powinno być z góry pomijane. Zdaniem autora istotnym wkładem niniejszej pracy w rozwój metod modelowania i prognozowania wariancji jest zaproponowanie nowej modyfikacji modeli GARCH, jak również zaprezentowanie autorskiego algorytmu wyboru prognoz warunkowej wariancji.Dissertation tackles the topic of modeling and forecasting variance of returns, using a full set of daily prices. In the literature, the dominant approach regarding estimation of conditional variance models for daily data is to use only the daily closing prices of financial assets. However, it is common market practice to provide not only closing price, but also opening, minimum and maximum prices. In this dissertation, the benefits of using a more complete set of available information in the context of GARCH class models are pointed. Chapter 1 presents estimators of daily variance of returns based on the extreme values (minimum, maximum, opening and closing prices). These estimators turn out to be much more efficient than classical variance estimator based solely on the closing prices. Chapter 2 includes review of existing conditional variance models using a more comprehensive set of available information - either by using variance estimators based on extreme values, or by using extreme values themselves. In chapter 3 the issue of conditional variance forecasts accuracy evaluation is disscused, with special emphasis on different approximations of the true volatility. In the following chapters the main hypotheses posed in this dissertation are verified: - It is possible to construct conditional variance models with greater forecast accuracy than models based solely on daily returns, by employing variance estimators based on extreme values. (H1) - There is no strictly dominant approach to the type of data used in the GARCH class models. (H2) - It is possible to identify rules that allow to select more favorable conditional variance model regarding the quality of predictions. (H3) - The effectiveness of the forecasts selection rule depends on the type of the analyzed asset. (H4) Chapters 4 and 6 positively verify the hypothesis H1. In chapter 4 it is shown that the use of the GARCH class models using variance estimators based on extreme values often leads to improved quality of conditional variance forecasts, compared to traditional GARCH models (based solely on the daily returns). In chapter 6 a new specification of the GARCH model is proposed. This specification employs the Garman-Klass variance estimator and can be applied to a broad set of GARCH class models (precisely: all GARCH class models that assume normality of returns). The model proposed in chapter 6 significantly better copes with forecasting volatility in the tails of empirical distributions of returns, than reference models. In chapter 4 the hypothesis H2 was also positively verified - there is no reason to conclude that one of analyzed approaches dominates over the other. Chapter 5 proposes an original algorithm of conditional variance forecasts selection. This algorithm, based on exogenous variables, predicts the relative accuracy of forecasts obtained using GARCH model that employs variance estimators based on extreme value and GARCH model based solely on daily returns. A significant improvement in the accuracy of forecasts obtained using the algorithm (compared to the reference models) leads to the conclusion that hypothesis H3 is true. However it turns out that the scale of benefits gained from the use of the algorithm depends on the type of the analyzed asset, so the hypothesis H4 seems to be true as well. The overriding aim of this disseration was to demonstrate that it makes sense to use both: GARCH models based solely on daily returns and GARCH models using variance estimators based on extreme values. Neither of these two approaches should be ignored in advance. Author believes that by proposing a new modification of GARCH models, as well as an algorithm of conditional variance forecasts selection, this dissertation significantly contributes to the development of modeling and forecasting volatility