Codes dans les graphes réguliers

Abstract

Dans ce travail, on utilise d'abord l'algèbre d'adjacence pour définir les paramètres de l'étude des sous-ensembles de sommets des graphes réguliers: distribution duale, ensemble annulateur, matrice des chemins. On établit une récurrence sur les colonnes de la matrice des chemins. On étudie ensuite les partitions cohérentes définie par le fait que le nombre d'éléments d'une classe donnée adjacents à un élément fixe ne dépend que de la classe choisie et de la classe à laquelle appartient l'élément fixé. On met en relief la structure de treillis des partitions cohérentes; pour chaque sous-ensemble Y de sommets, on fait ressortir une partition cohérente: la partition modulo Y. On met en évidence une matrice associée à chaque partition cohérente et on montre que l'ensemble des valeurs propres de cette matrice est inclus dans l'ensemble des valeurs propres de la matrice d'adjacence du graphe et dans la réunion des ensembles annulateurs des codes qui sont des réunions de classes de la partition. On regarde ensuite les codes cohérents caractérisés par le fait que la partition par les distances est cohérente. De ce fait on déduit des conditions d'existence identiques à celles connues pour les codes complètement réguliers. Pour terminer, on se restreint aux graphes de Cayley. On montre tout d'abord que dans le cas où le groupe des sommets est abélien la distribution duale a un sens combinatoire. De plus on définit le graphe quotient qui nous permet de caractériser les sous-groupes pour lesquels la partition modulo admet le même nombre d'éléments que l'ensemble annulateur